2010-2023历年河南郑州智林中学高三模拟考试理科数学试卷(带解析)

2010-2023历年河南郑州智林中学高三模拟考试理科数学试卷（带解析）
第1卷
一.参考题库(共10题)
1.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，
乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
2.各项均为正数的等比数列{}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则
的值是
A．
B．
C．
D．或
3.已知向量，且，∥，则。

4.若n∈N*，n < 100，且二项式
的展开式中存在常数项，则所有满足条件的n值的和是________．
5.已知函数f(x)=ln(1+x)－.
(1)求f(x)的极小值; (2)若a、b>0,求证:lna－lnb≥1－.
6.与直线x+2y+3=0垂直，且与抛物线y = x2 相切的直线方程是．
7.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2．若二面角C－AB－C1的大小为6 0°，则异面直线A1B1和BC1所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
8.已知θ是三角形的一个内角，且sinθ、cosθ是关于x的方程2x2＋px－1＝0的两根，则θ等于
A．
B．
C．
D．
9.设函数y＝xsinx＋cosx的图像上的点（x0，y0）的切线的斜率为k，若k＝g（x0），则函数k＝g（x0）的图像大致为
10.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生，得到学生视力频率分布直方图，如右图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频率成等差数列．设最大频率为a；视力在4．6到5．0之间的学生人数为b，则a、b的值分别为
A．0.27，78
B．0.27，83
C．2.7，78
D．2.7，83
第1卷参考答案
一.参考题库
1.参考答案：(Ⅰ) ．(Ⅱ) ．（Ⅲ）的分布列为：
1
2
3
的数学期望．试题分析：(Ⅰ)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件
，
“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．
由于事件相互独立，且，．2分
故取出的4个球均为黑球的概率为． 4分
(Ⅱ)
设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件
，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．则
，．6分
由于事件互斥，故取出的4个球中恰有1个红球的概率为
．8分
（Ⅲ）可能的取值为．
由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，．
从而．
的分布列为：
1
2
3
10分
的数学期望．12分
考点：本题考查了随机变量的概率、分布列及期望
点评：本题考查了随机事件的概率及随机变量的分布列、期望的综合运用，考查了学生的计算能力及解决实际问题的能力，掌握求分布列的步骤及期望公式是解决此类问题的关键
2.参考答案：B试题分析：∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3=a1+ a2，∴
，∴q=，∴，故选B
考点：本题考查了等差（比）数列的性质
点评：熟练掌握等差（比）数列的通项及性质是解决此类问题的关键，属基础题
3.参考答案：试题分析：令，则由题得：
，解得
考点：本题考查了向量的坐标运算
点评：熟练掌握向量的运算及坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题
4.参考答案：950试题分析：二项式的展开式T r + 1 =,令3n–5r = 0，得
,再令r = 3k，k∈N*，∴n =" 5k" < 100,∴1≤k≤19，k∈N*
∴所有满足条件的n值的和是5 + 10 + 15 + … + 95 =× 19 = 950．
考点：本题考查了二项式展开式的运用
点评：熟练运用二项式的展开式公式是解决此类问题的关键，属基础题
5.参考答案：(1) 0. (2) f(x)≥f(0)=0,从而ln(1+x)≥在x>－1时恒成立.令1+x= >0,则=1－=1－,于是lna－lnb=ln≥1－,即lna－lnb≥1－
在a>0,b>0时成立.试题分析：(1) f(x)=ln(1+x)－,求导数得
f′(x)=,而f(x)的定义域x>－1,在x>0时,f′(x)>0;在－1<x<0时,f′(x)<0.
∴在x=0时,f(x)取得极小值f(0)=0. 6分
(2)证明:在x=0时,f(x)取得极小值,而且是最小值,于是f(x)≥f(0)=0,从而ln(1+x)≥
在x>－1时恒成立.
令1+x=>0,则=1－=1－,
于是lna－lnb=ln≥1－,
因此lna－lnb≥1－在a>0,b>0时成立. 12分
考点：本题考查了导数的运用
点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点．
6.参考答案：
试题分析：设所求直线为2x-y+c=0,∵直线2x-y+c=0与抛物线y = x2
相切，联立方程消y得，∴，∴c=-1，∴所求直线为
考点：本题考查了直线与抛物线的位置关系
点评：判别式法是解决直线与圆锥曲线位置关系的常用方法，属基础题
7.参考答案：D 试题分析：如图所示，
取AB中点M，由C1A=C1B知C1M⊥AB，CM⊥AB，则∠C1MC为二面角C－AB －C1的平面角，在Rt△C1CM中，cos60°=，∴C1M=2，∵AB∥，∴∠C1BM为所求的异面直线夹角，Rt△C1MB中，tan∠C1BM=
，∴cos∠C1BM=
即异面直线A1B1和BC1所成角的余弦值为，故选D
考点：本题考查了异面直线夹角的求法
点评：利用异面直线夹角的概念是解决此类问题的常用方法，属基础题
8.参考答案：C试题分析：由题意sinθ+cosθ=，sinθcosθ=
，∴sin2θ=-1，∴θ=，故选C
考点：本题考查了韦达定理及二倍角公式的运用
点评：熟练掌握三角恒等变换公式及常见角的求值是解决此类问题的关键，属基础题
9.参考答案：A试题分析：∵，∴，∴
，∵g（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-g（x），∴函数y=g（x）是奇函数，图象关于原点对称，再根据当0＜x＜
时，x与cosx均为正值，可得：0＜x＜
时，f（x）＞0，因此符合题意的图象只有A，选A
考点：本题考查了导数的运用及函数图象的运用
点评：本题以含有三角函数表达式的函数为载体，考查了导数的几何意义、函数奇偶性与图象间的联系等知识点，属于基础题
10.参考答案：A试题分析： 4.3～4.4有1人,4.4～4.5有3人, 4.5～4.6有9人,
4.6～4.7有27人,故后六组共有87人,每组分别有27、22、17、12、7、2人，故a= 0.27,b=78，故选A
考点：本题考查了频率分布直方图的运用
点评：频率分布图中的每个小矩形的面积就是此组的频率，应用时应注意这一点。