江苏省常州市2023届高三下学期迎三模数学模拟试题1

江苏省常州市2023届高三下学期迎三模数学模拟试题1
一、单选题
1.集合{}1A x x =< {}3log 0B x x =< 则（ ） A. {}0A B x x ⋂=< B. {}1A B x x ⋃=<
C. A B =∅
D. {}0A B x x ⋃=<
2.瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系 并写下cos sin i e i θθθ=+ 被誉为“数学中的天桥” 据此6
ππcos isin 66⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ． 1- C ．0 D ．i -
3.3D 打印属于快速成形技术的一种 它是一种以数字模型文件为基础 运用粉末状金属或塑料等可粘合材料 通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型 现正用于一些产品的直接制造 特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上 四个顶点在圆锥底面上） 圆锥底面直径为2母线与底面所成角的正切2 1 g ／cm3 不考虑打印损耗 制作该模型所需原料的质量约为（取π≈3．14 精确到0．1）
A ．609．4 g
B ．447．3 g
C ．398．3 g
D ．357．3 g
4.若函数f(x)=cos(x －
6π) +cos(x+6π)+sinx+m 的最大值为1 则实数m ＝（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．3
D ．﹣3 5.如图 有甲、乙、丙三个盘子和放在甲盘子中的四块大小不相同的饼 按下列规则把饼从甲盘全部移到乙盘
中：①每次只能移动一块饼；①较大的饼不能放在较小的饼上面 则最少需要移动的次数为（ ）
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16
6.2021年5月15日 我国首次火星探测任务天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆 在火星上首次留下中国印迹 极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情．某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加该市举行的“我爱火星”知识竞赛 已知甲同学被选出 则乙同学也被选出的概率为（ ）
A ．35
B ．34
C ．45
D ．47
7.已知椭圆E ：221164x y +=的左右顶点分别为1A 2A 圆1O 的方程为()221124x y ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭
动点P 在
曲线E 上运动 动点Q 在圆1O 上运动 若12A A P △的面积为记PQ 的最大值和最小值分别为m 和n 则m n +的值为（）
A. B. C. D. 8.若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线 则实数a 的最大值为（）
A. e 2
B. e
C.
D. 2e
二、多选题（本题共4道小题 每小题5分 共20分 少选得2分 多选不得分）
9.下列说法正确的是（ ）
A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本 则个体
m 被抽到的概率是0.1
B ．已知一组数据1 2 m 6 7的平均数为4 则这组数据的方差是5
C ．数据27 12 14 30 15 17 19 23的第70百分位数是23
D ．若样本数据1x 2x … 10x 的标准差为8 则数据121x - 221x - … 1021x -的标准差为32
10.（多选题）已知函数()()3sin 2cos20f x x x ωωω=+>的零点构成一个公差为
2
π的等差数列 把f(x)的图象沿x 轴向右平移3π个单位得到函数g(x)的图象 则（ ） A ．g(x)在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增 B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是g(x)的一个对称中心 C ．g(x)是奇函数 D ．g(x)在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为[0,2] 11.（多选题）已知点1,12P ⎛⎫-
⎪⎝⎭
O 为坐标原点 A 、B 为曲线2:2C y x =上的两点 F 为其焦点．下列说法正确的是（ ）． A ．点F 的坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．若P 为线段AB 的中点 则直线AB 的斜率为-2
C ．若直线AB 过点F 且PO 是AF 与BF 的等比中项 则10AB =
D ．若直线AB 过点F 曲线C 在点A 处的切线为1l 在点B 处的切线为2l 则12l l ⊥
12.（多选题）已知正方体ABCD ﹣A1B1C1D1的棱长为1 点P 是线段BD1上（不含端点）的任意一点 点E 是线段A1B 的中点 点F 是平面ABCD 内一点 则下面结论中正确的有（）
A. CD①平面PBC1
B. 以A1为球心､2为半径的球面与该正方体侧面DCC1D1的交线长是
2π C.|EP|+|PF|的最小值是3
2 D. |EP|+|PF|的最小值是
3
2 三、填空题 13．已知()6
210x a a x ⎛⎫++> ⎪⎝
⎭展开式的常数项为76 则=a __________． 14．已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 则ω的取值范围为__________．
15．已知抛物线M ：24x y = 圆C ：22(3)4x y +-= 在抛物线M 上任取一点P 向圆C 作两条切线PA 和PB 切点分别为A B 则CA CB ⋅的取值范围是______ ．
16．几位大学生响应国家的创业号召 开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 … 其中第一项是02 接下来的两项是02 12 再接下来的三项是02 12 22 依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______．
四、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且22n n S s a t n n =⋅+⋅-.
(1)当3,0s t ==时,求证数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩
⎭为等比数列,并求{}n a 的通项公式; (2)当0,3s t ==时,不等式1n n
a a λλ++≥对于任意*2,N n n ≥∈都成立,求λ的取值范围.
18．在ABC 中 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知π2sin 6b A a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭ 且2c = 点D 在线段BC 上. (1)若3π4
ADC ∠= 求AD 的长；
(2)若2,BD DC ABC =的面积为求
sin sin BAD CAD
∠∠的值.
19．如图 在四棱锥P ABCD -中 PA AD ⊥ 底面ABCD 为直角梯形 3BC AD = AD BC ∥ 90BCD ∠=︒ M 为线段PB 上一点.
(1)若13
PM PB = 求证：AM ∥平面PCD ； (2)若2PA = 1AD = 异面直线PA 与CD 成90︒角 二面角B PC D --的余弦值为10在线段PC 上是否存在点Q 使得点Q 到直线AD 25若存在请指出点Q 的位置 若不存在请说明理由.
20．2022年12月15至16日 中央经济工作会议在北京举行.关于房地产主要有三点新提法 其中“住房改善”位列扩大消费三大抓手的第一位.某房地产开发公司旗下位于生态公园的楼盘贯彻中央经济工作会议精神 推出了为期10天的促进住房改善的惠民优惠售房活动 该楼盘售楼部统计了惠民优惠售房活动期间到访客户的情况 统计数据如下表：（注：活动开始的第i 天记为i x 第i 天到访的人次记为i y i 1,2,3,=）
(1)根据统计数据 通过建模分析得到适合函数模型为x y c d =⋅（c d 均为大于零的常数）.请根据统计数据及下表中的数据 求活动到访人次y 关于活动开展的天次x 的回归方程 并预测活动推出第8天售楼部来访的人次；
参考数据：其中770.8411
1lg , 1.84,58.55,10 6.97i i i i i i i v y v v x v ======≈∑∑； 参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v 其回归直线ˆˆˆv u α
β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1
1222
11ˆˆ,n n i i i i i i n n i i i i u u v
v u v nuv v u u
u u nu βαβ====---==
=---∑∑∑∑； (2)该楼盘营销策划部从有意向购房的客户中 随机通过电话进行回访 统计有效回访发现 客户购房意向的决定因素主要有三类：A 类是楼盘的品质与周边的生态环境 B 类是楼盘的品质与房子的设计布局 C 类是楼盘的品质与周边的生活与教育配套设施.统计结果如下表：
从被回访的客户中再随机抽取3人聘为楼盘的代言人 视频率为概率 记随机变量X 为被抽取的3人中A 类和C 类的人数之和 求随机变量X 的分布列和数学期望.
21．P 为圆()2
2:236A x y ++=上一动点 点B 的坐标为()2,0 线段PB 的垂直平分线交直线AP 于点Q ． (1)求点Q 的轨迹方程C ；
(2)在（1）中曲线C 与x 轴的两个交点分别为1A 和2A M 、N 为曲线C 上异于1A 、2A 的两点 直线MN 不过坐标原点 且不与坐标轴平行．点M 关于原点O 的对称点为S 若直线1A S 与直线2A N 相交于点T 直线OT 与直线MN 相交于点R 证明：在曲线C 上存在定点E 使得RBE 的面积为定值 并求该定值．
22．已知函数()()()22e 21ln 21x f x a x x =-++．
(1)当2a =时 研究函数()f x 的单调性；
(2)当π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时 ()()22cos 22f x x a x ≥--恒成立 求a 的取值范围．。