高三数学(理科)模拟试卷及答案3套

高三数学（理科）模拟试卷及答案3套
模拟试卷一
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集R U =，集合}5,4,3,2,1,0{=A ，}2|{≥=x x B ， 则图中阴影部分所表示的集合 A ．{}1 B ．{}0,1
C ．{}1,2
D ．{}0,1,2
2．在复平面内与复数21i
z i
=
+所对应的点关于 实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为 A ．1i + B ．1i -
C ．1i --
D ．1i -+
3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 A ．3213log 2
+ B ．2log 3
C ．4
D ．2
4．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的焦点在x 轴上，且椭圆C 7
，面积为12π，则椭圆C 的方程为 A ．22134x y += B ．221916
x y +=
C ．22
143x y +=
D ．22
1169
x y +=
5．已知()(1)(2)2f k k k k k =+++++⋯+（k *∈N ），则 A ．(1)()22f k f k k +-=+ B ．(1)()33f k f k k +-=+ C ．(1)()42f k f k k +-=+
D ．(1)()43f k f k k +-=+
6．已知数列{}n a 为等比数列，且2
234764a a a a =-=-，则5
2)a π=
A
．
B
C
．D
．-
7．设抛物线2
y 4x =-的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜
||PF = A ．
23 B ．
43
C ．
73
D ．4
8．若4sin cos 3θθ-=
，且3π,π4θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则sin(π)cos(π)θθ---= A
．3-
B
．
3
C ．43
-
D ．
43
9．已知三棱锥A BCD -
中，AB CD ==2==AC BD
，AD BC ==点在同一个球面上，则此球的体积为 A ．
32
π B ．24π
C
D ．6π
10．在Rt ABC ∆中，已知90,3,4,C CA CB P ∠===o 为线段AB 上的一点，且
CA CB CP x y CA
CB
=⋅+⋅u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ，则
11
x y
+的最小值为 A ．
76
B ．
712
C
．
712+
D
．
76+
11．已知函数()y f x =是(11)-，
上的偶函数，且在区间(10)-，上是单调递增的，A 、B 、C 是锐角三角形ABC △的三个内角，则下列不等式中一定成立的是 A ．(sin )(sin )f A f B > B ．(sin )(cos )f A f B > C ．(cos )(sin )f C f B >
D ．(sin )(cos )f C f B >
12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为
'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，
(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为
A ．(,0)-∞
B ．(0,)+∞
C ．(
)4
,e
-∞
D ．(
)
4
,e +∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22
193
x y -=有相同的焦点，则a 的值为______.
14．已知实数x ，y 满足不等式组20
25020x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，且z =2x -y 的最大值为a ，
则dx x
a e
⎰1=______．
15．已知点()2,0A -，()0,4B ，点P 在圆()()2
2
:345C x y -+-=上，则使90APB ∠=︒ 的点P 的个
数为__________.
16．已知函数()22
log ,02
()3,2
x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则
4
34123
x x x x x x ++的取值范围是____． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：(共60分) 17．(12分)
已知等差数列{}n a 满足：4107,19a a ==，其前n 项和为n S ． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ； （2）若1
1
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．(12分)
已知函数2()3cos 2sin 1f x x x x =+-. (1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2,C ,24
f A c π
===，求ABC ∆的面积.
19．(12分)
如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23
BCD π
∠=
，四边形 ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.
（1）求证：EF ⊥平面BCF ；
（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 20．(12分)
已知椭圆(222:122x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2
PF =
. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且2OM =，求AOB ∆面积的最大值.
21．(12分)
已知函数(
))f x lnx x a R =+-∈有两个极值点12,x x ，且12x x <. (1)若5a =，求曲线()y f x =在点()()
4,4f 处的切线方程； (2)记()()()12g a f x f x =-，求a 的取值范围，使得()15
0424
g a ln <≤-.
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为))2,0[(sin 3cos π∈θ⎩
⎨
⎧θ=θ
= y x ，曲线2C
的参数方程为
122(x t t y ⎧
=--⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
为参数)． (1)求曲线1C ，2C 的普通方程；
(2)求曲线1C 上一点P 到曲线2C 距离的取值范围． 23．[选修4－5：不等式选讲]
已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：
二、填空题
13. 4 14. 6 15. 1 16. (7,8) 三、解答题
17. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则11
37
919a d a d +=⎧⎨+=⎩，…………2分
解得：1
a 1,d 2==， …………4分
∴12(1)21n a n n =+-=-，2(121)
2
n n n S n +-==． …………6分
（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭
， …………8分 ∴数列{}n b 的前n 项和为
11111
1123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L …………10分 11122121
n n n ⎛⎫=-=
⎪++⎝⎭ …………12分 18. 解（1）∵(
)2
21f x sin x =+-x ﹣cos2x ＝2sin （2x 6
π
-
），…2分 令2k π2π
-
≤2x 6π
-
≤2k π2π+
，k ∈Z，解得k π6
π-≤x ≤k π3π
+，k ∈Z， …4分 ∴函数f （x ）的单调递增区间为：[k π6
π-，k π3π
+]，k ∈Z． …6分
（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2，∴sin（2A 6π
-）＝1，
∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ
-=，解得A 3
π=， …8分
∵C 4
π
=，c ＝2，
∴由正弦定理
a c
sinA sinC
=，可得
a 22
c sinA sinC ⋅=
== …10分 ∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得6＝b 2+4﹣21
22
b ⨯⨯⨯
，解得b ＝
1去）， …11分 ∴S △ABC 12=ab sin
C 12=（
1
2=． …12分 19.
（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===， 又∵23
BCD π
∠=
,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥. ……2分 ∵CF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥, ……4分 而CF BC C =I ,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF . ……6分
（Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设1AD CD BC CD ====，令(03FM λλ=≤≤， 则())
()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,,0,1C A
B M λ， ……8分
∴()
()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-u u u v u u u u v
设(),,n x y z =v
为平面MAB 的一个法向量，
由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v 得300
x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()
3,3n λ=v ，∵()1,0,0m =v 是平面FCB 的一个
法向量， ……10分
∴(
)
(
)
2
2
cos ,1331
34
n m n m n m
λλ⋅===
++
-⨯-+v v v v v v
∵03λ≤≤0λ=时，cos θ7
， ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二面角的余弦值为
7
. ……12分 20.解：（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点2,2P c ⎛± ⎝⎭
，2b = ……2分
则有2
22
2212c a ⎛ ⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22
182
x y +=； ……4分
（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，
由2OM 6AB =1
32
AOB S OM AB ∆=
⋅=； ……5分 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，
由22
182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()222
148480k x ktx t +++-=.
122814kt x x k -∴+=+，2122
4814t x x k
-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ……7分
已知OM =()2
222
214116k t k
+=
+. ……8分
()()()222222
12122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦
Q ()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2
2
2
1t d k =+，
()()()
22
222
2221682114114AOB
k t t S k k k ∆-+=+⋅++. …10分 将()
2222
214116k t k
+=
+代入化简得()
()
222
2
219241116AOB k k S k ∆+=
+.
令2
116k p +=，
则()()
()2
2
2
2
2211211192414116AOB
p p k k S p k ∆-⎛⎫
-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.
当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2.
综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. ……12分 21。

解：(1)5a =时，(
)ln x x f x +-=(
)11f x x '=
+ ……2分 ()()446,'40,f ln f =-=
所以，点()()
4,4f 处的切线方程是46y ln =-； ……4分 (2)(
)122
12x f x x x -'=
+=
2
a
=
1=，且2160a ∆=->，4a >， ……6分 因为(
)11112f x lnx x lnx x =+-=--，()2222f x lnx x =--， ……8分
t =，得()
2
214
t a t
+=，且1t >.
所以()()121
21
ln 2x g a x x t lnt x t ⎛⎫=+-=--
⎪⎝⎭
， ……10分
令()12ln h t t t t
=--
则()()2
2
222
11221'10t t t h t t t t t --+=+-==
> 所以()h t 在(1,)+∞上单调递增， 因为()15
4424
h ln =
-，所以14t <≤， 又因为()2
2
1124t a t t t
+==++在(]1,4上单调递增，所以45a <≤. ……12分 22.解：由题意，cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），则cos sin 3x y θ
θ=⎧⎪
⎨=⎪⎩，平方相加，
即可得1C ：2
2
y x 19
+=， ……2分
由122(x t t y ⎧
=--⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
为参数），消去参数，得2C
：)y x 2=+，
y 0++=. ……4分 （2）设()P cos α,3sin α，
P 到2C
的距离d =
=
……6分 ∵[)α0,2π∈，当πsin α16⎛
⎫+
= ⎪⎝
⎭时，即πα3
=
，max d = 当πsin α16⎛
⎫+
=- ⎪⎝
⎭时，即4πα3
=，min d 0=. ……8分
∴取值范围为0,⎡⎣. ……10分
23.解：（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<； ……2分 当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2
(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；
当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；
当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2
(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集； 综上，原不等式的解集为(,1)-∞； ……5分
（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意； ……7分 当1a <时，2(),1
()2()(1),x a a x f x x a x x a
-≤<⎧=⎨
--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满
足题意； ……9分
综上，a 的取值范围是[1,)+∞. ……10分
模拟试卷二
注意事项：
1. 本试题满分150分,考试时间为120分钟。

2. 答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。

3. 使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹淸晰。

超出答题区书写的答
案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合題目要
求的。

1. 己知集合A={X |X 2
-X -2≤0}, B={x|y=
,则A ∪B=
A. {x|-l ≤x ≤2}
B. {x|0≤x ≤2}
C. {x|x ≥-l}
D. {x|x ≥0} 2. “x ∈R,x 2
-x+l>0”的否定是 A.
x ∈R, X 2
-X +1≤0 B. x ∈R, x 2
-x+1<0 C.
x ∈R, x 2
-x+l<0
D.
x ∈R, x 2
-x+l ≤0
3. 若双曲线(a>0,b>0)的离心率为，则其渐近线方程为
A. 2x±3y=0
B. 3x±2y=0
C. x±2y=0
D. 2x±y=0
4.设a=log 0.53,b=0.53
,c=,则a,b,c 的大小关系为 A.a<b<c B. a<c<b
C. b<a<c
D. b<c<a
5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设
“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为 A. 216
B. 480
C. 504
D. 624
6. 函数y=|x|+sinx 的部分图象可能是
7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx 取得最小值，则sin α= A. B.
C.
D.
8.函数,若方程f(x)=-2x+m 有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A. (-∞,4)
B. (-∞,4]
C. (-2,4)
D. (-2,4]
二、多项选择题：本題共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求，
全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了50名男生和50
名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算
K 2的观测值k ≈4.762，则可以推断出
A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B. 调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C. 有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D. 有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
10. 已知函数f(x)=sin(3x+)(-＜＜)的图象关于直线x=对称，则 A. 函数f(x+
)为奇函数
B. 函数f(x)在[，]上单调递増
满意 不满意 男 30 20 女
40
10
P(k 2
≥k) 0.100 0.050 0.010
k
2.706
3.841 6.635
C.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2\的最小值为
D.函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos3x的图象
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则
A.直线BD1丄平面A1C1D
B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值
C.异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°,90°]
D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1,y1),G(x2,y2)，点P
在l上的射影为P1，则
A.若X1+X2=6.则|PQ|=8
B.以PQ为直径的圆与准线l相切
C.设M（O,1）,则|PM|+|PP1|≥
D.过点M（0,1）与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条
三、填空題：本題共4小題，每小题5分，共20分。

13.己知向量a,b满足|a|=l,|b|=,a⊥（a+b）,则a与b夹角为.
14.已知随机变量X N（1,2）,P（-1<X<1）=0.4,则P（X≥3）= .
15.设点P是曲线y=e x+x2上任一点，则点P到直线x-y-1=O的最小距离为.
16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA丄平面ABC，PA=6,AB=2,AC=2,BC=4，则：（1）
球O的表面积为；（2）若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是。

（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟。

17.（10分）
在条件①(a+b)(sinA-sinB）=（c-b）sinC,②asinB=bcos(A+),③bsin=asinB中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, b+c=6,a=, ____________ ,
求ΔABC的面积.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12分）
已知数列{a n}的前n项和S n満足2S n=(n+1)a n（n∈N）且a1=2.
（1）求数列｛a n｝的通项公式;
（2）设b n=（a n-1）2an.求数列{b n}的前n项和T n.
19.(12 分)
20.如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC,BC⊥CD，平面SCD丄平面ABCD.ΔSCD是
以CD为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4,E为BS上一点，且BE=2ES.
(1)证明：直线SD∥平面ACE；
(2)求二面角S-AC-E的余弦值。

21.(12 分)
已知椭圆的的离心率为，F是其右焦点，直线y=kx与椭圆交于A,B两点，|AF|+|BF|=8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设Q(3,0),若∠AQB为锐角,求实数k的取值范围.
22.(12 分)
某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为.
(1) 求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；
(2) 为提高生产效益，该企业决定招聘n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行 修.已知每名维
修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n=1与n=2之中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润一维修工人工资)
23. (12分)
已知函数
,其中O<a<e.
(1) 求函数f(x)的单调区冋； (2) 讨论函数f(x)零点的个数；
(3) 若f(x)存在两个不同的零点x 1,x 2,求证：x 1x 2<e 2
.
参考答案
一、单项选择题
1.C
2.D
3.C
4.A
5.C
6. D
7.B
8.A 二、多项选择题
9.AC 10.AC 11.ABD 12.ABC 三、填空题 13.
34π
14. 0.1
2 16. 52π，4π
四、解答题
17.解：若选①：
由正弦定理得 ()()()a b a b c b c +-=-， ………………………………2分
即2
2
2
b c a bc +-=，
所以2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-=
==， ……………………………………4分 因为(0,)A π∈，所以3
A π
=
. …………………………………………6分
又2
2
2
2
()3a b c bc b c bc =+-=+-，
6a =6b c +=，所以4bc =， …………………………………………8分
所以11sin 4sin 223
ABC S bc A π
∆==⨯⨯= ……………………………10分 若选 ②：
由正弦定理得 sin sin sin cos()6
A B B A π
=+
. …………………………2分
因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6
A A π
=+
，
化简得1
sin sin 22
A A A =
-， ………………………………………4分
即tan 3A =
，因为0A π<<，所以6
A π
=. …………………………6分 又因为2
2
2
2cos
6
a b c bc π
=+-，
所以2222
bc =，即24bc =- ……………8分
所以111
sin (246222
ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- ………………10分 若选 ③：
由正弦定理得 sin sin
sin sin 2
B C
B A B +=， ……………………………2分 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，
所以sin sin 2B C
A +=，又因为
B
C A π+=-，
所以cos 2sin cos 222
A A A
=， ………………………………………………4分
因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02
A
≠，
∴1sin 22A =，26A π=，所以3A π=.
……………………………6分
又2
2
2
2
()3a b c bc b c bc =+-=+-，
a =6
b
c +=，所以4bc =， ………………………………………8分
所以11sin 4sin 223
ABC S bc A π
∆=
=⨯⨯= …………………………10分 18.解：（1）因为2(1)n n S n a =+，*
n ∈N ，
所以112(2)n n S n a ++=+，*
n ∈N .
两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，
整理得 1(1)n n na n a +=+，. ………………………………………………2分
即
11n n a a n n +=+，*n ∈N ，所以{}n a
n 为常数列. 所以121
n a a
n ==， ………………………………………4分
所以 2n a n =. …………………………………………………5分
（2）(1)2=(21)4n a
n
n n b a n =--. ……………………………………………6分
所以 12314+34+54++(21)4n
n T n =⨯⨯⨯-L
231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=
⨯⨯-⋅+-⋅L . ……7分
两式相减得：
23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--⋅L ， …………………9分
2+1
14434+2(21)414n n n T n +--=⨯
--⋅-， …………………11分 化简得 1
20(65)4+99
n n n T +-=. ……………………………………12分 19.解：（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF .
因为//AD BC ，所以AFD ∆与BCF ∆相似.
所以
2BF BC
FD AD ==. ………………………………………………1分 又=2BE BF ES FD
=，所以//EF SD . ……………………………………2分 因为EF ⊂平面ACE ，SD ⊄平面ACE ，所以直线//SD 平面ACE .
……………………………………4分
（2）平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD I 平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，
BC CD ⊥，所以BC ⊥平面SCD . …………………………………5分
以C 为坐标原点，,CD CB u u u r u u u r 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向，与,CD CB u u u r u u u r
均垂直
的方向作为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
C xyz -. ……6分
则(0,0,0)C ，(1,1,0)S ，(0,2,2)A ，224
(,,)333
E ，
(0,2,2)CA =u u u r ，(1,1,0)CS =u u u r ，224
(,,)333
CE =. (7)
分
设平面SAC 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则
00CA CS ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g
u u u
r g
m m ，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩, 不妨令1z =，得1x =，1y =-，于是(1,1,1)=-m . …………………9分 设平面EAC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则
CA CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r
g u u u
r g n n ，即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩, 不妨令1z =，得1x =-，1y =-，于是(1,1,1)=--m . …………………11分
设二面角S AC E --的平面角的大小为θ，则1
cos 3
θ==g m n m n .
所以二面角S AC E --的余弦值为
1
3
. ……………………………………12分 20.解：（1）设1F 为椭圆的左焦点，连接1F B ，由椭圆的对称性可知，1AF F B =，
所以128AF BF BF BF a +=+==，所以4a =， …………………2分
又2c
e a
=
=，222a b c =+，解得2b =
，c =. ………………4分 所以椭圆的标准方程为22
1164
x y +=. ……………………………………5分
（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ，则11(3,)QA x y =-u u u r ，22(3,)QB x y =-u u u r
，……6分 联立22
1164x y k x y =⎧+=⎪⎨⎪⎩
，得22
(41)160k x +-=，
所以120x x += ，12216
41x x k -=
+， ……………………………………8分
因为AQB ∠为锐角，所以0QA QB >u u u r u u u r
g . ……………………………………9分
所以1212(3)(3)QA QB x x y y =--+u u u r u u u r g
12121293()x x x x y y =-+++
2121293()(1)x x k x x =-+++ ……………………………10分
22
16(1)
9041
k k +=->+，
解得 10k >
或10
k <-. ……………………………………12分 21．解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为X ，
则1
(3,)3
X B :. ……………………………………………………2分
因此112
312124(1)()()=33279
P X C ===. ……………………………………4分
（2）①当1n =时，设该企业每月的实际获利为1Y 万元.
若0X =，则1123135Y =⨯-=； 若1X =，则1122+81131Y =⨯⨯-=； 若2X =，则1121+81+01119Y =⨯⨯⨯-=；
若3X =，则1120+81+0217Y =⨯⨯⨯-=； ……………………6分 又0
3
3128(0)()()3
3
27P X C ===
，221
3126(2)()()3327
P X C ===， 330
3121(3)()()3327
P X C ===
， ………………8分 此时，实际获利1Y 的均值
181261773
3531197=
2727272727
EY =⨯+⨯+⨯+⨯ ………………9分 ②当2n =时，设该企业每月的实际获利为2Y 万元. 若0X =，则2123234Y =⨯-=；
若1X =，则2122+81230Y =⨯⨯-=； 若2X =，则2121+82226Y =⨯⨯-=；
若3X =，则2120+82+01214Y =⨯⨯⨯-=； ………………………11分
281261802
34302614=
2727272727
EY =⨯
+⨯+⨯+⨯ 因为12EY EY <. 于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一， 应选用2n =. ………………………………………………12分 22. 解：（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >.
()2113
'()ln ()222
f x x a x x ax a x x =-+-⋅+-， ………………1分
()(ln 1)x a x =--
令()0f x '=，得x a =或e x =. ………………………………………… 2分
因为0e a <<，当0x a <<或e x >时，()'0f x >，()f x 单调递增；当e a x <<时，()'0f x <，
()f x 单调递减.所以()f x 的增区间为()0,a ，()e,+∞，减区间为
()e ,a . …………………………………………………………………4分
（2）取=min{1,2}a δ，则当(0,)x δ∈时，
102x a -<，ln 0x <，3
204
a x ->，
13
()()ln (2)024
f x x x a x x a x =-+->；
又因为0e a <<，由（1）可知()f x 在(0,)a 上单增，因此,当(0,]x a ∈，恒()0f x >，即()f x 在
(0,]a 上无零点. …………………………5分
下面讨论x a >的情况： ①当e 04a <<
时，因为()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，且()0f a >，e
(e)e()04
f a =-<，241
(e )=e 04
f >，
根据零点存在定理，()f x 有两个不同的零点. ……………………6分 ②当e
=
4
a 时，由()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，且(e)0f =， 此时()f x 有唯一零点e . ……………………………………7分 ③若
e e 4a <<，由()
f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，e
()(e)e()04
f x f a ≥=->， 此时()f x 无零点. ……………………………………………8分 综上，若e 04a <<，()f x 有两个不同的零点；若e =4a ，()f x 有唯一零点e ；若e
e 4
a <<，()f x 无零点.
（3）证明：由（2）知，e
04
a <<
，且12e a x x <<<. 构造函数2
e ()()()F x
f x f x
=-，(,e)x a ∈. ………………………………9分
则()F x '=4232e e
()(ln 1)()(ln 1)x a x a x x x
-----
4324
3
e e (ln 1)x ax ax x x
-+-=-. ……………………………………10分 令4
3
2
4
()e e g x x ax ax =-+-，(,e)x a ∈.
因为当(,e)x a ∈时，22
e 0x ax +->,22e 0x -<， 所以4
3
2
4
2
2
2
2
()e e =(e )(e )<0g x x ax ax x ax x =-+-+--
又ln 1lne 10x -<-=，所以()0F x '>恒成立，即()F x 在(,)a e 单增.
于是当e a x <<时，()(e)0F x F <=，即 2e
()()f x f x
<. ………………11分
因为1(,e)x a ∈，所2
11e ()()f x f x <，
又12()()f x f x =，所以2
21
e ()()
f x f x <，
因为2e x >，
22
1e e e e
x >=，且()f x 在(e,)+∞单增， 所以由221e ()()f x f x <，可得221
e x x <，即2
12e x x <. ………………………12分
模拟试卷三
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合(){}(){}
10,ln A x x x B x y x a =-≤==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A.(),0-∞ B (],0-∞ C.()1,+∞ D.[
)1,+∞
2.已知复数(3)13i z i +=-，i 为虚数单位，则下列说法正确的是( ) A.i z =|| B.i z = C.12
=z D.z 的虚部为i - 3.“0x <”是“ln(1)0x +<”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 4.己知()cos 2cos 2παπα⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为
A ．7-
B ．7
C ．1
D ．1-
5.已知定义在[]m m 21,5--上的奇函数)(x f ，满足0>x 时，12)(-=x
x f ，则)(m f 的值为（ ）
A. -15
B. -7
C. 3
D. 15
6.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代入们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代入们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）
A ．59
B ．
49
C ．
716
D ．
916
7.已知2
3.035.02122log 5log ⎪⎭
⎫ ⎝⎛====d c b a 、、、，从这四个数中任取一个数m ，使函数
23
1
)(23+++=x mx x x f 有极值点的概率为 ( )
A.
4
1 B.
2
1 C.
4
3
D.1 8.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ( ) A.
71
2612
+ B. 926+ C. 910+
D.
83
2612
+ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值。

如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合右图，下列说法正确的是（ ） A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
10.已知函数)(cos sin )(x g x x x f ，-=是)(x f 的导函数，则下列结论中正确的是( ) A. 函数)(x f 的值域与)(x g 的值域不相同 B. 把函数)(x f 的图象向右平移
2
π
个单位长度，就可以得到函数)(x g 的图象 C. 函数)(x f 和)(x g 在区间⎪⎭⎫
⎝
⎛-
4,4ππ上都是增函数 D. 若0x 是函数)(x f 的极值点，则0x 是函数)(x g 的零点 11.下列判断正确的是
A.若随机变量ξ服从正态分布(
)()2
1,,40.79N P σ
ξ≤=,则()20.21P ξ≤-=；
B.已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则””是““m l ⊥βα//的充分不必要条件；
C.若随机变量ξ服从二项分布： 414,B ξ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
, 则()1E ξ=； D.22am bm >是a b >的充分不必要条件. 12.关于函数x x
x f ln 2
)(+=
，下列判断正确的是 A.2=x 是)(x f 的极大值点
B.函数x x f y -=)(有且只有1个零点
C.存在正实数k ，使得kx x f >)(成立
D.对任意两个正实数21,x x ，且21x x >，若)()(21x f x f =，则421>+x x . 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若非零向量,a b r r 满足=a b r r ，向量2+a b r r 与b r 垂直，则与a b r r
的夹角为_______. 14.设()()20
1
，，＞⎧-≤⎪=⎨+⎪⎩
x a x f x x x x ． （1）当
1
2a =
时，)(x f 的最小值是_____；
（2）若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围是_____．
15.双曲线()22
22:10,0-=>>x y C a b a b
的左、右焦点分别为()12,0-F 、()22,0F ，M 是C 右支上的一
点，1MF 与y 轴交于点P ，2∆MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2=
PQ 则C 的离心率为____. 16.已知函数x x a x f ln 2)1)(2()(---=．若函数)(x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛
210，上无零点，则a 的最小值为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（满分10分）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+ （1）若4a =, ABC V 15求,b c 的值；
（2）若sin sin (0)B k C k =>，,且C 角为钝角，求实数k 的取值范围.
18.（满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足
()()1
126
n n n S a a =
++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()1
11n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .
19.（满分12分）如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为 AOC ∆的垂心 （1）求证：平面OPG ⊥平面 PAC ；
（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.
20.（满分12分）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实
中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积x （单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间y （单位：月）
8
10
13
25
24
愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民
50
r y x （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.
参考公式：1
1
2
2
11
1
()()
,()
()n
i
i n
n
i i i x x y y r x x y y ===--=
--∑∑∑2
2
(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.
临界值表：
20()P K k ≥
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考数据：63525.2≈
21.（满分12分）如图，已知椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，过点F 1
的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，延长BF 2交椭圆C 于点M ，△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆C 的离心率及方程；
(2)试问：是否存在定点P(x 0,0)，使得PM →·PB →
为定值？若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由． 22.（满分12分）设函数2
)()(,)1ln()(bx x f x g bx ax x f -=++= (1)若1,1-==b a ，求函数)(x f 的单调区间；
(2)若曲线)(x g y =在点)3ln ,1(处的切线与直线0311=-y x 平行. (i)求b a ,的值；
(ii)求实数)3(≤k k 的取值范围，使得)()(2
x x k x g ->对),0(+∞∈x 恒成立. 高三数学参考答案 ABBBABBBABD CDABCD BD
13.120o
14.14 [0，2]
（1）当12a =时，当x ≤0时，f （x ）＝（x 12-）2≥（12
-）21
4=，
当x ＞0时，f （x ）＝x 1x +≥21
x x ⋅=2，当且仅当x ＝1时取等号，
则函数的最小值为1
4
，
（2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，
若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件．
若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2
为减函数，
则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2
，
要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a 2≤2，即0≤a 2≤， 即实数a 的取值范围是[0，2]
15.2如图所示，由题意2c =，12PF PF =，由双曲线定义得122MF MF a -=， 由圆的切线长定理可得22222MP PF MF PQ +-==，
所以，12122222MF MF MP PF MF MP PF MF -=+-=+-=，222a ∴=， 即2a =
，所以，双曲线的离心率2c
e a
=
=，故选：A.
16. 2－4ln 2
因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立．
令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2
x －2
(x －1)2
， 再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－2(1－x )x 2<0， 故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝2－4ln 2， 故要使a >2－2ln x
x －1
恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，
综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2.
17.解4cos cos cos a A c B b C =+Q
∴4sin A cos A =sin C cos B +sin B cos C =sin(C +B )=sin A ， ∴cosA=14， ∴sinA=1−cos2A
18.解.（1）Q 对任意*n ∈N ，有()()126
n n n S a a =++，①
∴当1a =时，有()()11111
126S a a a ==++，解得11a =或2.
当2n ≥时，有()()1111
126
n n n S a a ---=++.②
①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=.
而数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=. 当11a =时，()13132n a n n =+-=-， 此时2
429a a a =成立；
当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2
429a a a =，不成立，舍去.
32n a n ∴=-，*n ∈N .
（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L
()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L
242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L
()246261862
n n n n +-=-⨯=--.
19.解.（1）如图，延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥.
因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面
PAC ，AC ⊂平面,PAC PA AC ⋂=A ，
所以OM ⊥ 平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .
（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r
方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,1,0A ，(
)
3,0,0B
，
31,,022O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,2P ，10,,02M ⎛⎫
⎪⎝⎭，则3,0,02OM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，31,,222OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则30,
2
{3120,
2
n OM x n OP x y z ⋅=-=⋅=-++=u u u u r r u u u r r
令1z =，得
()0,4,1n =-r
.过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A ⋂=，所
以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r
为平面PAO 的一个法向量.
在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，13
22
CH CB ==.
所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=.所以33,,044CH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r . 设二面角A OP G --的大小为θ，则cos CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u u r r 2233041044251
1739
411616
⨯-⨯+⨯=+⨯+. 20．解：依题意：12345810132524
3,1655
x y ++++++++=
=== 故
5
1
()()(2)(8)(1)(6)192847i x x y y =--=-⨯-÷-⨯-+⨯+⨯=∑
5
5
2
21
1
()
411410,()643698164254i i x x y y ==-=+++=-=++++=∑∑
则5
1
55
2
2
11
1
1
()()
0.933102542635
()
()i i i x x y y r x x y
y ===--=
=
=≈⨯--∑∑∑r ，
故管理时间y 与土地使用面积x 线性相关。

（2）依题意，计算得2k 的观测值为
22
300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100
k ⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯
故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性。

（3）依题意，X 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性
村民的概率为16
， 故35125(0)(),6216P X
===
1
235125(1)(),6672
P X C ==⨯⨯=
233
22311(3)62515(2)(),667216
P X C X C P ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭=⨯⨯=
则数学期望为()012321672722162
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= （或由1(3,)6X B ~，得11
()362
E X =⨯=
21解 (1)由题意可知，|F 1F 2|＝2c ＝2，则c ＝1，
又△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8，即a ＝2，
则e ＝c a ＝12，b 2＝a 2－c 2
＝3.
故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)假设存在点P ，使得PM →·PB →
为定值． 若直线BM 的斜率不存在，
则直线BM 的方程为x ＝1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，M ⎝
⎛⎭⎪⎫1，－32， 则PM →·PB →＝(x 0－1)2
－94
.
若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为y ＝k (x －1)，
设点B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3
＝1，
y ＝k (x －1)，
得(4k 2
＋3)x 2
－8k 2
x ＋4k 2
－12＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－12
4k 2＋3
，
由于PM →＝(x 2－x 0，y 2)，PB →
＝(x 1－x 0，y 1)， 则PM →·PB →＝x 1x 2－(x 1＋x 2)x 0＋x 2
0＋y 1y 2
＝(k 2＋1)x 1x 2－(x 0＋k 2)(x 1＋x 2)＋k 2＋x 2
＝(4x 20－8x 0－5)k 2＋3x 2
0－124k 2
＋3
， 因为PM →·PB →
为定值，所以4x 20－8x 0－54＝3x 2
0－123
，
解得x 0＝118，故存在点P ，且x 0＝11
8
22。