苏教版必修第二册第10章三角恒等变换章末复习提升课课件_2

故选 B．
5．已知 α∈0，π4，β∈－π4，0，cos π4＋α＝35，cos β－π4＝153. (1)求 sin 2α 的值； (2)求 cos (α＋β)的值． 解：(1)sin 2α＝－cos π2＋2α＝－cos 2π4＋α ＝1－2cos2π4＋α＝1－2×352＝275.
(2)由于 α∈0，π4，β∈－π4，0，所以π4＋α∈π4，π2，β－π4∈－π2，－π4，
三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路： (1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系． (2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来． (3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．
1．化简1＋sins2i5n01°0°＝________． 解析：1＋sins2i5n01°0°＝2（1－1＋cossin11000°°）＝1－2c（os1＋（s9in0°1＋0°1）0°） ＝2（11＋＋ssiinn1100°°）＝12. 答案：12
1．已知 tanα，tanβ 是一元二次方程 x2＋2x－5＝0 的两实根，则 tan (α＋β)
＝( )
A．13
B．－12
C．12
√D．－13
解析：因为 tan α，tan β 是一元二次方程 x2＋2x－5＝0 的两实根，故可得 tan α＋tan β＝－2，tan αtan β＝－5，故可得 tan (α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ＝ －1＋2 5＝－13.故选 D．
所以 f(x)的单调递增区间为kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z).
(2)因为 x∈－π6，π4⇒2x－π3∈－23π，π6， 所以 sin 2x－π3∈－1，12， 所以 f(x)max＝ 43，f(x)min＝－ 23.
本部分内容讲解结束
2．已知 sin α－cos α＝ 33，则 sin 2α 的值为(
)
A．13
B．－23
√C．23
D．－13
解析：因为 sin α－cos α＝ 33，
两边同时平方得 sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝13，
所以 1－sin2α＝13，所以 sin 2α＝23，故选 C．
3．函数 f(x)＝2sin
x 2·sin
π3－x2的最大值是(
)
√A．12
B．32
C．－12
D．－23
解析：f(x)＝2sin
x 2·
sin π3－x2＝2×－21·cos x2＋π3－x2－ cos 2x－π3＋x2
＝－cos π3＋cos x－π3＝－12＋cos x－π3≤－12＋1＝12， 即 f(x)的最大值为12. 故选 A．
解：(1)f(x)＝cos x·sin x cos
π6＋
cos x sin
π6－cos 2x－14
＝
3 2 cos
x
sin
x＋12cos2x－cos2x－14
＝
3 4 sin
2x＋14(cos
2x＋1)－cos
2x－14
＝ 43sin 2x－34cos 2x＝ 23sin 2x－π3.
由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2⇒kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2，
第10章 三角恒等变换
章末复习提升课
数学
01
知识网络 体系构建
02
主题串讲 综合提高
03
热考强化 素养提升
04
章末演练 轻松闯关
主题 1 三角函数式的求值
已知
α，β
为锐角，tan
α＝43，cos
(α＋β)＝－
5 5.
(1)求 cos 2α 的值；
(2)求 tan (α－β)的值．
【解】 (1)因为 tan α＝43，tan α＝csions αα， 所以 sin α＝43cos α. 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝295. 所以 cos2α＝2cos2α－1＝－275.
(2)函数 y＝sin x 的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z). 由 2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋32π，x≠kπ(k∈Z)， 得 kπ＋38π≤x≤kπ＋78π(k∈Z). 所以 f(x)的单调递减区间为kπ＋38π，kπ＋78π(k∈Z).
解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角 恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为 自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时， 既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和 差与积的互化、角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法 (如换元法等)的运用．
2．求证：1＋sinco4sx4x·1＋cocso2sx2x·1＋cocsoxs x＝tan x2.
证明：左边＝2sin2c2oxs2c2oxs
2x·2ccooss22xx·2ccoossx2x2＝2cos
sin 2x x·2cos22x
xx ＝2c2ossinx·x c2ocsoxs2x2＝2si2nc2ocso2x2s 2＝tan x2＝右边．所以等式成立．
又 cos2α＝1＋c2os2a＝45，α∈(0，π4)， 所以 cos α＝255，sin α＝ 55， 所以 cos (α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×(－2254)－ 55×275＝－11255.
主题 2 三角函数式的化简与证明
化简：2cos
1＋3tan 2θ＋sin
已知函数 f(x)＝cos π3＋x·cos π3－x－sin x cos x＋14. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值； (2)求函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
解：(1)因为 f(x)＝cos π3＋xcos π3－x－12sin 2x＋14
＝12cos
x－
3 2 sin
(2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π). 又因为 cos (α＋β)＝－ 55，所以 sin (α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝255. 因此 tan(α＋β)＝－2. 因为 tan α＝43，所以 tan 2α＝1－2tatannα2α＝－274. 所以 tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝1t＋anta2nα－2αttaann （（αα＋＋ββ））＝－121.
2θθ－1－cos
3＋5tan 2θ－4sin
θ 2θ－4.
【解】 原式＝cos2θ－31s＋in23θt＋an2θsinθcos θ＋3cos2θ＋53s＋in52tθa＋n 8θsinθcos θ
cos θ＋3sin θ
3cos θ＋5sin θ
＝（cos
θ＋3sin
cos θ θ）（cos
θ－sin
三角函数式求值的三种常见类型 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察 就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当 然还有可能需要运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函 数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角 ．当然在这个过程中要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊 角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角 的范围．
所以 sinπ4＋α＝ 1－cos2π4＋α＝ 1－352＝45，
sinβ－π4＝－ 1－cos2β－π4＝－1123，
所以 cos(α＋β)＝cos π4＋α＋β－π4
＝cos
π4＋αcos
β－π4－sin
π 4
＋αsin
β－π4＝35×153－45×－1123＝6635.
6．已知函数 f(x)＝cos x sin x＋π6－cos 2x－14，x∈R. (1)求 f(x)单调递增区间； (2)求 f(x)在－π6，π4的最大值和最小值．
已知 sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin (β－π4)＝35，β∈(π4， π 2). (1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值； (2)求 cos (α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即 1＋sin 2α＝95，所以 sin 2α＝45. 又 2α∈(0，π2)，所以 cos 2α＝ 1－sin22a＝35， 所以 tan2α＝csoins 22aa＝43.
θ）＋（3cos
θ＋5sin
cos θ θ）（cos
θ＋sin
θ）
＝cos2θ－s1inθcos θ＋cos2θ＋s1inθcos θ
＝ cos
θ（coscoθs＋2θs－insiθn2θ）＋cos
cosθ－sin θ θ（cos2θ－sin2θ）
＝ cos
2cosθ θ·cos
2θ＝cos22θ.
(2)因为 β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，所以 cos (β－π4)＝45， 于是 sin 2(β－π4)＝2sin (β－π4)cos (β－π4)＝2245. 又 sin 2(β－π4)＝－cos 2β，所以 cos 2β＝－2245. 又 2β∈(π2，π)，所以 sin 2β＝275.
4．计算：tanπ42－coαs2sαin－21π4＋α的结果为(
)
A．1
√B．2
C．－1
D．－2
解析：tanπ42－coαs2sαn－21π4＋α＝ sin cos
cos2α π4π4－－ααcos2π4－α
＝ sin
cos2α π4－αcos
π4－α＝sin
2（coπ2s－2α2α）＝2.
x12cos
x＋
3 2 sin
x－12sin
2x＋14
＝14cos2x－34sin2x－12sin2x＋14＝1＋c8os 2x－3－3c8os 2x－12sin 2x＋14
＝12(cos 2x－sin 2x)＝ 22cos 2x＋π4，
所以函数 f(x)的最小正周期为 π，最大值为 22.
(2)由 2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π，k∈Z， 得 kπ－π8≤x≤kπ＋38π，k∈Z， 所以函数 f(x)的单调递减区间为kπ－π8，kπ＋38π，k∈Z. 又因为 x∈[0，π]，则 f(x)在[0，π]上的单调递减区间为0，38π，78π，π.
主题 3 三角函数公式的综合应用
已知函数
f(x)＝（sin
x－cos x）sin sin x
2x .
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求 f(x)的单调递减区间．
【解】 (1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z)， 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． 因为 f(x)＝(sin x－cos x)ssiinn2xx＝2cos x(sin x－cos x) ＝sin 2x－cos 2x－1＝ 2sin 2x－π4－1， 所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.