高中数学人教A版选修1-1课件：3.4《生活中的优化问题举例》课时2

解：设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积
S 2 Rh 2 R2
由V
R2h
，得 h
成本最省问题
例 2．甲、乙两地相距 400 千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙
地,速度不得超过 100km/h．已知该汽车每小时的运输成本 t
( 元 ) 关 于 速 度 x (km/h) 的 函 数 关 系 式 是
t

1 19200
x4

1 160
x3
15x
．
（1）当汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶时，全程运输成本为
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 m ，每比特 所占用的磁道长度不得小于 n ．为了数据检索便利，磁盘格式化时
要求所有磁道要具有相同的比特数．
问题：现有一张半径为 R 的磁盘，它的存储区是半径介于 r 与 R 之
间的环形区域．
（1）是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？
（2）r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何
磁盘的最大存储量问题
问题： （1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？ （2）你知道磁盘的结构吗？ （3）如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢？ 下面我们就来研究一下磁盘的最大存储量问题．
【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上．磁盘是带有磁性介质的 圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所 构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的 定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1，这个基本单元通常被称为比特（bit）．
信息）？
【解答】由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数.
设存储区的半径介于 r 与 R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于
Rr
m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达 m .
由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道
2 r 必须装满，即每条磁道上的比特数可达 n ． 所以，磁盘总存储量
3.4 生活中的优化问 题举例（2）
问题1：上节课我们学习过的海报板面设计问题、利润, 问通常采取什么方法解决这一类问题呢？ 问题2：这些问题的共同点是什么？ 问题3：这些实际生活的问题能否用数学方法来解决？与 哪部分数学知识有关？ 问题4：求函数最值的方法和步骤是什么？要用到哪些工 具？ 问题5：在实际问题中求函数的最值还应该注意什么？
x
60
x
60
解法一：设箱底边长为
x
cm，则箱高
h

60 2
x
cm，
得箱子容积V
(x)

x2h

60 x 2 2
x3
(0 x 60) ．
所以，
V
(
x)

60
x

3x 2
2
(0 x 60) ．
令
V (x)

60x 3x2 2

0 ，解得
x 0 （舍去）， x 40 ，
f
(r)

R m
r

2 r
n

2
mn
r(R
r) ．
（1）它是一个关于 r 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是
r 越小，磁盘的存储量越大．
（2）为求 f (r) 的最大值，计算 f (r) 0．
f
(r
)

2
mn
(R

2r
)
．
令
f
(r)

0 ，解得 r

R 2
．
当r

R 2
所以，当 x 80 km/h， f (x) 取极小值．
又因 f (x) 在 (0，100]上只有一个极小值，所以 f (80) 是最小值．
所以，
f
(80)

1 803 48

5 802 2

6000

2000 3
（元）．
变式训练2：一艘船的燃料费与船速度的平方成正 比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费 是80元．已知船航行时其他费用为480元/小时，在 20km航程中，船速多少时船行驶总费用最省？此时 每小时费用等于多少？
所以，V (40) 16000 （cm3）．
由题意可知，当 x (0，60) 时，V (x) 仅此一个极大值，
因此，16000 是最大值． 答：当 x 40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16000cm3．
解法二：设箱高为 x cm，则箱底长为 (60 2x) cm， 则得箱子容积V (x) (60 2x)2 x (0 x 30) ． （后面同解法一，略） 由题意可知，仅此一个极大值， 因此，所以最大值出现在极值点处．
当 x 10
6 时，1610
6 9600 400 10 6
6 （元）．
于是 400
6


20 10 6


1200
（元/小时）．
答：船速为10 6 时船行驶总费用最省，此时每小时费用等于
1200 元．
1.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底 与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
时，
f
(r)

0 ；当 r

R 2
时，
f
(r)

0．
因此
r

R 2
时，磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为
R2
2mn
．
变式训练 1：在边长为 60cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方 形，再把它的边沿虚线折起 (如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱 底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解：由于 80

k
102
，所以
k

4 5
．
设船速为 x km/h 时，总费用为 y ，则 Nhomakorabeay

4 5
x2

20 x

20 x

480

16x

9600 ，x x

0
．
9600
令 y 0 ，即16 x2 0 ，则 x 10 6 ．
x 10 6 是函数 y 在 (0，+) 上唯一极值点，从而使最小值点．
603

5 2
602

6000
1500
（元）．
（2）
f
(x)

1 16
x2
5x(0

x
100)
，令
f
x

0 ，得
x

80 ．
当 x (0，80) 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 是减函数；
当 x (80，100]时， f (x) 0 ，所以 f (x) 是增函数．
多少元？
（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求 出此时运输成本的最小值．
解：（1）设全程运输成本为 f (x) ，则
f
(x)

(1 19200
x4

1 160
x3
15x)

400 x

1 48
x3

5 2
x2

6000(0

x

100)
．
当
x

60
km/h
时，
f
(60)

1 48