山东省济宁一中2011届高三第一次质量检测(数学理)

济宁市第一中学
2011届高三教学质量第一次检测
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的． 1．已知函数()2
1f x x x =+-，集合(){}|M x x f x ==，(){}
|N y y f x ==，则（ ）
A ．M N =
B ．M N Ý
C ．M
N =∅
D ．M N Þ 2．命题2
:,560p x R x x ∃∈-+<，则
（ ）
A ．2
:,560p x R x x ⌝∃∈-+≥ B ．2
:,560p x R x x ⌝∀∈-+<
C ．2:,560p x R x x ⌝∀∈-+>
D ．2
:,560p x R x x ⌝∀∈-+≥
3．已知函数()()32212f x ax a x =+-+，若1x =-是()y f x =的一个极值点，则a 的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．27
D ．4 4．命题“若,p q ⌝则”是真命题，则下列命题一定是真命题的是
（ ）
A ．若,p q 则
B ．若,p q ⌝则
C ．若,q p ⌝则
D ．若,q p ⌝⌝则
5．将函数()lg 1y x =-的图像进行变换,使所得函数的图像与函数lg y x =的图像关于y 轴对称,这种变换是 （ ）
A ．向左平移1个单位
B ． 向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ． 向下平移1个单位 6．若112
2
a a -<,则a 的取值范围是
（ ）
A ．1a ≥
B ．0a >
C ．01a <<
D ．01a ≤≤
7．若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为
2y x =,值域为{}1,4的“同族函数”共有
（ ） A ． 7个 B ． 8个
C ． 9个
D ． 10个
8．设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数,函数()f x 在()0,3上单调递减,且()y f x =的图像关于直线3
x =对称,则下面结论中正确的是
（ ）
A ． ()()()1.5 3.5 6.5f f f <<
B ． ()()()3.5 1.5 6.5f f f <<
C ． ()()()6.5 3.5 1.5f f f <<
D ． ()()()1.5 6.5 3.5f f f << 9．
()20
3sin x x dx π
+⎰是
（ ）
A ．
2
318
π+ B ．
2
314
π+ C ． 2
314
π- D ．
2
318
π- 10．曲线313y x x =+在点41,3⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
（ ）
A ．
19
B ．
29
C ．13
D ．23
11．给出下列四个命题，其中为真命题的为
（ ）
①“,x R ∃∈使得2
13x x +>”的否定是“,x R ∀∈都有2
13x x +≤”;
②“2m =-”是“直线()210m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直” 的必要不充分条件;
③设圆()
2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->与坐标轴有四个交点，分别为
()()()()1212,0,,0,0,,0,A x B x C y D y ，则12120x x y y -=；
④函数()sin f x x x =-的零点个数有3个． A ．①④
B ．②④
C ． ①③
D ．②③
12．设定义域为R 的函数()lg 1,10, 1
x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩,则关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有7个不同实数解的充
要条件 （ ）
A ． 00b c <>且
B ．00b c ><且
C ．00b c <=且
D ．00b c ≥=且
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知命题p ：231x ->，命题q ：
(
)
2
12log 50x x +-<，则p q ⌝⌝是的 _条件(填充分不必
要条件、必要不充分条件、充要条件)． 14．若对于任意[]1,1a ∈-,函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零,则x 的取值范围是________． 15．已知命题:,p x R ∃∈使tan 1x =，命题2
:320q x x -+<的解集是{}|12x x <<，下列结论：①命
题“p q ∧”是真命题；②命题“p q ∧⌝”是假命题；③命题“p q ⌝∨”是真命题；④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题；其中正确的为______．（只填序号即可）
16． 已知函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()2'232
xf x x f +=，则()=5'f ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（满分12分）
已知函数()32log f x x =+，[]1,9x ∈，若函数()()()2
2
g x f x f x =+⎡⎤⎣⎦
（I ）求函数()g x 的定义域； （Ⅱ）求函数()g x 的值域．
18．（满分12分）
已知a 是实数，函数2
()()f x x x a =-．
（Ⅰ）若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．
19．（满分12分）设命题()2:431p x -≤;命题()()2
:2110q x a x a a -+++≤,若⌝p
是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 20．（满分12分）
设某物体一天中的温度T 是时间t 的函数，已知3
2
()(0)T t at bt ct d a =+++≠，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时．中午12:00相应的0t =，中午12:00以后相应的t 取正数，中午12:00以前相应的t 取负数（如早上8：00相应的t =-4，下午16：00相应的t =4）．若测得该物体在早上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8:00与
下午16:00有相同的变化率．
（I ）求该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式；
（II ）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？
21．（满分12分）对于函数()f x ,若()f x x =,则称x 为()f x 的“不动点”；若()f f x x
=⎡⎤⎣⎦则称x 为()f x 的“稳定点”函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ,即(){}|A x f x x ==,(){}|B x f f x x ==⎡⎤⎣⎦． (Ⅰ) 求证:A B ⊆；
(Ⅱ)若()()2
1,f x ax a x R =-∈,且A B =≠∅,求实数a 的取值范围．
22．（满分14分）
已知函数()b f x ax c x
=++(),,a b c 是常数是奇函数且满足()512f =,()1724
f =． (Ⅰ)求a 、b 、c 的值；
(Ⅱ)是判断函数()f x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上的单调性并说明理由；
(Ⅲ)试求函数()f x 在()0,+∞上的最小值．
参考答案
一、选择题 DDBCA,CCBAA,CC
二、填空题 13．充分不必要；14．3x >或1x <；15．①②③④；16．6 三、解答题
17．解：(1)函数()()()
2
2
g x f x f x
=+⎡⎤⎣⎦满足2
19
19
x x ≤≤⎧⎨
≤≤⎩，…………………………2分 解得13x ≤≤，即函数()()()2
2
g x f x f x =+⎡⎤⎣⎦的定义域为[]1,3………………4分
(2)
[]1,3x ∈,[]3log 0,1x ∴∈………………………………………………………5分
()()()2
2g x f x f x =+⎡⎤⎣⎦
()2
2332log 2log x x =+++ 233log 6log 6x x =++()2
3log 33x =+-…………………………………………9分
当3log 0x =时, ()min 6g x =,当3log 1x =时, ()max 13g x =,………………11分 即函数()g x 的值域为[]6,13．………………………………………………………12分
18．（Ⅰ）()2
32f x x ax '=-，由'(1)3f =易得a =0，从而可得曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为
320.x y --= …………………………………………………………4分
（Ⅱ）先求出可能的极值点x 1=0，x 2=
23a ，再讨论极值点与区间[0,2]端点的位置关系．令'()0f x =，得1220,3
a
x x ==． 当
20,3
a
≤即0a ≤时，()f x 在[0,2]上单调递增， max ()(2)84f x f a ==-；…6分 当
22,3
a
≥即3a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减， max ()(0)0f x f ==；……8分 当202,3
a <
<即03a <<时，()f x 在2[0,]3a 上单调递减，在2[,2]3a
上单调递增，函数f (x )（0≤ x ≤2)的最大值只可能
在x =0或x =2处取到，因为f (0)=0，f (2)=8－4a ，令f (2) ≥ f (0)，得a ≤ 2，所以
max 84,02;
()0,2 3.a a f x a -<≤⎧=⎨
<<⎩
…………11分 综上，
max
84,2;
()0, 2.a a f x a -≤⎧=⎨
>⎩
……………………………………………………12分 19． 解:由p 得1431x -≤-≤,所以
1
12
x ≤≤,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 由q 得1a x a ≤≤+,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又因p ⌝是q ⌝的必要非充分条件,所以p 是q 的充分非必要条件，．．．．．．．．．．．．．．8分
所以1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+>⎩或1211
a a ⎧<⎪⎨⎪+≥⎩,解得102a ≤≤．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．（满分12分）解：(1) 因为232T at bt c '=++,
而()()44T T ''-=, 故488488a b c a b c ++=-+,
∴ ()()()1
06004641648315860488488a T d b T a b c d c T a b c d d a b c a b c
=⎧==⎧⎪⎪
=-=-+-+=⎪⎪⇒⎨⎨
=-=+++=⎪⎪⎪⎪=++=-+⎩⎩ ． ∴()3
360(1212)T t t t t =-+-≤≤．……………………………………………6分
(2) 233T t '=-, 由 ()011T t t t '==-=得或 当t 在]2,2[-上变化时，()()T t T t '与的变化情况如下表:
由上表知当62)(21取到最大值时或t T t t =-=，
答:在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃．．．．．．．．．．．．．12分 21． (1)证明:当A φ=显然成立，
当A φ≠时，对0x A ∀∈,有()00f x x =成立,
所以()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦,即0x B ∈,所以A B ⊆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (2)由()f f x x =⎡⎤⎣⎦得()
2
2
1
a ax x -=,即3422210a x a x a x -+--=
又因A=B ,所以34
22
21a x a x a x -+--可分解为()()
222
11ax x a x ax a --+-+
并且方程2210a x ax a +-+=与2
10ax x --=有相同的根或无实根．．．．．．．．．．．．8分 当0a =时,{}1A B ==-,显然成立,
当0a ≠时, 由22
10a x ax a +-+=得2
1
10ax x a
++
-=,显然不可能与方程210ax x --=有相同的
根,所以11410a a ⎛⎫
--<
⎪⎝⎭
,解得34a <
又方程2
10ax x --=有实根,所以140a +≥,解得1
4
a ≥- 所以13
44
a -
≤<且0a ≠ 综上所述, 13
44
a -≤<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分．
22．解：(1)
函数()f x 是奇函数,∴()()0f x f x -+=,即 0b
b ax
c ax c x x
--++++=,0c ∴=．由
()512f =
,()1724f =,得52a b +=,17224b a +=,解得12,2
a b ==． ∴1
2,,02
a b c ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (2)由(1)得,()122f x x x =+
, ()'2122f x x =-,当10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,21022x <<,则2122x >．
∴()'0f x <,函数()f x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上为减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
(3)由()'21202f x x =-
=,0x >,得12x =．当12x >时,2122x <,∴()'0f x >,即函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上为增函数．又由(2)知1
2
x =
处是函数的最小值点, 即函数()f x 在()0,+∞上的最小值为122f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。