八年级数学下册 2.6.2 菱形的判定教案 (新版)湘教版

2．6.2 菱形的判定
1．理解和掌握菱形的判定方法；(重点)
2．合理利用菱形的判定方法进行论证和计算．(难点)
一、情境导入
我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：
1．两条对角线互相垂直平分；
2．四条边都相等；
3．每条对角线平分一组对角．
这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？
二、合作探究
探究点一：菱形的判定
【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定
已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，
使得EF＝BE，连接CF.
求证：四边形BCFE是菱形．
解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．
证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC.∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．
方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定
如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，
连接CD，求证：
(1)AC⊥BD；
(2)四边形ABCD是菱形．
解析：(1)证得△BAC 是等腰三角形后利用三线合一的性质得到AC ⊥BD 即可；
(2)首先证得四边形ABCD 是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形．
证明：(1)∵AE ∥BF ，∴∠BCA ＝∠CAD ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠CAD ，∴∠BCA ＝∠BAC ，∴△BAC 是等腰三角形，∵BD 平分∠ABC ，∴AC ⊥BD ；
(2)∵△BAC 是等腰三角形，∴AB ＝CB ，又∵BC ∥AD ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝∠BDA ，∴△ABD 也是等腰三角形，∴AB ＝AD ，∴DA ＝CB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．
方法总结：判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的前提条件是平行四边形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定
如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：
①分别以A ，C 为圆心，大于12
AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点； ②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；
③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF .
(1)求证：△AED ≌△CFD ；
(2)求证：四边形AECF 是菱形．
解析：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，从而得到AE ＝CE ，AD ＝CD ，然后根据CF ∥AB 得到∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，利用ASA 证得两三角形全等即可；
(2)根据全等得到AE ＝CF ，再由EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC ＝EA ，FC ＝FA ，从而得到EC ＝EA ＝FC ＝FA ，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF 为菱形．
解：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠
EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，AD ＝CD ，∠CFD ＝∠AED ，
∴△AED ≌△CFD ；
(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形．
方法总结：判定一个四边形是菱形可分为两种情况：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
探究点二：菱形的判定的应用
【类型一】 菱形判定中的开放性问题
如图，平行四边形ABCD 中，AF 、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，根据现有
的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________．(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)
解析：∵AD ∥BC ，∴∠FAD ＝∠AFB ，∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝FAD ，∴∠BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF ，同理ED ＝CD ，∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF ，又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵对角线互相垂直的四边形是菱形，则添加的一个条件可以是：AC ⊥EF .
方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用
在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F .
(1)如图①，求证：CE ＝CF ；
(2)如图②所示，若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点，分别连接DB 、DG ，求∠BDG 的度数；
(3)如图③所示，若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连接DB ，DG ，求∠BDG 的度数．
解析：(1)根据AF 平分∠BAD ，可得∠BAF ＝∠DAF ，利用四边形ABCD 是平行四边形，证明∠CEF ＝∠F 即可；(2)如图④所示，分别连接GB 、GC ，根据∠ABC ＝90°，可得△ABE ，△ECF 均为等腰直角三角形，再证明△BEG ≌△DCG ，然后即可求得答案．(3)如图⑤所示，分别延长AB 、FG 交于H ，连接HD ，求得四边形AHFD 是平行四边形．由∠ABC ＝120°，可求得△DHF 为等边三角形．再由条件证得△BHD ≌△GFD ，然后即可求得答案．
(1)证明：∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠F ，∴∠CEF ＝∠F .∴CE ＝CF ；
(2)解：连接GC 、BG ，如图④所示，∵四边形ABCD 为平行四边形，∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 为矩形，∵AF 平分∠BAD ，∴∠DAF ＝∠BAF ＝45°，∵∠DCB ＝90°，DF ∥AB ，∴∠DFA ＝45°，∠ECF ＝90°，∴△ECF 为等腰直角三角形，∵G 为EF 的中点，∴EG ＝CG ＝FG ，CG ⊥EF ，又∵∠ABC ＝90°，∠BAF ＝45°，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AB ＝BE .又AB ＝DC ，∴BE ＝DC ，∵∠CEF ＝∠GCF ＝45°，∴∠BEG ＝∠DCG ＝135°，在△BEG 与△DCG 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧EG ＝CG ，∠BEG ＝∠DCG ，BE ＝DC ，
∴△BEG ≌△DCG ，∴BG ＝DG ，∠BGA ＝∠DGC .∵CG ⊥EF ，∴∠DGC ＋∠DGA ＝90°，∴∠BGE ＋∠DGE ＝90°，∴△DGB 为等腰直角三角形，∴∠BDG ＝45°；
(3)解：延长AB 、FG 交于H ，连接HD ，如图所示，∵AD ∥CE ∥GF ，AB ∥DF ，∴四边形AHFD 为平行四边形．∵∠ABC ＝120°，∴∠BAC ＝60°，又∵AF 平分∠BAD ，∴∠DAF ＝30°，∠ADC ＝120°，∴∠DFA ＝30°.∴△DAF 为等腰三角形．∴AD ＝DF ，∴平行四边形AHFD 为菱形．∴△ADH ，△DHF 为全等的等边三角形．∴DH ＝DF ，∠BHD ＝∠GFD ＝60°.∵AD ∥BC ，∴∠CEF ＝∠DAF ＝30°，∴∠CEF ＝∠CFA ，∴CE ＝CF .∵AH －AB ＝DF －CD ，∴BH ＝CF .又∵FG
＝CE ，∴BH ＝GF .在△BHD 与△GFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DH ＝DF ，∠BHD ＝∠GFD ，BH ＝CF ，
∴△BHD ≌△GFD ，∴∠BDH ＝
∠GDF .∴∠BDG ＝∠BDH ＋∠HDG ＝∠GDF ＋∠HDG ＝60°.
方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．菱形的判定
有一组邻边相等的四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边相等的四边形是菱形．
2．菱形的性质和判定的综合应用
在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用。