【数学】河北省衡水中学高三上学期四调考试试题(文)
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河北省衡水中学高三上学期四调考试
数学试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}2,1,0,1{-=A ,集合},32|{A x x y y B ∈-==,则=B A ( ) A .}1,0,1{- B .}1,1{- C .}2,1,1{- D .}2,1,0{ 2.已知复数),(R y x yi x z ∈+=,若i y x i )1(1-+=+,则=||z ( ) A .
25 B .3 C .2
7
D .4 3.已知双曲线方程为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ,21,F F 为双曲线的左右焦点,P 为渐近线
上一点且在第一象限,且满足021=⋅PF PF ,若0
2130=∠F PF ,则双曲线的离心率为( ) A .2 B .2 C .22 D .3 4.已知n S 是等比数列}{n a 前n 项的和,若公比2=q ,则
=++6
5
31S a a a ( )
A .
31 B .71 C .32 D .7
3 5.设P 表示一个点,b a ,表示例题直线,βα,表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
①αα⊂⇒∈∈a P a P ,; ②ββ⊂⇒⊂=a b P b a , ; ③αα⊂⇒∈∈⊂b a P b P a b a ,,,// ④b P P P b ∈⇒∈∈=βαβα,, . A .①② B .②③ C .①④ D .③④
6.若43tan =
x ,则=-++)4
2tan()42tan(π
πx x ( ) A .2- B .2 C .23 D .2
3
-
7.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个
面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥ABC P -为鳖臑,⊥PA 平面ABC ,
2==AB PA ,22=AC ,三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的
表面积为( )
A .π12
B .π16
C .π20
D .π24
8.已知抛物线x y 42
=上有三点C B A ,,,CA BC AB ,,的斜率分别为3,6,2-,则ABC ∆的重心坐标为( )
A .)1,914(
B .)0,914(
C .)0,2714(
D .)1,27
14
( 9.已知函数2
1
121)(-+=x x f ,n m ,满足0)2()2(22≥-+-m n f n m f ,
则|47|++n m 的取值范围是( )
A .]12,2[
B .]22,2[
C .]22,12[
D .]21012,21012[+- 10.函数)sin()(ϕω+=x A x f (其中2
||,0π
ϕ<
>A )的图象如图所示,为了得到
x x g ωcos )(=的图象,则只要将)(x f 的图象( )
A .向左平移
12π个单位长度 B .向右平移12π
个单位长度 C .向左平移6π个单位长度 D .向右平移6
π
个单位长度
11.在平面直角坐标系xOy 中,已知两圆1C :122
2
=+y x 和2C :142
2
=+y x ,又A 点坐标为)1,3(-,N M ,是1C 上的动点,Q 为2C 上的动点,则四边形AMQN 能构成矩形的个数为( )
A .0个
B .2个
C .4个
D .无数个
12.已知函数x x x f a +=log )(,)1(4log )1ln()(>+--=a a x x g x ,若存在实数0x 使得)()(00x g x f =,则=a ( )
A .2
B .3
C .4
D .5 二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量,夹角为060,且1||=,10|2|=-,则=|| .
14.如图为某几何体的三视图,正视图与侧视图是两个全等的直角三角形,直角边长分别为
3与1,俯视图为边长为1的正方形,则该几何体最长边长为 .
15.已知数列}{n a 满足3
4
1=
a ,}12{
--n n a a 是公比为2的等比数列,则n
a a a a a a a a a ⋅++++213212111
111 = .
16.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左,右焦点分别为21,F F ,以O 为圆心,21,F F 为
直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P ,且直线OP 的斜率为3,则椭圆的离心率为 .
三、解答题 (本大题共6题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列}{n a ,}{n b 满足4
1
1=
a ,)1)(1(,11n n n n n n a a
b b b a +-==++.
(1)设1
1
-=
n n b c ,求数列}{n c 的通项公式; (2)若13221++++=n n n a a a a a a S ,求n S .
18.如图,ABC ∆是等边三角形,D 是BC 边上的动点
(含端点),记βα=∠=∠ADC BAD ,.
(1)求βαcos cos 2-的最大值; (2)若7
1
cos ,1=
=βBD ,求ABD ∆的面积.
19.如图所示,四棱锥ABCD S -中,平面⊥SAD 平面ABCD ,AD SA ⊥,BC AD //,
423
4
===
=AD AB BC SA .
(1)证明:在线段SC 上存在一点E ,使得//ED 平面SAB ; (2)若AC AB =,在(1)的条件下,求三棱锥AED S -的体积.
20.如图,已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为4,离心率为2
1
,过点)2,0(-的直
线l 交椭圆于B A ,两点,点A 关于x 轴的对称点为C ,直线BC 交x 轴于Q 点
.
(1)求椭圆方程;
(2)探究:||||OQ OP ⋅是否为常数?
21.设常数2>t ,在平面直角坐标系xOy 中,已知点)0,2(F ,直线l :t x =,曲线Γ:
)0,0(82≥≤≤=y t x x y .l 与x 轴交于点A ,与Γ交于点Q P B ,,分别是曲线Γ与线段AB
上的动点.
(1)用t 表示点B 到点F 的距离;
(2)设3=t ,2||=FQ ,线段OQ 的中点在直线FP 上,求AQP ∆的面积;
(3)设8=t ,是否存在以FQ FP ,为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上?若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由. 22.设函数)(,)1(ln )(R a x a x x f ∈+-=. (1)讨论函数)(x f 的单调性;
(2)当函数)(x f 由最大值且最大值大于13-a 时,求a 的取值范围
.
【参考答案】
1.【答案】B
【解析】集合}1,1,3,5{},32|{},2,1,0,1{---=∈-==-=A x x y y B A ,则}1,1{-=B A ,
所以B 选项是正确的. 2.【答案】C
【解析】由复数相等的充要条件有:⎩⎨⎧=-=111y x ,⎩⎨
⎧==2
1
y x ,则521||,2122=+=+=z i z ,故选C. 3.【答案】B
【解析】设O 为坐标原点,∵021=⋅PF ,∴三角形21F PF 为直角三角形, 又O 为21F F 的中点, ∴||||2OF OP =, ∵0
2130=∠F PF ,
∴01260=∠F PF ,三角形2POF 为正三角形, ∴直线OP 的倾斜角为060, ∴
060tan =a
b
3= ∴22
2=+=
=a
b a a
c e ,故选B. 4.【答案】A
【解析】31
111)
1()1(6
14216531=+=--++=++q q
q a q q a S a a a ,故选A. 5.【答案】D
【解析】当P a =α 时,,,α∈∈P a P 但α⊄a ,∴①错;
P a =β 时,②错;
如图,∵b P b a ∈,//,∴a P ∉,
∴由直线a 与点P 确定唯一平面α,又b a //,由a 与 b 确定唯一平面β,但β
经过直线
a 与点P ,
∴β与α重合,∴α⊂b ,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.故选 D . 6.【答案】C
【解析】23tan 22
tan 12tan
42tan 112tan 2tan 112tan
)42tan()42tan(2
==-=+-+-+=
-++x x x
x x x x x x ππ,故选C. 7.【答案】A
【解析】由题意,⊥PA 平面ABC ,2==AB PA ,22=AC ,因为平面ABC 和平面
PBC 都是直角三角形,则角ABC 为直角,此时满足BC 垂直于PA ,BC 垂直于AB 进而
得到BC 垂直于PB ,此时满足面PBC 为直角三角形,底面外接圆的圆心是斜边AC 的中点,球心在过底面圆心并且和PA 平行的直线上,并且球心到圆心的距离为1,直角三角形外接圆的半径为2=
r ,
∴122+=r R ,即3=
R .
∴球O 的表面积24R S π=π12=,故选A. 8.【答案】C
【解析】设),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A 则34
4
42
12
2
21212
121=+=
-
-=
--=
y y y y y y x x y y k AB ,
得34
21=
+y y ,同理326432==+y y ,22
413-=-=+y y ,三式相加得0321=++y y y ,故与前三式联立,得914,34
,2,32211321==
-==-=y x y y y ,14222==y x ,9
442
33==y x ,则
27143321=++x x x .故所求重心的坐标为)0,27
14
(,故选C.
9.【答案】B
【解析】由题意,02
11
212
11
2
1)()(=-
++
-
+=
+--x
x
x f x f ,可得)(x f 为奇函数,
又)(x f 是R 上的减函数,故
)2()2(22≥-+-m n f n m f ⇒
)2()2()2(222n m f m n f n m f -=--≥-
2)1()1(222222≤-+-⇒-≤-⇒n m n m n m ,所以满足条件的),(n m 表示的区域是圆2)1()1(22=-+-y x 的内部(含边界),则点),(n m 到直线047=++y x 的距离
]250
12,
250
12[
50
|
47|+-∈++=
n m d ,所以|47|++n m 的取值范围是]22,2[,故
选B. 10.【答案】A
【解析】由函数图象可得1=A ,则3
1272414π
πωπ-=⨯=T ,可得2=ω.再由五点作图法可得πϕπ
=+⨯
3
2,可得3
π
ϕ=
,故函数的解析式为)3
2sin()(π
+
=x x f .由
)26
cos()32sin()(x x x f -=+=ππ)12(2cos π-=x ,故将函数)(x f 的图象向左平移12π
个
单位长度可得到x x g ωcos )(=的图象,故选A. 11.【答案】D
【解析】如图所示,任取圆2C 上一点Q ,以AQ 为直径画圆,交圆2A 与N M ,两点,则由圆的对称性知,AQ MN =,且0
90=∠=∠ANQ AMQ ,
∴四边形AMQN 是矩形,由作图知,四边形AMQN 能构成无数个矩形. 故选D.
12.【答案】A
【解析】由已知
0x ∃,4
log )1ln(log 0000+--=+a x x x x a ,即
4)1ln(log log 0000=--++x x a x x a ,而1,10>>a x ,故0log 0>x a ,a
x 0log ⇒>=
0log 1
x a 2log log 00≥+a x x a ,设)1ln()(--=x x x h ,容易求得当2=x 时,
)(x h 的最小值为2.
∴4)1ln(log log 0000≥--++x x a x x a , 当“=”成立时,2,1log 00==x x a 故2=a ,选A. 13.【答案】17+
【解析】平面向量遇到模想到了平方,遇到了角度想到了数量积公式,两者结合使用即可算出答案
已知向量b a ,夹角为060,且1||=a ,10|2|=-b a , ∴10||||2444)2(2
2
2
2
=+-=+⋅-=-b b b b a a b a 解得71||+=或71-(舍去),∴71||+= 14.【答案】5
【解析】由三视图还原几何体如图所示;
该几何体还原实物图为三棱锥,BDC ∆为腰长为 1 的等腰三角形, ⊥AB 平面BDC ,
DC AD ⊥,则3=AB ,2=AD ,∴最长边为5=AC ,故填5.
15.【答案】
12
1
21+-+n n
【解析】由题知,12--n n a a n
n a a 2212111=⋅--=-,则1
2)22(212221++=++=-n
n n n n a , 所以12212)22(212)22(212)22(211211021+=++++⋅++=+-n
n n n n a a a ,故12121
211++=n n
a a a , 所以
1132213212112
1
2121212121111++-+=++++=⋅++++n n n n n a a a a a a a a a . 16.【答案】31-
【解析】由题可知0
260=∠POF ,0
210
1190,30=∠=∠=∠PF F OPF O PF , 所以c PF c PF c F F 3||,||,2||1221===,由椭圆定义可知a c PF PF 2)13(||||12=+=+
所以离心率131
32-=+==
a
c
e .
17.解:(1)∵121
11--=-+n
n b b ,∴11112111-+-=--=-+n n n n b b b b ,
∵41
1
11-=-=
b c ,∴数列}{n c 是以4-为首项,1-为公差的等差数列, ∴3)1)(1(4--=--+-=n n c n . (2)由(1)知,311--=-=n b c n n ,∴3
2
++=n n b n , 从而3
1
1+=
-=n b a n n , 13221++++=n n n a a a a a a S 4
141)4)(3(1651541+-=++++⨯+⨯=
n n n )
4(4+=
n n
.
18.解:(1)由ABC ∆是等边三角形,得3
π
αβ+=,3
0π
α≤
≤,
故βαcos cos 2-)3
sin(3)3
cos(cos 2π
απ
αα+
=+-=,故当6
π
α=
时,即D 为BC
中点时,原式取得最大值3.
(2)由7
1
cos =
β,得734sin =β,故
14
3
33sin cos 3cos sin )3sin(sin =-=-=πβπβπβα,
由正弦定理得BAD BD
ADB AB ∠=∠sin sin ,故38114
3
373
4sin sin =⨯==BD AB αβ,
故3
322313821sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=
∆B BD AB S ABD . 19.(1)证明: 如图,取SB 中点M ,SC 中点E ,连接DE ME AM ,,,
∴ME 是BCS ∆的中位线, ∴BC ME //,BC ME 21=
,由题得,BC AD 21
//,BC AD 2
1=,
则有ME AD ME AD =,//,
∴四边形AMED 为平行四边形, ∴AM ED //
∵⊄ED 平面SAB ,⊂AM 平面SAB , ∴//ED 平面SAB .
(2)解:∵平面⊥SAD 平面ABCD ,平面 SAD 平面AD ABCD =,
⊂⊥SA AD SA ,平面SAD ,故⊥SA 平面ABCD
∵E 是SC 中点,∴E 到平面ABCD 的距离等于S 到平面ABCD 距离的一半, 且⊥SA 平面ABCD ,4=SA ,∴三棱锥ACD E -的高为2 ,AED S ACD E V V --=,
在等腰ABC ∆中,3==AB AC ,4=BC ,BC 边上的高为5232
2=-,
AD BC //,∴C 到AD 的距离为5,∴5522
1
=⨯⨯=
∆ADC S , ∴3
522531=⨯⨯=
-AED S V . 20.解:(1)由题意得⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧+===222214
2c b a a c a 解得1,3,2===c b a
所以椭圆方程为13
422=+y x 直线l 方程为2-=kx y ,则P 的坐标为)0,2
(k
设),(11y x A ,),(22y x B ,则),(11y x C -, 直线BC 方程为
1
21
121x x x x y y y y --=++,令0=y ,得Q 的横坐标为
4
)()
(22212121211221-+-=++=
x x k x x x kx y y y x y x x ①
又⎪⎩⎪⎨⎧=+-=13422
2y x kx y 得0416)43(2
2=+-+kx x k ,得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=+2212214344316k x x k k x x 代入①得k k
k k k k x 21224)
43(41616282
2=--=+-⋅-=
得422||||||=⋅=⋅=⋅k k
x x OQ OP Q P
∴||||OQ OP ⋅为常数4.
21. 解:(1)由题意可知,设)22,(t t B ,由抛物线的性质可知,22
||+=+=t p
t BF ,∴2||+=t BF ;
(2))0,2(F ,2||=FQ ,3=t ,则1||=FA ,
∴3||=AQ ,
∴)2,3(Q ,设OQ 的中点D ,)2
2,
23(D , 322
3023-=--=QF
k ,则直线PF 方程:)2(3--=x y ,联立得0122032=+-x x , 解得3
2
=
x ,6=x (舍去), ∴AQP ∆的面积6
37321⨯⨯=
S (3)存在,设),8(),,8(22m m E y y P ,则16
828
22-=-=y y y y k PF ,y y k QF 8162-=,
直线QF 方程为)2(8162
--=x y
y y ,
∴y
y y y y Q 4348)28(81622-=--=,)4348,8(2
y y Q -,
根据=+,则)448,68(2
2y
y y E ++, ∴)68(8)448(
2
2+=+y y y ,解得5
162=y ∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上,且)5
5
4,52(P .
22.解:(1)函数)(x f 的定义域为),0(+∞,
x
x
a a x x f )1(1)1(1)(+-=
+-=
①当01≤+a ,即1-≤a 时,0)('>x f ,函数)(x f 在),0(+∞上单调递增; ②当01>+a 时,即1->a 时,令0)('=x f ,解得1
1
+=
a x
i )当11
0+<
<a x 时,0)('>x f ,函数单调递增, ii )当1
1
+>a x 时,0)('<x f ,函数单调递减,
综上所述,当1-≤a 时,函数)(x f 在),0(+∞上单调递增,当1->a 时,在)1
1
,0(+a 上,函数单调递增,在),1
1
(
+∞+a 上,函数单调递减 (2)由(1)可知当1-≤a 时,0)('>x f ,函数)(x f 在),0(+∞上单调递增,无最大值,不满足题意,当1->a 时,在)11,
0(+a 上,函数单调递增,在),1
1(+∞+a 上,函数单调递减,所以)1
1(
)(max +=a f x f 111
ln
-+=a ,由题意可知1311
1ln
->-+a a ,即03)1ln(<++a a , 令a a a g 3)1ln()(++=,所以0)0(=g ,且)(a g 在),1(+∞-上单调递增,
所以0)0()(=<g a g 在),1(+∞-上恒成立,所以01<<-a ,故a 的取值范围为)0,1(-.。