广东省金山中学-度高二数学下学期期中考试试卷(理)

汕头市金山中学2008—2009学年度第二学期期中考试
高二理科数学试卷
第I 卷(选择题 共48分)
一﹑选择题（每小题6分，共48分）
⒈一个物体的运动方程为12
+-=t t s 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在第3秒的瞬时速度是 A 5米/秒 B 6米/秒 C 7米/秒 D 8米/秒 ⒉用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于︒60”时，反设正确的是 A 假设三内角都不大于于︒60 B 假设三内角都大于︒60
C 假设三内角至多有一个大于于︒60
D 假设三内角至多有两个大于︒60 ⒊已知复数12z i =+，21z i =-（i 为虚数单位），则12z z z =⋅在复平面上对应的点位于 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
⒋已知1F 、2F 为椭圆
112
162
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1022=+BF AF ,则AB 为：
A 2
B 4
C 6
D 8
⒌已知数列{n a }的前n 项和192+-=n n S n ，第k 项满足58k a <<， 则k 的值为 A 6 B 7 C 8 D 9
⒍如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是
A B C D ⒎对于函数x x x x f +-=2
ln 3)(，下列说法正确的是：
A 既有极大值，又有极小值
B 只有极小值 ，没有极大值
C 只有极大值，没有极小值
D 没有极值
⒏定义：若存在常数k ，使得对于定义域D 内的任意两个不同的实数21,x x ，均有
2121)()(x x k x f x f -≤-成立，则称函数)(x f 在定义域D 上满足利普希茨条件，对于 函
数)1()(≥=
x x x f 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值应是
A 21
B 3
1
C 1
D 2
第Ⅱ卷(非选择题 共102分) 二﹑填空题（每小题5分，共30分）
⒐等差数列}{n a 中，,1053=+a a 62=a ，则6a =
⒑若复数i x x z )1()1(2
-+-=为纯虚数，其中R x ∈，则1-z =
⒒曲线)0(2≥=x x y 与直线1=y 及直线2=x 所围成的曲边三角形的面积为
⒓函数x
e y 2=图像上的点到直线042=--y x 距离的最小值是
⒔如图2,已知C 是以AB 为直径的圆上一点，AB CH ⊥于点H ， 直线AC 与过B 点的切线相交于点D ,E 为CH 中点，连接AE 并 延长交BD 于点F .2=BF ,2=CD ,则=AC
图2 ⒕类比是一个伟大的引路人。

我们知道，等差数列和等比数列有许多相似的性质，请阅读下表并根据等差数列的结论，类似的得出等比数列的两个结论：
三、解答题（共72分）
⒖（12分）直线c x y +=与抛物线2y x =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点； ⑴求c 的取值范围； ⑵若1=c ，求⋅的值.
⒗（14分）已知数列}{n a 为等比数列，21=a ，公比0>q ，且2a ,6,3a 成等差数列. ⑴求数列}{n a 的通项公式； ⑵设n n a b 2log =，1
4332211
111++
+++=
n n n b b b b b b b b T ，求使1615>n T 的n 的最小值. ⒘（14分）函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++，其中R n m ∈,.
⑴若曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程为057=-+y x ，求n m ,的值；
⑵若6=n ，且当),3[+∞∈x 时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于0，求m 的取值范围.
⒙（16分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图3所示的数表： 设ij a （i 、j ∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数. 数表中第i 行共有1
2
-i 个正整数.
⑴写出52a 、63a 的值； ⑵若2009=ij a ，求j i ,的值； ⑶记nn n a a a a A ++++= 332211∈n (N*),
试比较n A 与2
n n +的大小, 并说明理由. ⒚（16分）已知函数x
x x f 2)23ln()(++=. （1）求函数)(x f 的极值；
（2）若)(x f 在区间)1,(+m m 上单调递增，求m 的取值范围； （3）是否存在正数k ，使得关于x 的方程x k x f ln )(=有两个不相等的实根？如果存在，求出k 的取值范围，如果不存在，说明理由.
1
2 3
4 5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
………………………… 图3
高二理科数学答题纸
班级 学号 姓名 评分 一、选择题（8小题，每题6分，共48分）
二、填空题（6小题，每题5分，共30分） ⒐____4______ ⒑__5____ ⒒__
3
4
____________ ⒓__5__________ ⒔__6________ ⒕=n b m n m q b -，=n d n
n b b b b 321 （第1空2分，第2空3分）
⒚解：⑴323
()ln()(2
2
f x x x x =++
>-，且0)x ≠， 221222
()3232
f x x x x x '=-=-++，令'()
f x =，解得：
1x =-或
3. …… 1分
当1-=x 时，)(x f 取得极大值为22
ln
+，当3=x 时，)(x f 取得极大值为
3
2
29ln
+ …… 4分 ⑵由⑴知()f x 的单调递增区间是（3
,12
-
-）和（3,+∞） )(x f 在区间)1,(+m m 上单调递增，)1,2
3
()1,(--⊆+∴m m 或
),3()1,(+∞⊆+m m …… 6分
⎪⎩⎪⎨⎧
-≤+-≥∴1
123m m 或3≥m 302
3
≥≤≤-
∴m x 或 …… 8分 ⑶
)0(ln 2
)23ln(ln )()(>-++=-=x x k x
x x k x f x h …
… 9分
∴221
222'()3232
k k h x x x x x x x =--=--++22
22(23)(23)
(23)x x kx x x x -+-+=+ 222(1)(34)6(23)
k x k x x x --+-=
+
…… 10分
取()p x =2
2(1)(34)6(0)k x k x x --+-≥
对称轴(34)34
4(1)4(1)
k k x k k -++=-
=---
当1k >时，()p x 图象开口向下，34
04(1)
k k +-
<-
∴()p x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)60p x p <=-<
∴'()0h x <，∴()h x 在(0,)+∞上单调递减，()0h x =不可能有两个不等实
根. …… 11分
当1k =时，()p x =760x --<，
同理'()0h x <，∴()h x 在(0,)+∞上单调递减，()0h x =不可能有两个不等实根. …… 12分
当01k <<时，()p x 图象开口向上，
又(0)60p =-<，此时()0p x =在(0,)+∞有且仅有一根，设为0x . 对0(0,)x x ∈，()0p x <，'()0h x <，()h x 在0(0,)x 上单调递减； 对0(,)x x ∈+∞，()0p x >，'()0h x >，()h x 在0(,)x +∞上单调递增；
min 0000
32
()()ln()ln 2h x h x x k x x ==++- …
… 13分
又2(1)2(1)1(34)16850p k k k =-⋅-+⋅-=--<，∴01x >，0ln 0x >
000
3
l n ()l n l n (01)2
x
x k x k +>><<， 0
2
0x >，∴0()0h x > ……
15分
此时()0h x =没有实数根
综上所述，不存在正数k ，使得关于x 的方程()()f x kg x =有两个不相等的实根. ……
16分。