《含30°角的直角三角形的性质》优质课件(3套)

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B
C
创设情境,导入新知
思考1 等边三角形是轴对称图形,若沿着其中一 条对称轴折叠,能产生什么特殊图形?
思考2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三 角形有什么不同之处,它有什么特殊性质?
活动操作,探索性质
活动 用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能 拼出怎样的三角形?能拼出等边三角形吗?请说说你的 理由.

BC
=
1 2
AB,DE
=
1 2
AD.
B
∴ BC =3.7(m).
D
又 AD = 1 AB,
(m).
22
答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上
的高.
D A
B
)15 °
15 ° C
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°,
∴CD= 1 AC= 1×20=10. 22
思考 这个命题是真命题吗?请进行证明.
活动操作,探索性质
已知:如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =
30°.
求证:BC =
1 2
AB.
证明:在△ABC 中,
A
∵ ∠C =90°,∠A =30°,
∴ ∠B =60°.
延长BC 到D,使BD =AB,
连接AD,
则△ABD 是等边三角形.
B
C
性质:
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么
它所对的直角边等于斜边的一半.
证法1
已知:如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°.
求证:BC = 1 AB.
2
证明:在△ABC 中,∵ ∠C =90°,
A
∠A =30°, ∴ ∠B =60°.
证明方法: 倍长法
延长BC 到D,使BD =AB,连接AD,
∴ AE=EC,
∴ AE=BE=BC,
E
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴ BC = 1 AB.
2
B
C
知识要点
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么
它所对的直角边等于斜边的一半.
A
应用格式:
∵ 在Rt△ABC 中,
∠C =90°,∠A =30°,
∴ BC = 1 AB.
2
理由如下:∵DE⊥AB, ∴∠AED=∠BED=90°. ∵DE是∠ADB的平分线, ∴∠ADE=∠BDE. 又∵DE=DE, ∴△AED≌△BED(ASA),
∴AD=BD,∠DAE=∠B.
∵∠BAD=∠CAD= 1 ∠BAC, 2
∴∠BAD=∠CAD=∠B.
∵∠BAD+∠CAD+∠B=90°,
则∠ACE =90°-60°=30°.
A
在△ABC 中,
∵ ∠ACB=90°,∠A =30°,
∴ ∠B =60°.
在△BCE 中,
E
∵ ∠BCE=60°,∠B =60°,
∴ △BCE 是等边三角形.
∴ BC =BE =CE.
B
C
动手操作,探索性质
另证:
在△ACE 中,
A
∵ ∠A=30°,∠ACE =30°,
复习回顾
A
1、等边三角形的概念: 三条边都相等的三角形。
2、等边三角形的性质:
B
C
等边三角形三条边都相等。
等边三形的三个内角都相等,并且每一个角都等于600.
3、等边三角形的判定:
(1)三条边相等的三角形是等边三角形。
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是600的等腰三角形是等边三角形;
B D
A
E
C
想一想: 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边? 它们所对的锐角分别是多少度?
解:∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °,
∴BC= 1 AB,
1
DE= AD.
B
2
2
∴BC= 1 AB= 1 ×7.4=3.7(m). D
22
又AD=
1
AB,
2
A
E
C
∴DE=
1
1
AD=
×3.7=1.85
D
活动操作,探索性质
已知:如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =
30°.
求证:BC =
1 2
AB.
证明:由等边三角形的性质可知, A
AC 也是BD 边上的中线,

BC
=
1 2
BD
=
1 2
AB

追问:你还能用其他方 法证明吗?
B
C
D
动手操作,探索性质
另证:作∠BCE =60°,交AB于E,连接CE,
C.12米 D.15米 2.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空
地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草
皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要B( ) A.300a元 B.150a元
C.450a元 D.225a元
3.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD 是高,
∠A =30°,AB =4.则BD1 = .
2
B
C
判断下列说法是否正确: 1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边 的一半. 2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3)直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍.√
典例精析
例1 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=
30°,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的
方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂 直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构 造含30°角的直角三角形.
例3 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC
的平分线,过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平
分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由. 解:CD 1 DB.
长度是(D )
A.3cm
B.6cm
C.9cm D.12cm
解析:在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC= 90°,∴∠ACD=∠B=30°.在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm, 在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
注意:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要 分清线段所在的直角三角形.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴BE=AE,
∴∠EAB=∠B=15°,
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°.
∵∠C=90°,
∴AC=
1 2
AE=
1 2
BE=2.5.
7.在 △ABC中 ,AB=AC,∠BAC=120° ,D是 BC的中点,DE⊥AB于E点,求证:BE=3EA.
证明:∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°. ∵ D是BC的中点,∴AD⊥BC ∴∠ADC=90°,∠BAD=∠DAC=60°. ∴AB=2AD. ∵DE⊥AB,∴∠AED=90°, ∴∠ADE=30°,∴AD=2AE. ∴AB=4AE,∴BE=3AE.
∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°.
在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,
∴CD=
1 2
AD=
1 2
BD,即CD=
1 2
DB.
方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线 段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探 究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.
例4 如图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的 中点,立柱BC,DE 垂直于横梁AC,AB =7.4 cm, ∠A =30°,立柱BC、DE 要多长?
第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
学习目标
1.探索含30°角的直角三角形的性质.(重点) 2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算.(难点)
导入新课
问题引入
问题1 如图,将两个相同的含30°角的三角尺摆放在 一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC 与斜边AB之间的数量关系吗?
A A
B
C
D
B
C
D
活动操作,探索性质
问题 你能借助这个图形,找到含30°角的直角 △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗?
A
BC = 1 AB. 2
B
C
D
活动操作,探索性质
猜想 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
问题 请说一说你猜想的命题中,条件和结论分别 是什么?并结合图形,用符号语言表述出来.
拓展提升 8.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为 BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P, BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.
证明:∵△ABC为等边三角形, ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°, ∵CD=AE, ∴△ADC≌△BEA.
∴∠CAD=∠ABE. ∵∠BAP+∠CAD=60°, ∴∠ABE+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又∵ BQ⊥AD,
则△ABD 是等边三角形. 又∵AC⊥BD, ∴BC = 1 BD.
2
∴ BC = 1 AB.
2
B
C
D
证明2: 在BA上截取BE=BC,连接EC.
∵ ∠B= 60° ,BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形,
证明方法:
∴ ∠BEC= 60°,BE=EC.
截半法
∵ ∠A= 30°,
A
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
例2 如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于
C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于C ( )
A.3
B.2
E
C.1.5
D.1
解析:如图,过点P作PE⊥OB于E,∵PC∥OA,∴∠AOP=
∠CPO,∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP= ∠AOB=30°.又∵PC=3,∴PE=1.5.∵∠AOP=∠BOP, PD⊥OA,∴PD=PE=1.5.故选C.
C
B
第3题图
B
D
C
A
第5题图
4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC
= 5.
5.如图,Rt△ABC中,∠A= 30°,AB+BC=12cm,则
8
AB=______.
6.在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的 垂直平分线,BE=5,则求AC的长.
解:连接AE,
思考 图中BC、DE 分 别是哪个直角三角形的直角 边?它们所对的锐角分别是
B D
多少度?
A EC
例 如图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC、DE 垂直于横梁AC,AB =7.4 cm, ∠A =30°,立柱BC、DE 要多长?
解:∵ DE⊥AC,BC⊥AC,∠A =30°,
∴ △AEC是等腰三角形.
∴ CE =AE.
E
∴ BC =BE =CE =AE.
∴ BC =BE =AE = 1 AB.
2
B
C
动手操作,探索性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么
它所对的直角边等于斜边的一半. A
符号语言:
∵ 在Rt△ABC 中,
∠C =90°,∠A =30°,

BC =
方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构 造含30°角的直角三角形来解决.本题的关键是作 高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30° 角,利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
当堂练习
1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒 下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高 度为( B ) A.6米 B.9米
A
B
C
分离 拼接
问题2 将一张等边三角形纸片,沿一边上的高对折, 如图所示,你有什么发现?
讲授新课
一 含30°角的直角三角形的性质
如图,△ADC是△ABC的轴对称图形, A 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°, 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD=你 法还 证12 能明AB用吗. 其?他方

学习目标:
1.探索含30°角的直角三角形的性质. 2.含300角的直角三角形的性质的应用. 预习课本P80--P81.完成课后练习题。
创设情境,导入新知
问题 已知△ABC 中,∠A =60°,(
).
请你在括号内补充一个条件,使△ABC 能成为等边三角
形.
A
∠B =60°(或∠C =60°) AB =BC、AC =BC、AB =BC =AC
∴∠BQP=90°, ∴∠PBQ=30°, ∴BP=2PQ.
课堂小结
30°
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,

内 容 那么它所对的直角边等于斜边的一半

的 直 角
使用 要点
找准30 °的角所对的直角边,点明斜边





注意
前提条件:直角三角形中

13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
1 2
AB.
B
C
课堂练习
1、如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,AB
=10,则BC 的长为 5 .
C
C
B D B
2、如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD 是高,∠A =30°,AB =4.则BD = 1 .
性质运用
例 如图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC、DE 垂直于横梁AC,AB =7.4 cm, ∠A =30°,立柱BC、DE 要多长?
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