2020版高考数学一轮复习(讲义·理) 第4章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个□
01不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，□02有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝□03λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组□04基底．把一个向量分解为两个□05互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标运算
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝□01(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝□02(x 1－x 2，y 1－y 2
)，λa ＝□03(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21
，|a ＋b |＝x 2＋x 1
2
＋y 2＋y 1
2
.
3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔□01x 1y 2－x 2y 1＝0.
1．概念辨析
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )
(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1
y 2
.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．小题热身
(1)设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b 等于( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1) D ．(7,2) 答案 B
解析 2a －3b ＝2(－1,0)－3(0,2)＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．
(2)如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →
＋μAC →
，则λ＋μ的值为( )
A.12 B ．－12
C ．1
D ．－1 答案 A
解析 由题意得AE →＝AC →
＋CE →＝AC →
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12AB →＝－1
2AB →
＋AC →
，又AE →
＝λAB →
＋μAC →
，由平面向
量基本定理得λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝1
2
.
(3)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D．0 答案 A
解析 因为a 与b 同向，所以a ∥b ，所以x ·(－x )－(－4)×1＝0，解得x ＝±2.当x ＝2时，a ＝2b ，a 与b 同向．当x ＝－2时，a ＝－2b ，a 与b 反向，所以x ＝2.
(4)若a 与b 不共线，已知下列各向量：
①a 与－2b ；②a ＋b 与a －b ；③a ＋b 与a ＋2b ；④a －12b 与12a －1
4b .
其中可以作为基底的是________(填序号)． 答案 ①②③
解析 ①②③中两个向量不共线，可以作为基底；④中，a －12b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －14b ，所以两个
向量共线，不可以作为基底．
题型 一 平面向量基本定理及其应用
1．向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a －b ＝( )
A ．－4e 1－2e 2
B ．－2e 1－4e 2
C ．e 1－3e 2
D ．3e 1－e 2 答案 C
解析 设向量a ，b 的终点分别为A ，B ，因为向量a ，b 共起点，所以a －b ＝BA →
，根据
图形可知BA →
＝e 1－3e 2.
2．(2018·资阳模拟)在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →
＝λAM →
＋μBD →
，则
λ＋μ＝( )
A.94 B ．2 C.158 D.53 答案 D
解析 ∵AC →
＝AB →＋AD →
，AM →＝AB →
＋BM →＝AB →
＋1
2
AD →，BD →＝AD →－AB →
.
∴AC →＝λAM →＋μBD →＝λ⎝
⎛⎭⎪⎫
AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →
)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
λ－μ＝1，λ
2
＋μ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝4
3，μ＝1
3，
则λ＋μ＝5
3
.
3．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝________.
答案 9
解析 由平面向量基本定理可知⎩⎪⎨
⎪⎧
3x －4y ＝6，
2x －3y ＝3，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝6，
y ＝3，故2x －y ＝9.
条件探究1 若把举例说明2的条件改为“在平行四边形ABCD 中，AB →
＝e 1，AC →
＝e 2，NC →
＝14AC →，BM →＝1
2
MC →”，试用e 1，e 2表示MN →. 解 由BM →
＝12MC →得MC →＝23BC →＝23(AC →－AB →
)＝2
3(e 2－e 1)，
又因为NC →＝14AC →＝1
4
e 2，
所以MN →
＝MC →－NC →＝23(e 2－e 1)－1
4e 2
＝－23e 1＋5
12
e 2.
条件探究2 若把举例说明2的条件改为“在平行四边形ABCD 中，边BC ，CD 的中点分
别是K ，L ，且AK →＝e 1，AL →
＝e 2”，试用e 1，e 2表示BC →，CD →
.
解 设BC →
＝x ，CD →
＝y ，则BK →
＝12x ，DL →＝－1
2
y .
由AB →＋BK →
＝AK →，AD →
＋DL →＝AL →
， 得⎩⎪⎨⎪⎧
－y ＋1
2x ＝e 1， ①x －1
2y ＝e 2
， ②
①＋②×(－2)，得1
2x －2x ＝e 1－2e 2，
即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋4
3e 2，
所以BC →
＝－23e 1＋4
3
e 2.
同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD →
＝－43e 1＋2
3
e 2.
1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要注意运用平面几何的一些性质定理．
2．运用平面向量基本定理时应注意的问题
(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
(3)利用“唯一性”建立方程组．如举例说明2,3.
1．如图，在△ABC 中，AN →
＝13NC →
，P 是BN 上的一点，若AP →
＝mAB →
＋2
11AC →
，则实数m 的值
为________．
答案
3
11
解析 ∵P 是BN 上的一点，
设BP →＝λBN →，由AN →
＝1
3NC →，
则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBN →
＝AB →
＋λ(AN →－AB →
)＝(1－λ)AB →
＋λAN →
＝(1－λ)AB →
＋λ4AC →＝mAB →＋2
11
AC →.
∴m ＝1－λ，λ4＝211，解得λ＝811，m ＝3
11
.
2．(2018·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，则x
y
的值为________．
答案 6
5
解析 设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x
－y )e 1＋λ(x －2y )e 2，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
2λx －y ＝1，
λx －2y ＝－2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3λ，y ＝5
2λ，
则x y 的值为6
5
. 题型 二 平面向量的坐标运算
已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →
＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →
＝
－2b .
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；
(3)求M ，N 的坐标及向量MN →
的坐标．
解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．
(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
－6m ＋n ＝5，
－3m ＋8n ＝－5，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝－1，
n ＝－1.
(3)设O 为坐标原点，
因为CM →＝OM →－OC →
＝3c ，
所以OM →
＝3c ＋OC →
＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， 所以M (0,20)，
又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，
所以ON →
＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
所以N (9,2)．所以MN →
＝(9，－18)．
结论探究 举例说明中条件不变，求三角形ABC 的重心G 的坐标． 解 设AB 的中点为P ，O 为坐标原点， 因为CG →
＝2
3
CP →，
所以OG →＝13OC →＋23OP →＝13OC →＋1
3(OA →＋OB →)，
所以OG →＝1
3
(OA →＋OB →＋OC →))
＝1
3
((－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－4)) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13，所以重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2
3
，－13.
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
1．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →
＝(－4，－3)，则向量BC →
＝( )
A ．(－7，－4)
B ．(7,4)
C ．(－1,4)
D ．(1,4)
答案 A
解析 根据题意得AB →
＝(3,1)，∴BC →
＝AC →－AB →
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选
A.
2．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )
A ．－12a ＋32b
B.12a －32b C ．－32a －1
2b
D ．－32a ＋12
b
答案 B
解析 设c ＝λa ＋μb .则(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ＋μ＝－1，λ－μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝1
2，μ＝－3
2
，所以c ＝12a －3
2
b .
题型 三 平面向量共线的坐标表示
角度1 利用向量共线求参数的值
1．(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________；
(2)平面内有三点A (0，－3)，B (3,3)，C (x ，－1)，且A ，B ，C 三点共线，则x ＝________. 答案 (1)1
2
(2)1
解析 (1)由题意可得2a ＋b ＝(4,2)，∵c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)， ∴4λ－2＝0，即λ＝1
2
.
(2)由题意知AB →
＝(3,6)，BC →
＝(x －3，－4)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →与BC →
共线，所以3×(－4)－6(x －3)＝0，解得x ＝1.
角度2 利用向量坐标运算求解综合问题
2．(2018·山东德州一模)已知△ABC 的三边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(sin B －sin A ，3a ＋c )，n ＝(sin C ，a ＋b )，且m ∥n ，则B 的大小是( ) A.
π6 B.5π6 C.π3 D.2π3
答案 B
解析 因为m ∥n ，
所以(a ＋b )(sin B －sin A )＝sin C (3a ＋c )． 由正弦定理得，(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )， 整理得a 2
＋c 2
－b 2
＝－3ac ，
由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－3ac 2ac ＝－32
.
又0<B <π，所以B ＝5π
6
.
1．平面向量共线的充要条件的两种形式
(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.如举例说明1(1)． (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 2．利用向量共线求参数值
向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值．当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解．
3．向量坐标运算解决综合问题的要点 (1)准确运用加、减、数乘的坐标运算法则．
(2)准确运用向量相等、向量共线、垂直的坐标运算形式，实现问题的转化．
(3)准确运用三角、不等式、方程等知识，解决综合问题．
1．(2018·枣庄二模)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π6，b ＝(k,1)，若a ∥b ，则k ＝________.
答案 1
解析 由a ∥b ，得sin π3－k cos π6＝0，即32－3
2
k ＝0，解得k ＝1.
2．(2019·洛阳模拟)在△ABC 中，点P 满足BP →
＝2PC →
，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →
＝mAB →，AN →
＝nAC →
(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为________．
答案 3
解析 因为BP →
＝2PC →
，所以BP →＝2
3BC →
.
连接AP ，则AP →
＝AB →＋BP →
＝AB →
＋2
3(AC →－AB →)
＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋2
3n
AN →. 因为M ，P ，N 三点共线，所以13m ＋2
3n ＝1，
因为m >0，n >0，
所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭
⎪⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ＝53＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ， ≥53＋23
×2n m ×m n ＝53＋4
3
＝3， 当且仅当n m ＝m n
，即m ＝n 时等号成立． 所以m ＋2n 的最小值为3.。