(完整版)均值不等式测试题(含详解)
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均值不等式测试题
一、选择题
1.已知a 、b ∈(0,1)且a ≠b ,下列各式中最大的是( )
A.a 2+b 2 B.2ab C.2a b D.a +b 2.x ∈R ,下列不等式恒成立的是( )
A .x 2+1≥x
B .1
12+x <1 C .lg(x 2+1)≥lg(2x) D .x 2+4>4x 3.已知x+3y-1=0,则关于y x 82+的说法正确的是( )
A.有最大值8 B.有最小值22 C.有最小值8 D.有最大值22
4.A设实数x ,y ,m ,n 满足x 2+y 2=1,m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是( ) A.3 B.2 C.5 D.
210 5.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( )
A.(a+b )(b
a 11+)≥4 B.a 3+
b 3≥2ab 2 C.a 2+b 2+2≥2a+2b D.b a b a -≥-
6.下列结论正确的是( )
A .当x>0且x ≠1时,lgx+
x lg 1≥2 B .当x>0时,x +x 1≥2 C .当x ≥2时,x +x 1 ≥2 D .当0<x ≤2时,x -x
1无最大值 7.若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-,则2a+b+c 的最小值为( )
A .13-
B .13+
C .223+
D .223-
二.填空题:
8.设x>0,则函数y=2-x
4-x 的最大值为 ;此时x 的值是 。
9.若x>1,则log x 2+log 2x 的最小值为 ;此时x 的值是 。
10.函数y=1
42-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ;此时x=_________. 11.函数f(x)=2
42
+x x (x ≠0)的最大值是 ;此时的x 值为 _______________.
三.解答题:
12.函数y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny+1=0
上,其中mn>0,求n m 11+的最小值为。
13.某公司一年购某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 为多少吨?
14.已知x,y ∈(-3,3)且xy =-1,求s=
22121233y
x -+-的最小值。
参考答案
选择题:
1.D 解析:只需比较a 2+b 2与a +b 。
由于a 、b ∈(0,1),∴a 2<a,b 2<b ∴a 2+b 2<a +b ;
2.B
3.B 解析:y x 82+=2333222222y x y x y x +=≥+=22 4。
A 解法一:设x=sin α,y=cos α,m=3sin β,n=3cos β,其中α,β∈∈(0°,180°)其他略。
解法二、m 2+n 2=322)3()3(
n m +⇔=1∴2=x 2+y 2+22)3()3(n m + ≥)(32ny mx +∴mx+ny ≤3。
5.B 解析:
A 、C 由均值不等式易知成立;D 中,若a<b ,结论显然,若a ≥b 则b a b a -≥-0)(2222≤-=-≥+-≥-⇔a b b ab b b ab a b a 这显然也成立。
取a=0.1,b=0.01,可验证
B 不成立。
6.B 解析:
A 中lgx 不一定为正;C 中等号不成立;D 中函数为增函数,闭区间上有最值。
故选
B 。
7.D
解析:(2a+b+c)2=4a 2+(b 2+c 2)+4ab+4ac+2bc ≥4a 2+2bc+4ab+4ac+2bc
=4(a 2+bc+ac+ab)=4[a(a+b+c)+bc]=4(324-)=4(13-)2当且仅当b=c 时等号成立。
∴最小值为223-。
二.填空题:
8.-2,2
9.2,2
10 。
解析:y=142-+-x x x =14-+x x =11
4)1(+-+-x x ≥5,当且仅当x=3时等号成立。
11。
解析:f(x)=242
+x x =422212122=≤+x
x ,此时x =42。
三.解答题:
12.解析:∵y=log a x 恒过定点(1,0),∴y=log a (x+3)-1恒过定点(-2,-1),
∴-2m-n+1=0,即2m +n =1,∴n m 11+=(n m 11+)(2m +n )=2+2+n
m m n 4+≥8,∴最小值为8。
13.解析:设一年的总运费与总存储费用之和为y ,则x x x x y 41600244400⨯≥+⨯==160,当且仅当x=20时等号成立。
最小值为160。
14.解析:s=
22121233y x -+-≥)912)3(36222y x --=12)312(37122y x +-≥125
12362371=-。
评注:两次等号成立的条件都一样。