2013届高考理科数学一轮复习课件10.4用样本估计总体

【解析】 分组
[39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03]
合计
频数 频率 频率/组距
10 0.10
5
20 0.20
10
50 0.50
25
20 0.20
10
100 1
频率分布直方图如下：
(2)误差不超过0.3mm，即直径落在[39.97,40.03]范围 内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.
【解析】 (1)两学生成绩的茎叶图如图所示．
(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为： 甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556 乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559 从以上排列可知甲学生成绩的中位数为 536＋2 538＝537.
＋62)]＝57.25.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别
为：
－x
乙＝
1 8
×(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋
413)＝412，
s2乙＝18×[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋
12]＝56.
由以上结果可看出，品种乙的样本平均数大于品种
3．标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离 ．
(2)s＝ 1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2] . (3)方差：s2＝ 1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2] (xn是样本数据，n是样本404 388 400 412 406
品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数
和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品
种？
附：样本数据x1，x2，…，xn的样本方差s2＝
1 n
[(x1－
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)， (A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)， (A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)， (A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)． 用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这 一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2， B4)，(A3，B2)，(A4，B2)．故所求概率为P(C)＝146＝14.
(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20 ＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．
探究1 (1)画频率分布直方图时，注意纵轴表示的 不是频率，而是频率与组距之比．
(2)要体会用样本估计总体的统计思想方法．
思考题1 (2010·湖北卷) 为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这 个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质 量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直 方图(如图所示)．
2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）
第十章 算法初步与统计
第4课时 用样本估计总体
2012·考纲下载
1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会 画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各 自的特点．
2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据 标准差．
2012·考纲下载
3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、 标准差)，并给出合理的解释．
合计
频数 10 20 50 20 100
频率
(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小 数)，并在上图中画出频率分布直方图；
(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径 为40.00mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm 的概率；
(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值 (例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此 估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作 出评价．
【解析】 (1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为：
甲 10分 13分 12分 14分 16分
乙 13分 14分 12分 12分 14分
甲、乙两人的平均成绩
x
甲＝
x
乙，都是13分，s
2
甲
＝
4，s2乙＝0.8.
2．总体平均数与方差的估计 用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总 体方差，样本容量越大，估计就越准确．
1．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中 最大值与最小值 的差)． (2)决定组距 与组数 ． (3)将数据 分组 ． (4)列 频率分布表 ． (5)画 频率分布直方图 ．
2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长 方形上端的 中点 ，就得频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时 所分的组数增加， 组距 减小，相应的频率折线图会越来 越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
中的概率约为0.47.
(3)
120×100 6
＝2000，所以估计该水库中鱼的总条数
为2000条．
题型二 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例2 (2011·辽宁理)某农场计划种植某种新作物，为此对 这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试 验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地 中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种 乙．试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品 种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下 表：
1．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25， 则该组的频数为________．
答案 5
解析
设频数为n，则
n 20
＝0.25，所以n＝20×0.25＝
5.
2．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－
1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差
分别为( )
A．5,2423
B．5,2413
(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方
差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同
学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差
s2＝
1 n
[(x1－
－x
)2＋(x2－
－x
)2＋…＋(xn－
－x
)2]，其中
－x
为
x1，x2，…，xn的平均数)
【解析】 (1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学 的植树棵数是：8,8,9,10，
甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应
该选择种植品种乙．
探究2 平均数与方差都是重要的数学特征数，是对 总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的 实际意义，所以不仅需要掌握计算公式和方法，还要学 会通过这些数据分析其含义，从而为正确决策提供依 据．
思考题2 甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的 五次测试成绩得分情况如图所示．
＋(91－87)2]＝9.2，s
2
甲
<s
2
乙
，因此甲比乙成绩更稳定，选
A.
题型一
用样本频率分布估计总体的分布
例1 (2012·江南十校联考)某制造商3月生产了一批乒乓 球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位： mm)，将数据分组如下表：
分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03]
【解析】 (1)根据频率分布直方图可知，频率＝组
距×(频率/组距)，故可得下表
分组
频率
[1.00,1.05]
0.05
[1.05,1.10]
0.20
[1.10,1.15]
0.28
[1.15,1.20]
0.30
[1.20,1.25]
0.15
[1.25,1.30]
0.02
(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15,1.30)
C．4,2513 答案 A
D．4,2523
3．(2011·湖北文)有一个容量为200的样本，其频率 分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估 计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )
A．18 C．54 答案 B
B．36 D．72
解析 易得样本数据在区间[10,12)内的频率为 0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36，选B.
－x )2＋(x2－－x )2＋…＋(xn－－x )2]，其中－x 为样本平均数．
【解析】 品种甲的每公顷产量的样本平均数和样
本方差分别为：
－x
甲＝
1 8
×(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋
406)＝400，
s
2
甲
＝
1 8
×[(32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122
乙学生成绩的中位数为532＋2 536＝534.
1．用样本频率分布来估计总体分布的重点是：频率 分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计 总体分布，难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及 应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽 窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体 作出估计．
4. (2012·南昌一模)甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同 学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图， 若甲、乙小组的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列结论正 确的是( )
A．x甲>x乙，甲比乙成绩稳定 B．x甲>x乙，乙比甲成绩稳定 C．x甲<x乙，甲比乙成绩稳定 D．x甲<x乙，乙比甲成绩稳定 答案 A
(1)在下面的表格中填写相应的频率；
分组
频率
[1.00,1.05] [1.00,1.10] [1.10,1.15] [1.15,1.20] [1.20,1.25] [1.25,1.30]
(2)估计数据落在[1.15,1.30)中的概率为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水 库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其 中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中 鱼的总条数．
探究3茎叶图既直观又真实地反映数据的特征，它有 两个突出的优点：一是统计图上没有原始信息的损失， 所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图方 便记录与表示．解题过程中需要注意的是读取一定要准 确．
思考题3 某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下： 甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538 乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 (1)用茎叶图表示两学生的成绩； (2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．
解析 依题意得
x甲＝15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，
x乙＝
1 5
(80×4＋90×1＋3＋4＋8＋9＋1)＝87，x甲>x
乙；
x
2
甲
＝
1 5
[(88－90)2＋(89－90)2＋(92－90)2＋(91－90)2]
＝2，
s
2
乙
＝
1 5
[(83－87)2＋(84－87)2＋(88－87)2＋(89－87)2
(2)由s2甲＞s乙2 ，可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的 成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而 乙的成绩则无明显提高．
题型三 茎叶图的应用
例3 (2011·北京文)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名 同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认， 在图中以X表示．
4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的 基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估 计总体的思想.
请注意！
1.本节是用样本估计总体，是统计学的基础．以考查 频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为 主，同时考查对样本估计总体的思想的理解．
2.本节在高考题中主要是以选择题和填空题为主， 属于中低档题目.
所以平均数为：－x ＝8＋8＋49＋10＝345； 方差为： s2＝14[(8－345)2＋(8－345)2＋(9－345)2＋(10－345)2]
＝1116.
(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的 棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4， 他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机 选取一名同学，所有可能的结果有16个：