2019年高考数学三轮冲刺专题16圆锥曲线中的综合问题专项讲解与训练

专题16. 圆锥曲线中的综合问题
“参数法”解决定点问题
[核心提炼]
证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出x ，y 的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．
已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3(－1，32)，P 4(1，3
2
)中恰有三点在椭
圆C 上． (1)求C 的方程；
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． (2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
【解析】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2
b
2＝1，
解得a 2
＝8，b 2
＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 2
4
＝1.
定值问题涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到． 【对点训练】
已知点F 是椭圆x 2
1＋a
2＋y 2
＝1(a >0)的右焦点，M (m ，0)、N (0，n )分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足MN →·NF →
＝0.若点P 满足OM →＝2ON →＋PO →
. (1)求点P 的轨迹方程；
(2)设过点F 作任一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x ＝－a 分别交于点S 、T (O 为坐标原点)，证明FS →·FT →
为定值．
所以FS →＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－2a ，－4a 2
y 1，FT →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2a ，－4a 2
y 2，
则FS →·FT →＝4a 2
＋16a 4
y 1y 2
.
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝4ax 得y 2－4aty －4a 2＝0， 所以y 1y 2＝－4a 2
，则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4
－4a
2＝4a 2－4a 2＝0.
因此，FS →·FT →
是定值，且定值为0.
“函数(不等式)法”解决取值(范围)问题
[核心提炼]
解析几何中的取值(范围)问题最基本的解法是函数法与不等式法．有时需要使用双参数表达直线方程，解决方法：一是根据直线满足的条件，建立双参数之间的关系，把问题化为单参数问题；二是直接使用双参数表达问题，结合求解目标确定解题方案．
(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x 2
＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，
y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．
【解析】 (1)设直线AP 的斜率为k ， k ＝x 2－
1
4x ＋12
＝x －1
2，
因为－12<x <32
，
所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋1
4
＝0，x ＋ky －94k －3
2＝0，
解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2
＋4k ＋3
2（k 2
＋1）. 因为|PA |＝ 1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 1＋k 2
(k ＋1)，
|PQ |＝ 1＋k 2
(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）
2
k 2＋1
，
所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3
. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3
， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2
，
所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值27
16
.
解决圆锥曲线中的取值范围问题的五类思维途径
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
2．(2019·福州质量检测)已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ |
|PF |＝( )
A. 2 B ．2 C. 5 D ．5
【答案】C.
3．(2019·合肥模拟)已知点A 在椭圆x 225＋y 2
9＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)·OA →
(λ∈R )(O 是坐标原点)，且
OA →
·OP →
＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．
【答案】：15
【解析】因为AP →＝(λ－1)OA →
，
所以OP →＝λOA →，即O ，A ，P 三点共线，因为OA →·OP →
＝72， 所以OA →·OP →＝λ|OA →|2
＝72，
设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →
||cos θ|＝|λ||x |＝
72|x ||OA →|2＝
72|x |x 2＋y 2＝
72
1625|x |＋9
|x |≤72
2
16×925
＝15， 当且仅当|x |＝15
4
时取等号．
4．抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2
＋y 2
－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若OA →·AF →
＝－4，则点A 的坐标是________． 答案：(1，2)或(1，－2)
解析：设抛物线M 的方程为y 2
＝2px (p >0)，则其准线方程为x ＝－p
2.
曲线E 的方程可化为(x －3)2
＋(y ＋2)2
＝16， 则有3＋p
2＝4，
解得p ＝2，
所以抛物线M 的方程为y 2
＝4x ，F (1，0)． 设A (y 20
4
，y 0)，
则OA →＝(y 204，y 0)，AF →
＝(1－y 2
04，－y 0)，
所以OA →·AF →＝y 2
04(1－y 2
04
)－y 2
0＝－4，
解得y 0＝±2， 所以x 0＝1，
所以点A 的坐标为(1，2)或(1，－2)．
5．设O 为坐标原点，动点M 在圆C ：x 2＋y 2
＝2上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝22
NM →.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)过点D (1，0)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点．AB 的中垂线交直线x ＝3于点Q .OA →·AQ →
是否为定值，给予说明．
【解析】：(1)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，由MN ⊥x 轴， 由NP →
＝22NM →得
(x －x 1，y )＝
2
2
(0，y 1)， 所以⎩⎨⎧x ＝x 1，y 1＝2y .
又x 2
1＋y 2
1＝2.
所以x 2
＋2y 2
＝2，即x 2
2＋y 2
＝1.
(2)设A (m ，n )，Q (3，t )．
因为OQ ⊥AB ，即AB →·OQ →＝0，所以AD →·OQ →
＝0， 所以(m －1，n )·(3，t )＝0. 即tn ＋3m ＝3.①
又A 在圆C ：x 2
＋y 2
＝2上， 所以m 2
＋n 2
＝2.② 所以OA →·AQ →
＝(m ，n )·(3－m ，t －n ) ＝3m －m 2
＋tn －n 2
＝(3m ＋tn )－(m 2
＋n 2
) ＝3－2＝1. 所以OA →·AQ →
＝1. 即OA →·AQ →
为定值1.
6．已知抛物线C ：y 2
＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于
P ，Q 两点．
(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；
(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
【解析】：由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2
2，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
，b ，R ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
，a ＋b 2 .
记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 设AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则
k 1＝
a －
b 1＋a 2＝a －b a 2
－ab ＝1a ＝－ab
a
＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .
(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则
S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－12
|， S △PQF ＝
|a －b |
2
. 由题设可得2×12|b －a ||x 1－12|＝|a －b |
2，
所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1.
设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得 2a ＋b ＝y
x －1(x ≠1)． 而
a ＋b
2
＝y ，所以y 2
＝x －1(x ≠1)．
当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．
此时E 点坐标为(1，0)，满足方程y 2
＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2
＝x －1.
7.已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点， 求MN 的最小值.
【解析】：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2
＝2py (p >0)，则p
2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2
＝4y .
(2)易知直线AB 的斜率存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.
从而|x 1－x 2|＝4k 2
＋1.
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，
y ＝x －2，
解得点M 的横坐标x M ＝
2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－
x 214＝8
4－x 1
. 同理，点N 的横坐标x N ＝
84－x 2
. 所以|MN |＝2|x M －x N |＝2|
84－x 1－84－x 2
| ＝82|x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16|＝82k 2
＋1
|4k －3|
.
令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋3
4
.
当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6
t
＋1>2 2.
当t <0时，|MN |＝2 2 （5t ＋35）2＋1625≥8
5
2. 综上所述，当t ＝－25
3
，
即k ＝－43时，MN 的最小值是8
5
2.
8．(2019·贵州适应性考试)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (1，2
2)在椭圆E 上，直线
l 过椭圆的右焦点F 且与椭圆相交于A ，B 两点．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)在x 轴上是否存在定点M ，使得MA →·MB →
为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】：(1)由题意，知c a ＝22，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2
，解得a ＝2，b ＝1，故椭圆E 的方程为x 22＋
y 2＝1.
(2)由直线AB 过椭圆的右焦点F (1，0)，
当直线AB 不与x 轴重合时，可设直线AB ：x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，并整理得(2＋m 2
)y 2
＋2my －1＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－
2m 2＋m 2，y 1y 2＝－1
2＋m
2. 设M (t ，0)，若MA →·MB →＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2＝(my 1＋1－t )(my 2＋1－t )＋y 1y 2＝(1＋m 2
)y 1y 2＋m (1－t )·(y 1
＋y 2)＋(1－t )2
＝－1＋m 22＋m 2－2m 2（1－t ）2＋m 2＋(1－t )2
＝（2t 2－4t ＋1）＋（t 2－2）m 2
2＋m
2
为定值， 则2t 2－4t ＋1＝2(t 2
－2)，解得t ＝54.
故存在定点M (5
4，0)，
使得MA →·MB →
为定值－716
，
经检验，当直线AB 与x 轴重合时也成立， 所以在x 轴上存在一个定点M (5
4，0)，
使得MA →·MB →
为定值．
[能力提升]
1．(2019·郑州质量预测(二))已知动圆M 恒过点(0，1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；
(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．
【解析】：(1)由题意得，点M 与点(0，1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线， 则p
2
＝1，p ＝2. 所以圆心M 的轨迹方程为x 2
＝4y .
(2)证明：设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
C (－x 2，y 2)
联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＝4y y ＝kx －2⇒x 2
－4kx ＋8＝0，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k x 1x 2＝8.
k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 21
4－
x 2
24x 1＋x 2＝x 1－x 2
4
，
直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 2
4(x －x 1)．
即y ＝y 1＋
x 1－x 2
4
(x －x 1)＝x 1－x 24
x －x 1（x 1－x 2）4
＋x 21
4
＝x 1－x 24
x ＋x 1x 24
，
因为x 1x 2＝8，
所以y ＝
x 1－x 24
x ＋x 1x 24
＝x 1－x 2
4
x ＋2，
即直线AC 恒过点(0，2)．
2．(2018·东北四市联考)已知椭圆C ：x 2a
2＋y 2
＝1(a >1)，B 1，B 2分别是其上、下顶点，椭圆C 的左焦点F 1在
以B 1B 2为直径的圆上． (1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，点N 的横坐标的取值范围是(－1
4，0)，求线段AB 的取值范围．
【解析】：(1)由题知b ＝c ＝1， 所以a ＝b 2
＋c 2
＝2， 所以椭圆的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
设AB 的中点为Q ， 则Q (－2k 2
2k 2＋1，k
2k 2＋1
)，
所以直线QN 的方程为y －k
2k 2＋1＝－1k (x ＋2k 2
2k 2＋1)＝－1k x －2k
2k 2＋1
，
所以N (－k 22k 2＋1，0)，已知条件得－14<－k 2
2k 2＋1
<0，
即0<2k 2
<1. 又|AB |＝1＋k
2
（－4k 22k 2＋1）2
－4×2k 2
－22k 2＋1＝2(1＋12k 2＋1
)．
因为0<2k 2
<1， 所以12<1
2k 2＋1
＜1，
所以|AB |∈(32
2，22)，
所以线段AB 的取值范围为(32
2
，22).。