人教版高中(必修一)数学3.2函数模型及其应用ppt课件

典例精讲
题型一 函数模型的选择
少弧度时，扇形面积最大？
例1 扇形的周长为c(c>0)，当圆心角为多
c 所以0<r< . 2 c c 1 1 面积S= lr= (c-2r)r=( -r)r(0<r< ), 2 2 2 2 2 c
当r= 时， Smax=
此时|α|= l =
r
(方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r>0,
2
2
c . a 2
a
2(2 a
a
4)
1 6
当且仅当α= 4 ，即α=2时，等号成立. 所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最
大，为
c 1 6
2
.
为自变量，运算较大且需用到均值不等 式等技巧，而方法一以半径为自变量， 是一个简单的二次函数模型.同样，若以 弧长l为自变量，也是一个二次函数模型. 所以在构造函数过程中，要合理选择自 变量.
将各组数据代入验证，选B.
3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种 方式是月租20元，B种方式是月租0元.一 个月的本地网内打出电话时间（分钟） 与打出电话费s（元）的函数关系如图， 当打出电话150分钟时，这两种方式的电 话费相差（ A ） A.10元 C.30元 B.20元
4 0 D. 元 3
中，已知开始时木桶1中有a升水，木桶2是 空的，t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰 减曲线y1=ae-mt（其中m是常数，e是自然对 数的底数）.假设在经过5分钟时，木桶1和 木桶2的水恰 好相等,求：
（1）木桶2中的水y2与时间t的函数关系； a （2）经过多少分钟，木桶1中的水是 升? 8 (1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出 的，而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt， 所以y2=a-ae-mt. (2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m， ln2.所以y1=ae . a 已知函数模型求参数值，关键是 a 点评 当y1= 时,有 =ae t=15(分钟). 8 8 根据题设条件建立方程求解 . a 所以经过15分钟木桶1的水是 . 8
x 2 12 x 25 = x
当且仅当x=
y 平均利润 x
2 5 x
≤12-10=2,
,即x=5时,等号成立,故选C.
函数是描述客观世界变化规律的基本数 学模型，不同的变化规律需要用不同的函数 模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当 如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实 上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理 解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数 和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型 必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种 函数模型：
In 2 t 5 In 2 t 5
解得2e-5m=1
1 m= 5
题型三 给出函数模型的应用题
去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为 时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=802t(件）,价格近似满足f(t)=20- 1 |t-10|（元）. 2 (1)试写出该种商品的日销售额y与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
⑤对数型函数模型：f(x)=mlogax+n(m、n、a 为常数,m≠0,a>0且a≠1); ⑥幂函数型模型：f(x)=axn+b(a、b、n为常 数,a≠0,n≠0); k ⑦“对勾”函数模型：f(x)=x+ (k为常数,k>0) x ，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是 一个“对勾号”,故我们把它称之为“对勾”函 数模型； ⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种 或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.
两种话费相差为Δy， 根据几何关系可得Δy=Δy′, y =12,Δy′=10， 2 0 所以Δy=10.
4.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车 投入客运，据市场分析，每辆客车营运的 总利润y万元与营运年数x (x∈N*)的关系 为y=-x2+12x-25，则为使其营运年平均利 润最大,每辆客车营运年数为（C ） A.2 B.4 C.5 D.6
2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了 如下一组数据：
x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表 示这些数据的规律,其中最接近的一个是( B) A.y=2x-2 C.y=log2x
1 B.y= (x2-1) 2 1 x D.y=( ) 2
(必修1) 第三章 函数的应用
函数模型及其应用
了解指数函数、对数函数、幂函 数、分段函数等函数模型的意义， 并能建立简单的数学模型，利用这 些知识解决应用问题.
1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单 位：元)由f(m)=1.06×(0.50×［m］+1)给出 ，其中m>0,［m］是大于或等于m的最小 整数(如［4］=4,［2.7］=3,［3.8］=4).若 从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟的 电话费为( ) C 由题设知 ×元 (0.50×［5.5］+1) A.3.71 元 ,f(5.5)=1.06 B.3.97 =1,06 ×(0.5 ×6+1)=4.24. 故选C. C.4.24 元 D.4.77 元
点评 (1)虽然问“α为多少时”，但若以α
(2)一般的，当线绕点旋转时，常 以旋转角为变量.
(3)合理选择是画图象还是分离参 数解决不等式组成立问题.当图易于作 出时，常用图象解决；当易分离参数 且所得函数的最值易于求解时，可用 分离参数法.
题型二 已知函数模型求参数值
例2 如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2
①一次函数模型:f(x)= kx +b(k、b为常数,k≠0); k ②反比例函数模型：f(x)= +b(k、b为常 x 数,k≠0);
③二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常 数，a≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最 为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为 常见的;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
④指数型函数模型：f(x)=kax+b(k、a、b为常 数，k≠0,a>0且a≠1);
c
4
所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最
大，为
c 1 6
2
c 2r r
1 6
,
=
4 r 2 r =2. r
.
(方法二)因为c=l+2r=αr+2r,所以r= 1 2 c 2 c 2a 所以S= αr =α·( ) = 2(a 2)2 a 2 2 c c 2 c = 2(a 4 2) ≤ 4 = .