高中数学人教A版选修数系的扩充和复数的概念PPT精品课件
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a bi c di
注意：一般对两个复数只能说相等或不相 等；不能比较大小。
练习1 说出下列复数的实部和虚部：
2 1 i ， 2 i , 2 , 3i ，i，0.
3
2
2（. 1）如果x y y 1i 2x 3y 2y 1i，
求实数x, y的值.
(2) (x y 3) (x 4)i 0.
x2－2x－15＝0， [解] ①当 x 满足 x＋3≠0，
即 x＝5 时，z 是实数．
②当
x
满足
x2－2x－15≠0， x＋3≠0，
即 x≠－3 且 x≠5 时，z 是虚数．
③当 x 满足 x2－x＋x－3 6＝0， x2－2x－15≠0， x＋3≠0，
即 x＝－2 或 x＝3 时，z 是纯虚数．
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0 m 1 0
即m 1时，复数z 是
纯虚数．
6.实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2－2x－15)i 是①实数？②虚数？③纯虚数？
四、复数的分类
实数b 0
复数a+bi虚数b
纯虚数a 0非纯虚数 a
0，b 0 0，b
0
复数集
虚数集
实数集
纯虚数集
练习4 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是 虚数，哪些是纯虚数。
2 7，0.618，2 i，0，i，5i 8， 7
3 9 2i，i 1 3 ， 2 2i.
练习5. 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数 x，y 的值分别为( )
A．x＝1，y＝－1
B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0
D．x＝0，y＝0
A [∵(x＋y)i＝x－1， ∴xx－＋1y＝＝00，， ∴x＝1，y＝－1.]
4. 若复数z m 3 m2 m im R,是虚数，
m2
则实数m的取值范围是（D）.
A. ,0 1,
B. ,0 1,
C. ,2 2,0 1,
D. ,2 2,0 1,
5.实数 k 为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是 ①实数；②虚数；③纯虚数；④零．
[解] 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. ①当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. ②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1. ③当kk22－ －35kk－ －46＝ ≠00 时，z是纯虚数，解得k＝4. ④当kk22－ －35kk－ －46＝ ＝00 时，z＝0，解得k＝－1.
2．给出下列三个命题：(1)若 z∈C，则 z2≥0；(2)2i－1 的虚部是 2i；
(3)2i 的实部是 0.其中正确命题的个数为( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B [(1)错误，例如 z＝i，则 z2＝－1；(2)错误，因为 2i－1 虚部 是 2；(3)正确，因为 2i＝0＋2i.]
3.1.1 数系的扩充和复数的概 念
学习目标：
1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单 位i； 2.理解复数的基本概念及表示法； 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件。
问题：
1.目前，我们认识的数集有哪些？最大的数 集是？ 2.数系扩充是什么意思？你的认知结构里有 没有数系扩充的脉络？
3.基于怎样的需求，人们要不断地扩充数集？
引入一个新数：
满足
一、i的引入
引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规 定： （1）i 2 1；
（2）实数与i可以进行加法和乘法运算： 实数a与数i相加记为：a+i 实数b与数i相乘记为：bi ,并规定0• i =0 实数a与 bi相加记为：a+bi
（3）实数与 i 进行四则运算时，原有的加 法、乘法运算律仍然成立.
(3) 如方程 x2 (1 2i)x (3m i) 0有实根， 求实数m的值.
3.已知集合M 1,2，a2 3a 1 a2 5a 6i,
N 1,3,若M N 3,则a _____.
思考:复数集C和实数集R之间有什么关系？
对于复数a+bi
当且仅当b=0时，复数z表示实数 当且仅当a=b=0时，复数z表示实数0 当b≠0时，复数z表示虚数 当a=0,b≠0时，复数z表示纯虚数
本节课你学会了哪些知识？
当堂检测
1．思考辨析 (1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．( ) (2)复数 i 的实部不存在，虚部为 0.( ) (3)bi 是纯虚数．( ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0， 那么这两个复数相等．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
人们在狩猎、采集果实等劳动中， 由于计数的需要，就产生了1，
为了表示各种相反意义的量以及
系
满足计数的需要，人们又引进了 负数
为了解决测量、分配中遇到的 将某些量等分的问题，人们引 入了分数
Z
的
扩
Q
充
R
用正方形的边长去度量它的对角线，所得
的结果无法用有理数表示，为了解决这个
二、复数的概念
定义：把形如a+bi（a,b∈R）的数叫做 复数。通常用字母 z 表示.
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z a bi
实部 虚部 其中 i 为虚数单位。
三、两个复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么 我们就说这两个复数相等．
若在复数集中任取两个 数a bi, c di(a,b, c, d R)
思考：数集扩充之后，有新数引进吗? 在运算规则方面，有什么特点？
数集的每次扩充，都引进了很多新数。原 数集中的运算法则在新数集中得到保留和 发展，总是满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律。
但是，数集扩充到实数集R之后，像 x2+1=0这样的方程还是无解，因为 在实数范围内，没有一个实数的平 方等于负数。联系数系的扩充过程， 你能设想一种方法，使这个方程有 解吗?
矛盾，人们引入了无理数
对于数系的扩充过程，我们可以用这 样一组方程来形象说明
(1)在自然数集N中，方程x+2=0有解吗？
(2)在整数集Z中，方程2x-1=0有解吗？
(3)在有理数集Q中，方程x2-2=0有解吗？
对于数学学科本身来说，数集的每次扩 充，都解决了原有数集中某种运算不是 永远可以实施的矛盾。
注意：一般对两个复数只能说相等或不相 等；不能比较大小。
练习1 说出下列复数的实部和虚部：
2 1 i ， 2 i , 2 , 3i ，i，0.
3
2
2（. 1）如果x y y 1i 2x 3y 2y 1i，
求实数x, y的值.
(2) (x y 3) (x 4)i 0.
x2－2x－15＝0， [解] ①当 x 满足 x＋3≠0，
即 x＝5 时，z 是实数．
②当
x
满足
x2－2x－15≠0， x＋3≠0，
即 x≠－3 且 x≠5 时，z 是虚数．
③当 x 满足 x2－x＋x－3 6＝0， x2－2x－15≠0， x＋3≠0，
即 x＝－2 或 x＝3 时，z 是纯虚数．
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0 m 1 0
即m 1时，复数z 是
纯虚数．
6.实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2－2x－15)i 是①实数？②虚数？③纯虚数？
四、复数的分类
实数b 0
复数a+bi虚数b
纯虚数a 0非纯虚数 a
0，b 0 0，b
0
复数集
虚数集
实数集
纯虚数集
练习4 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是 虚数，哪些是纯虚数。
2 7，0.618，2 i，0，i，5i 8， 7
3 9 2i，i 1 3 ， 2 2i.
练习5. 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数 x，y 的值分别为( )
A．x＝1，y＝－1
B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0
D．x＝0，y＝0
A [∵(x＋y)i＝x－1， ∴xx－＋1y＝＝00，， ∴x＝1，y＝－1.]
4. 若复数z m 3 m2 m im R,是虚数，
m2
则实数m的取值范围是（D）.
A. ,0 1,
B. ,0 1,
C. ,2 2,0 1,
D. ,2 2,0 1,
5.实数 k 为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是 ①实数；②虚数；③纯虚数；④零．
[解] 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. ①当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. ②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1. ③当kk22－ －35kk－ －46＝ ≠00 时，z是纯虚数，解得k＝4. ④当kk22－ －35kk－ －46＝ ＝00 时，z＝0，解得k＝－1.
2．给出下列三个命题：(1)若 z∈C，则 z2≥0；(2)2i－1 的虚部是 2i；
(3)2i 的实部是 0.其中正确命题的个数为( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B [(1)错误，例如 z＝i，则 z2＝－1；(2)错误，因为 2i－1 虚部 是 2；(3)正确，因为 2i＝0＋2i.]
3.1.1 数系的扩充和复数的概 念
学习目标：
1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单 位i； 2.理解复数的基本概念及表示法； 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件。
问题：
1.目前，我们认识的数集有哪些？最大的数 集是？ 2.数系扩充是什么意思？你的认知结构里有 没有数系扩充的脉络？
3.基于怎样的需求，人们要不断地扩充数集？
引入一个新数：
满足
一、i的引入
引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规 定： （1）i 2 1；
（2）实数与i可以进行加法和乘法运算： 实数a与数i相加记为：a+i 实数b与数i相乘记为：bi ,并规定0• i =0 实数a与 bi相加记为：a+bi
（3）实数与 i 进行四则运算时，原有的加 法、乘法运算律仍然成立.
(3) 如方程 x2 (1 2i)x (3m i) 0有实根， 求实数m的值.
3.已知集合M 1,2，a2 3a 1 a2 5a 6i,
N 1,3,若M N 3,则a _____.
思考:复数集C和实数集R之间有什么关系？
对于复数a+bi
当且仅当b=0时，复数z表示实数 当且仅当a=b=0时，复数z表示实数0 当b≠0时，复数z表示虚数 当a=0,b≠0时，复数z表示纯虚数
本节课你学会了哪些知识？
当堂检测
1．思考辨析 (1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．( ) (2)复数 i 的实部不存在，虚部为 0.( ) (3)bi 是纯虚数．( ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0， 那么这两个复数相等．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
人们在狩猎、采集果实等劳动中， 由于计数的需要，就产生了1，
为了表示各种相反意义的量以及
系
满足计数的需要，人们又引进了 负数
为了解决测量、分配中遇到的 将某些量等分的问题，人们引 入了分数
Z
的
扩
Q
充
R
用正方形的边长去度量它的对角线，所得
的结果无法用有理数表示，为了解决这个
二、复数的概念
定义：把形如a+bi（a,b∈R）的数叫做 复数。通常用字母 z 表示.
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z a bi
实部 虚部 其中 i 为虚数单位。
三、两个复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么 我们就说这两个复数相等．
若在复数集中任取两个 数a bi, c di(a,b, c, d R)
思考：数集扩充之后，有新数引进吗? 在运算规则方面，有什么特点？
数集的每次扩充，都引进了很多新数。原 数集中的运算法则在新数集中得到保留和 发展，总是满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律。
但是，数集扩充到实数集R之后，像 x2+1=0这样的方程还是无解，因为 在实数范围内，没有一个实数的平 方等于负数。联系数系的扩充过程， 你能设想一种方法，使这个方程有 解吗?
矛盾，人们引入了无理数
对于数系的扩充过程，我们可以用这 样一组方程来形象说明
(1)在自然数集N中，方程x+2=0有解吗？
(2)在整数集Z中，方程2x-1=0有解吗？
(3)在有理数集Q中，方程x2-2=0有解吗？
对于数学学科本身来说，数集的每次扩 充，都解决了原有数集中某种运算不是 永远可以实施的矛盾。