2016年北京市东城区中考数学二模试卷(解析版)

2016年北京市东城区中考数学二模试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（3分）我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为（）
A．3.5×106B．3.5×107C．35×105D．0.35×108
2．（3分）如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数2﹣的点P应落在线段（）
A．AO上B．OB上C．BC上D．CD上
3．（3分）一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．
4．（3分）下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．（3分）如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD等于（）
A．18°B．36°C．54°D．64°
7．（3分）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）
劳动时间（小时）3 3.54 4.5
人数1121
A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75
C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8
8．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（3分）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（）
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
10．（3分）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（）
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：2ax2﹣4ax+2a=．
12．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．
13．（3分）如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是．
14．（3分）九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是．
15．（3分）定义运算“*”，规定x*y=a（x+y）+xy，其中a为常数，且1*2=5，则2*3=．
16．（3分）在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）已知，求代数式的值．
19．（5分）如图，已知∠ABC=90°，分别以AB和BC为边向外作等边△ABD和等
边△BCE，连接AE，CD．
求证：AE=CD．
20．（5分）列方程或方程组解应用题：
为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A，B两种商品进行打折出售．打折前，买6件A商品和3件B商品需要108元，买3件A商品和4件B 商品需要94元．问：打折后，若买5件A商品和4件B商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？
21．（5分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
22．（5分）如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E．
（1）求证：∠BAM=∠AEF；
（2）若AB=4，AD=6，cos∠BAM=，求DE的长．
23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y=（x＞0）的图象经过点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）经过点C的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于P点，当k＞0时，确定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）．
24．（5分）阅读下列材料：
2013年是北京市正式执行新《环境空气质量标准》的第一年．这一年，北京建立起35个覆盖全市的监测站点，正式对PM2.5、二氧化硫、二氧化氮等六项污染物开展监测.2013年全年，本市空气质量一级优的天数有71天；二级良天数135天．本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为89.5微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，全年共有204天达到一级优或二级良水平．
2014年全年，PM2.5年均浓度为85.9微克/立方米．，PM2.5优良天数总计204天，其中PM2.5一级优天数达到93天，比2013年的71天增加了22天．
2015年全年，本市空气质量达标天数为186天，即空气质量优良的好天儿占了一半，比2014年增加了14天．本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，2015年PM2.5优良天数累计达到223天，其中一级优天数首次突破100达到105天，二级良天数累计为118天．
根据以上材料解答下列问题：
（1）北京市2014年空气质量达到优良的天数为天；单就PM2.5的浓度而言，北京市2013年全年达到二级良的天数为天；
（2）选择统计表或统计图，将2013﹣2015年北京市PM2.5的年均浓度和PM2.5的优良天数表示出来．
25．（5分）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2，sin∠CAF=，求BE的长．
26．（5分）阅读下列材料：
在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α（用含sinα，cosα的式子表示）．
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD ⊥AB于点D，则∠COB=2α，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出
sin2α====2sinα•cosα．
阅读以上内容，回答下列问题：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1．
（1）如图3，若BC=，则sinα=，sin2α=；
（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sinα，cosα的式子表示）．
27．（7分）二次函数C1：y=x2+bx+c的图象过点A（﹣1，2），B（4，7）．（1）求二次函数C1的解析式；
（2）若二次函数C2与C1的图象关于x轴对称，试判断二次函数C2的顶点是否在直线AB上；
（3）若将C1的图象位于A，B两点间的部分（含A，B两点）记为G，则当二次函数y=﹣x2+2x+1+m与G有且只有一个交点时，直接写出m满足的条件．28．（7分）【问题】
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在直线BC上（B，C除外），分别经过点E和点B作AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系．【探究发现】
某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是BC的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1），通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；
【数学思考】
那么当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC的延长线”；“点E在线段BC的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；
【拓展应用】
当点E在线段CB的延长线上时，若BE=nBC（0＜n＜1），请直接写出S
△ABC ：S
△
AEF的值．
29．（8分）定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x+2，2x+1，﹣5x+20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数．（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；
（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1，3），动点M（m，m）
①直接写出△ABM的面积，其面积是；
②若以M为圆心的圆经过A，B两点，写出点M的坐标；
③以②中的点M为圆心，以为半径作圆，在此圆上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出此最小值．
2016年北京市东城区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（3分）我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为（）
A．3.5×106B．3.5×107C．35×105D．0.35×108
【解答】解：3 500 000=3.5×106，
故选：A．
2．（3分）如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数2﹣的点P应落在线段（）
A．AO上B．OB上C．BC上D．CD上
【解答】解；∵1＜＜2，
∴0＜2﹣＜1，
故选：B．
3．（3分）一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．
【解答】解：∵盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，
∴摸到黄球的概率是=．
故选B．
4．（3分）下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：A．
5．（3分）如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（）
A． B． C． D．
【解答】解：从上面看易得左侧有2个正方形，右侧有一个正方形．
故选A．
6．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD等于（）
A．18°B．36°C．54°D．64°
【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠A=36°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°﹣36°=54°．
故选：C．
7．（3分）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）
劳动时间（小时）3 3.54 4.5
人数1121
A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75
C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8
【解答】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4，
∵共有5个人，
∴第3个人的劳动时间为中位数，
故中位数为：4，
平均数为：=3.8．
故选C．
8．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=2，
即这个圆锥的底面圆的半径是2cm．
故选C．
9．（3分）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（）
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
【解答】解：由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y=10x，
1千克苹果的价钱为：y=10，
当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3=30（元），设射线AB的解析式为y=kx+b（x≥2），
把（2，20），（4，36）代入得：，
解得：，
∴y=8x+4，
当x=3时，y=8×3+4=28．
则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元，
故选：B．
10．（3分）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（）
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
【解答】解：若甲对，即只参加一项的人数大于14人，不妨假设只参加一项的人数是15人，
则两项都参加的人数为5人，故乙错．
若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，
此时只参加一项的人数为16人，故甲对．
故选：B．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：2ax2﹣4ax+2a=2a（x﹣1）2 ．
【解答】解：2ax2﹣4ax+2a=2a（x2﹣2x+1）=2a（x﹣1）2，
故答案为：2a（x﹣1）2．
12．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．
【解答】解：由已知得：，
即，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
13．（3分）如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是∠ABP=∠C（答案不唯一）．
【解答】解：在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对应角相等即可，即∠ABP=∠C，
故答案为：∠ABP=∠C（答案不唯一）．
14．（3分）九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是92%．
【解答】解：该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是×100%=92%．
故答案是：92%．
15．（3分）定义运算“*”，规定x*y=a（x+y）+xy，其中a为常数，且1*2=5，则2*3=11．
【解答】解：∵x*y=a（x+y）+xy，其中a为常数，且1*2=5，
∴1*2=a（1+2）+1×2=5，
解得，a=1，
∴2*3=1×（2+3）+2×3=5+6=11，
故答案为：11．
16．（3分）在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是（9，2）；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是（2016，672）．【解答】解：设走完第n步时，棋子所处的位置为点P n（n为自然数），
观察，发现规律：P1（1，0），P2（3，0），P3（3，1），P4（4，1），…，（3n+1，n），P3n+2（3n+3，n），P3n+3（3n+3，n+1）．
∴P3n
+1
∵8=3×2+2，
∴P8（9，2）．
∵2016=3×671+3，
∴P2016（2016，672）．
故答案为：（9，2）；（2016，672）．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．（5分）计算：．
【解答】解：原式=2×﹣2﹣1+4=3﹣．
18．（5分）已知，求代数式的值．
【解答】解：原式=﹣
=﹣
=，
∵=≠0，
∴设a=2k，则b=3k．
∴原式=﹣2．
19．（5分）如图，已知∠ABC=90°，分别以AB和BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD．
求证：AE=CD．
【解答】证明：∵△ABD和△BCE为等边三角形，
∴∠ABD=∠CBE=60°，BA=BD，BC=BE，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，
即∠CBD=∠ABE，
在△CBD与△EBA中，，
∴△CBD≌△EBA（SAS），
∴AE=CD．
20．（5分）列方程或方程组解应用题：
为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A，B两种商品进行打折出
售．打折前，买6件A商品和3件B商品需要108元，买3件A商品和4件B 商品需要94元．问：打折后，若买5件A商品和4件B商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？
【解答】解：设打折前一件商品A的价格为x元，一件商品B的价格为y元，依据题意，得
解得：．
所以5×10+4×16﹣86=28（元）
答：比打折前节省了28元．
21．（5分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
【解答】解：满足条件的所有图形如图所示：
22．（5分）如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E．
（1）求证：∠BAM=∠AEF；
（2）若AB=4，AD=6，cos∠BAM=，求DE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAC=90°．
∵EF⊥AM，
∴∠AFE=∠B=∠BAD=90°．
∴∠BAM+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°．
∴∠BAM=∠AEF；
（2）在Rt△ABM中，∠B=90°，AB=4，cos∠BAM=，
∴AM=5．
∵F为AM中点，
∴AF=2.5，
∵∠BAM=∠AEF，
∴cos∠BAM=cos∠AEF=．
∴sin∠AEF=．
在Rt△AEF中，
∠AFE=90°，AF=，sin∠AEF=，
∴AE=．
∴DE=AD﹣AE=6﹣=．
23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y=（x＞0）的图象经过点D．（1，2）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）经过点C的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于P点，
当k＞0时，确定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3），
∴BC=2．
∴D（1，2）．
故答案为（1，2）．
∵反比例函数的图象经过点D，
∴．
∴m=2．
∴．
（2）反比例函数y=，
当y=3时，x=，又点C横坐标为3，
∴．
24．（5分）阅读下列材料：
2013年是北京市正式执行新《环境空气质量标准》的第一年．这一年，北京建立起35个覆盖全市的监测站点，正式对PM2.5、二氧化硫、二氧化氮等六项污染物开展监测.2013年全年，本市空气质量一级优的天数有71天；二级良天数135天．本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为89.5微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，全年共有204天达到一级优或二级良水平．
2014年全年，PM2.5年均浓度为85.9微克/立方米．，PM2.5优良天数总计204天，其中PM2.5一级优天数达到93天，比2013年的71天增加了22天．2015年全年，本市空气质量达标天数为186天，即空气质量优良的好天儿占了一半，比2014年增加了14天．本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，2015年PM2.5优良天数累计达到223天，其中一级优天数首次突破100达到105天，二级良天数累计为118天．
根据以上材料解答下列问题：
（1）北京市2014年空气质量达到优良的天数为204天；单就PM2.5的浓度而言，北京市2013年全年达到二级良的天数为111天；
（2）选择统计表或统计图，将2013﹣2015年北京市PM2.5的年均浓度和PM2.5的优良天数表示出来．
【解答】解：（1）北京市2014年空气质量达到优良的天数为204天，单就PM2.5的浓度而言，北京市2013年全年达到二级良的天数为135天．
故答案为204，111；
（2）填表如下：
年份2013年2014年2015年
PM2.5的年均浓度89.5微克/立方米85.9微克/立方米80.6微克/立方米PM2.5的优良天数135天204天223天
25．（5分）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2，sin∠CAF=，求BE的长．
【解答】（1）证明：连结BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠DAB+∠DBA=90°．
∵AB=AC，
∴2∠ABD=∠ABC，AD=AC．
∵AF为⊙O的切线，
∴∠FAB=90°．
∴∠FAC+∠CAB=90°．
∴∠FAC=∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．
（2）解：连接AE．
∴∠AEB=∠AEC=90°．
∵，
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴CE=AC•sin∠CAE=2．
∴BE=BC﹣CE=10﹣2=8．
26．（5分）阅读下列材料：
在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α（用含sinα，cosα的式子表示）．
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD ⊥AB于点D，则∠COB=2α，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出
sin2α====2sinα•cosα．
阅读以上内容，回答下列问题：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1．
（1）如图3，若BC=，则sinα=，sin2α=；
（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sinα，cosα的式子表示）．
【解答】解：（1）sinα=，cosα=，可得：sin2α=；
故答案为：；
（2）∵AC=cosα，BC=sinα，
∴CD==sinα•cosα．
∵∠DCB=∠A，
∴在Rt△BCD中，BD=sin2α．
∴OD=﹣sin2α．
∴tan2α==．
27．（7分）二次函数C1：y=x2+bx+c的图象过点A（﹣1，2），B（4，7）．（1）求二次函数C1的解析式；
（2）若二次函数C2与C1的图象关于x轴对称，试判断二次函数C2的顶点是否
在直线AB上；
（3）若将C1的图象位于A，B两点间的部分（含A，B两点）记为G，则当二次函数y=﹣x2+2x+1+m与G有且只有一个交点时，直接写出m满足的条件．
【解答】解：（1）∵的图象过点A（﹣1，2），B（4，7），
∴，
∴．
∴y=x2﹣2x﹣1．
（2）∵二次函数C2与C1的图象关于x轴对称，
∴，
∴C 2的顶点为（1，2）．
∵A（﹣1，2），B（4，7），
设过A、B两点的直线的解析式：y=kx+b，则，
解得．
∴过A、B两点的直线解析式：y=x+3．
令x=1，则y=4．
∴C2的顶点不在直线AB上．
（3）点（﹣1，2）代入二次函数y=﹣x2+2x+1+m，得﹣1﹣2+1+m=2，解得m=4；点（4，7）代入二次函数y=﹣x2+2x+1+m，得﹣16+8+1+m=7，解得m=14；
则m满足的条件为4＜m≤14或m=﹣4．
28．（7分）【问题】
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在直线BC上（B，C除外），分别经过点E和点B作AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系．【探究发现】
某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是BC的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1），通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；
【数学思考】
那么当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC的延长线”；“点E在线段BC的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；
【拓展应用】
当点E在线段CB的延长线上时，若BE=nBC（0＜n＜1），请直接写出S
△ABC ：S
△
AEF的值．
【解答】解：
【探究发现】：相等；
【数学思考】
证明：如图2，点E在线段BC上，
在AC上截取CG=CE，连接GE，
∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=∠CEG=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=∠ACB=90°，
∴∠FEB+∠AEF=∠AEB=∠EAC+∠ACB．∴∠FEB=∠EAC．
∵CA=CB，
∴AG=BE，∠CBA=∠CAB=45°．
∴∠AGE=∠EBF=135°．
在△AGE和△EBF中，
，
∴△AGE≌△EBF．
∴AE=EF；
【拓展应用】
设BC=1，则BE=n，
AE2=AC2+CE2=1+（n+1）2=n2+2n+2，∵△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∴△ABC的面积=BC2，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴△AEF的面积AE2，
∴S
△ABC ：S
△AEF
==，
∴S
△ABC ：S
△AEF
=1：（n2+2n+2）．
29．（8分）定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x+2，2x+1，﹣5x+20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数．（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；
（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1，3），动点M（m，m）
①直接写出△ABM的面积，其面积是2；
②若以M为圆心的圆经过A，B两点，写出点M的坐标；
③以②中的点M为圆心，以为半径作圆，在此圆上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出此最小值．
【解答】解：（1）最小值函数的图象见图中实线，
∵x=1时，y=3，
∴点A （1，3）在这个最小值函数的图象上．
（2）①如图2中，作ON ⊥AB 于N ．
∵AB ∥OM ，
∴S △ABM =S △ABO ，
∵A （1，3），B （3，5），ON=
，AB=2 ∴S △ABM =××=2．
故答案为2．
②∵直线AB 的解析式为y=x +2，
∴线段AB的中垂线的解析式为y=﹣x+6，
由解得，
∴点M坐标为（3，3）．
③如图3中，取BM的中点D，连接PD、PM．
∵PM2=2=1×2=MD•BM，
∵∠PMD=∠BMP，
∴△PMD∽△BMP，
∴==，
∴PD=PB，
∴PA+PB=PA+PD≥AD，
∵AD==，
∴PA+PB≥，
∴PA+PB的最小值为．。