2022年教学教材《2021高中一轮数学学案 函数的奇偶性、周期性与对称性》优秀教案

第7讲函数的奇偶性、周期性与对称性
【课程要求】
1．理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性．
2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值．
3．掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用．
【根底检测】
错误!
1．判断下面结论是否正确请在括号中打“√〞或“×〞
1函数＝2，∈0，＋∞是偶函数．
2偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．
3如果函数f，g为定义域相同的偶函数，那么F＝f＋g是偶函数．
4假设函数＝f＋a是偶函数，那么函数＝f关于直线＝a对称．
5假设T是函数的一个周期，那么nTn∈Z，n≠0也是函数的周期．
[答案] 1×2×3√4√5√
错误!
2．[必修1
＝a－t，g min＝b－t∵g ma＋g min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1
a
[答案] 1
[小结]函数奇偶性可以解决以下问题：
1求函数值，将待求值利用奇偶性转化为区间上的函数值求解；
2画函数图象，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．
3求函数解析式：①将所求解析式自变量的范围转化为解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．
4求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f－＝－f或偶函数满足f－＝f列等式，根据
等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：假设能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f0＝0列式求解，假设不能确定那么不可用此法．
[注意]利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，那么f ma＋f min＝0〞的性质解决有关最值问题．
3．函数＝f是R上的奇函数，当0时，f＝
A．－2 B．2－
C．－2－D．2
[解析] 当>0时，－0时，f－＝2－∵f是R上的奇函数，∴当>0时，f＝－f－＝－2－
[答案] C
4．假设函数f＝n＋错误!为偶函数，那么a＝__________．
[解析] ∵f＝n＋错误!为偶函数，
∴f－＝f，即－n错误!－＝n＋错误!，从而n[错误!2－2]＝0，即n a＝0，故a＝1
[答案] 1
错误!函数的周期性与对称性及应用
例31设函数f∈R满足f＋π＝f＋in ．当0≤＜π时，f＝0，那么f错误!＝
C．0 D．－错误!
[解析] ∵f＋2π＝f＋π＋in＋π＝f＋in －in ＝f，∴f的周期T＝2π，又∵当0≤＜π时，f＝0，∴f错误!＝0，
∴f错误!＝f错误!＋in错误!＝0，∴f错误!＝错误!，∴f错误!＝f错误!＝f错误!＝错误!
[答案] A
2函数f与函数g＝－12的图象关于轴对称，假设存在a∈R，使∈[1，m]m>1时，f＋a≤4成立，那么m的最大值为
A．3 B．6 C．9 D．12
[解析] 由于函数f与函数g＝－12的图象关于轴对称，因此f＝＋12，由f＋a≤4得＋a＋12≤4，把＝1代入
得－4≤a≤＝0时，＋12≤4，解得＝1，当a＝－4时，－32≤4，解之得1≤≤9，因此m的最大值为9 [答案] C
3对函数f，在使f≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f的下确界．现定义在R上的偶函数f满足f1－＝f1＋，当∈[0，1]时，f＝－32＋2，那么f的下确界为
A．2 B．1 C．0 D．－1
[解析] 由题意知，f的周期为2，画出函数f在R上的局部图象如下图，易得下确界为－
[答案] D
[小结]1判断函数的周期性只需证明f＋T＝fT≠0即可，且周期为T
2根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
3在解决具体问题时，要注意结论“假设T是函数的周期，那么T∈Z且≠0也是函数的周期〞的应用．4函数周期性的三个常用结论a>0：
①假设f＋a＝－f，那么T＝2a，
②假设f＋a＝错误!，那么T＝2a，
③假设f＋a＝－错误!，那么T＝2a
5函数对称性代数表示：
函数f为奇函数⇔f＝－f－，函数f为偶函数⇔f＝f－定义域关于原点对称；
函数f关于点a，b对称⇔f＋f－＋2a＝2b，函数f关于直线＝m对称⇔f＝f－＋2m．
5．奇函数f的定义域为R，假设f＋1为偶函数，且f1＝2，那么f4＋f5的值为
A．2 B．1 C．－1 D．－2
[解析] ∵f＋1为偶函数，
∴f－＋1＝f＋1，
那么f－＝f＋2，
又＝f为奇函数，
那么f－＝－f＝f＋2，且f0＝0
从而f＋4＝－f＋2＝f，＝f的周期为4
∴f4＋f5＝f0＋f1＝0＋2＝2
[答案] A
6．设f是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f＝错误!f0>f1，
即f10的解集为
A．－∞，0∪4，＋∞
B．－∞，－1∪3，＋∞
C．－∞，－1∪4，＋∞
D．－∞，0∪1，＋∞
[解析] 因为函数f＋1为偶函数得f＋1＝f－＋1，所以f关于＝1对称，
因为f在1，＋∞上单调递增，所以f在－∞，1上单调递减，
因为f－1＝0，所以f3＝0，
因此由f－1>0得－1>3或－14或<0
[答案] A
3定义在实数集R上的函数f满足f＋f＋2＝0，且f4－＝f．现有以下三个命题：①8是函数f的一个周期；
②f的图象关于直线＝2对称；③f是偶函数．其中正确命题的序号是__________．
[解析] 由f＋f＋2＝0，
得f＋2＝－f，
那么f＋4＝－f＋2＝f，
即4是f的一个周期，8也是f的一个周期；
由f4－＝f，得f的图象关于直线＝2对称；
由f4－＝f与f＋4＝f，
得f－＝f，即函数f为偶函数．
[答案] ①②③
[小结]1关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为区间上的问题．
2掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f为偶函数⇔f＝f||．②假设奇函数f在＝0处有意义，那么f0＝0
3函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
7．f是定义在R上的以3为周期的偶函数，假设f1<1，f5＝错误!，那么实数a的取值范围是
A．－1<a<4 B．－2<a<1
C．－1<a<2 D．－1<a<0
[解析] 因为f是定义在R上的偶函数，且以3为周期，所以f5＝f2＝f2－3＝f－1＝f1<1，即错误!<1，解得
－1<a<4
[答案] A
8．函数f对任意的实数都有f＋2－f＝2f1，假设＝f－1的图象关于＝1对称，且f0＝2，那么f错误!＋f错误!＝
A．0 B．2 C．3 D．4
[解析] 因为＝f－1的图象关于＝1对称，
所以＝f的图象关于＝0对称，即f为偶函数，
因为f＋2－f＝2f1，
所以f－1＋2－f－1＝2f1，
所以f1＝0，f＋2＝f，
因此f错误!＝f错误!＝2，f2021＝f1＝0，
f错误!＋f错误!＝2
[答案] B
1．2021·全国卷Ⅱ理f是定义域为－∞，＋∞的奇函数，满足f1－＝f1＋．假设f1＝2，那么f1＋f2＋f3＋…＋f50＝
A．－50 B．0 C．2 D．50
[解析] 因为f是定义域为－∞，＋∞的奇函数，且f1－＝f1＋，所以f1＋＝－f－1，
∴f3＋＝－f＋1＝f－1，∴T＝4，
因此f1＋f2＋f3＋…＋f50＝12[f1＋f2＋f3＋f4]＋f1＋f2，
因为f3＝－f1，f4＝－f2，
所以f1＋f2＋f3＋f4＝0，
∵f2＝f－2＝－f2，∴f2＝0，从而f1＋f2＋f3＋…＋f50＝f1＝2
[答案] C
2．2021·全国卷Ⅱ理f是奇函数，且当<0时，f＝－n 2＝8，那么a＝__________．
[解析] 因为f是奇函数，且当<0时，f＝－e a
又因为n 2∈0，1，f n 2＝8，
所以－e－a n 2＝－8，两边取以e为底的对数得－a n 2＝3n 2，所以－a＝3，即a＝－3
[答案] －3。