西藏自治区拉萨中学高三数学上学期第四次月考(期末)试题 理

拉萨中学高三年级（2017届）第四次月考理科数学试卷
（满分150分 考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A ={}2,0,2-，B ={}
02-|2
=+x x x ，则=B A ( )
A.φ
B.{}2
C.{}0
D.{}2-
2．已知两条直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )
A ．－2
B ．2
C ．－1
D ．1 3.
a 与
b 的夹角为︒60
，则=+a 2 ( ) A.83 B. 63 C. 53 D.82
4．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.812x ＋722y ＝1 B 812
x ＋92y ＝1
C. 812x ＋452y ＝1
D. 812
x ＋36
2y ＝1
5.“函数f(x)=ax+3在(-1,2)上存在零点”是“3＜a ＜4”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，
a
2
,a a 1
3,21
成等差数列，则公比q 为（ ） A ．
253+ B ．253- C ．251+ D ．2
5
1- 7.设实数x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤-+≥+-0,0040
22y x y x y x 目标函数z=x-y 的取值范围为( )
．[]4,0
8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(
3
4π
，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.
6π B. 4
π C. 3π D. 2π
9．设F 1、F 2分别是双曲线5
2
x －42y ＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF ·2PF ＝0，则
|1PF ＋2PF |等于( )
A ．3
B ．6
C ．1
D ．2 10．由直线x ＝
21，x ＝2，曲线y ＝x
1
及x 轴所围图形的面积为( ) A. 415 B. 4
17 C. 21ln2 D ．2ln2
11. 已知双曲线=-22
29b
y x 1(b ＞0)，过其右焦点F 作圆922=+y x 的两条切线，切点记作C ，D,
双曲线的右顶点为E,∠CED=︒150，其双曲线的离心率为( ) A.
932 B. 23 C. 3
3
2 D. 3
12.设函数f(x)是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f(x)-f(-x)=0，当[]0,1-∈x ，
)1(2)(+-=x e x x f .若x og x f x g a 1)()(-=在),0(+∞∈x 有且仅有三个零点，则a 的取值范围为
（ ）
A.[]5,3
B.(3,5)
C. []6,4
D.(4,6)
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是 ． 14.函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π上的最小值为 15．已知A (2,2)、B (－5,1)、C (3，－5)，则△ABC 的外心的坐标为_________． 16．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为4
3π
的直线交抛物线于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于_________．
三、解答题（6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17、（本小题满分12分）
（1）圆C 与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求圆C 的标准方程．
（2）双曲线C 与椭圆8
2
x ＋42y ＝1有相同的焦点，直线y ＝x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的
方程．
18、（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且B c B a C b cos cos 3cos -= (1)求B cos 的值；
(2)若2.=⋅BC BA ，且22=b ，求△ABC 的面积.
19、（本小题满分12分） 已知数列{}n a 首项为1，1
21+=
+n n
n a a a ．
（1）证明：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n a 1是等差数列，并求{}n a 的通项公式；
（2）记数列{}1+n n a a 的前n 项和为n T ，证明：n T ＜2
1．
20、（本小题满分12分） 已知函数f(x)=
x
nx
a 1+在x =1处取得极值. （1）求a 的值，并讨论函数f(x)的单调性； （2）当[),1+∞∈x 时，f(x) x
m
+≥1恒成立，求实数m 的取值范围．
21、（本小题满分12分）
已知椭圆C ：a b
y a x (122
22=+＞b ＞0)的右焦点2F 和上顶点B 在直线0333=-+y x 上，M 、N
为椭圆C 上不同两点，且满足4
1
=⋅BN BM k k ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）证明：直线MN 恒过定点；
（3）求△BMN 的面积的最大值，并求此时MN 直线的方程．
请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22、（本小题满分10分） 选修4-4:极坐标与参数方程选讲：
在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数⎩⎨⎧=+=ϕ
ϕ
sin cos 1y x 方程为（ϕ为参数，πϕ≤≤0），以O
为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的极坐标方程35)cos 3(sin =+θθp 是，射线OM ：3
πθ=与半圆C 的交点为P ，
与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
23、 （本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数31)(-++=x x x f ． （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式)3(1)(2
2a a og x f --＞2恒成立，求实数a 的取值范围．
拉萨中学2017届高三第四次月考理科数学参考答案
一、选择题（5分×12=60分）
13、
； 14、； 15、
； 16、
三、解答题（共6个小题70分）
17、（本小题满分12分）
解：(1)设所求圆的圆心为，半径为，
又OA ⊥l ，所以
，即
；
又圆过点A (3,6)，B (5,2)，所以，即‚；
由 、‚得，故圆的标准方程为：
（2）设双曲线方程为，
由椭圆，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，
∴对于双曲线C ：c ＝2. 又
为双曲线C 的一条渐近线，
∴a b ＝，解得a 2＝1，b 2
＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2
－3y2
＝1.
18、（本小题满分12分） 解：（1）由正弦定理得，
则
故 可得
即
因此得，，得
（2）解：由,可得，
又，故，又，所以
19、（本小题满分12分）
解：（1）由可得即，
又即，∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴即；
（2）由（1）知，
∴，
∴．
20、（本小题满分12分）
解：（1）由题知，又，即，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在单调递减；
（2）依题意知，当时，恒成立，即，
令，只需即可。

又，令，，
所以在上递增，，，所以在上递增，
，故
21、（本小题满分12分）
解：（1）依题椭圆的右焦点为，上顶点为，故，，，
∴所求椭圆标准方程为；
（2）由（1）知，设、，
当直线斜率不存在，则，，又，
∴不符合，
‚当斜率存在时，设直线方程为，
由消去得：，
∴且，又，
∴即，又，，
代入（*）化简得，解得或，
又，∴，即，
∴直线恒过定点；
（3）由且，可得，
设点到直线的距离为，则，
又，，
∴，
即，
当且仅当即时，面积有最大值为，
此时直线的方程为或．
22、（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）半圆C的普通方程为，又，所以半圆C的极坐标方程是．
（Ⅱ）设为点的极坐标，则有，解得，
设为点的极坐标，则有解得，
由于，所以，所以的长为4．
23、（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）原不等式等价于
或
解得：.
即不等式的解集为．
（Ⅱ）不等式等价于，
因为，所以的最小值为4，
于是即所以或.。