高中数学 41.2课后练习同步导学 北师大版选修11

高中数学 41.2课后练习同步导学 北师大版选修11
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列结论中，正确的是( )
A ．导数为零的点一定是极值点
B ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么，f (x 0)是极大值
C ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么，f (x 0)是极小值
D ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么，f (x 0)是极大值
解析： 导数为零的点不一定是极值点，“左正右负”有极大值，“左负右正”有极小值．故A ，C ，D 项错．
答案： B
2．函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π在区间[－π，π]上取极大值时x 的值为( ) A.π2 B ．0
C ．－π
D ．π 解析： y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π＝cos x ＋π，y ′＝－sin x ，令y ′>0， 则－π<x <0，因此在区间[－π，π]上，当x ∈[－π，0]时，函数为增函数，当x ∈[0，π]时，函数为减函数，根据极值定义，当x ＝0时函数在区间[－π，π]取得极大值． 答案： B
3．下面对于函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)的判断正确的是( )
A ．极大值为5，极小值为－27
B ．极大值为5，极小值为－11
C ．极大值为5，无极小值
D ．极小值为－27，无极大值 解析： y ′＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)，令y ′＝0，可得x ＝3或x ＝－1.当－2<x <－
1时，y ′>0；当－1<x <2时，y ′<0，
故当x ＝－1时y 取得极大值．
答案： C
4．若函数f (x )＝x ·2x 在x 0处有极小值，则x 0等于( )
A.1ln2 B ．－1ln2
C ．－ln2
D ．ln2
解析： ∵y ＝x ·2x ，
∴y ′＝2x ＋x ·2x ·ln2＝2x ·(1＋x ·ln2)．
令y ′＝0可得：x ＝－1ln2
. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1ln2时，y ′<0，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1ln2，＋∞时，y ′>0. ∴x ＝－1ln2
为极小值点．故选B. 答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数y ＝2x 3－15x 2＋36x －24的极大值为__________，极小值为________． 解析： y ′＝6x 2－30x ＋36，即y ′＝6(x －2)(x －3)，
令y ′＝0得x ＝2或x ＝3.
经判断有极大值为f (2)＝4，极小值f (3)＝3.
答案： 4 3
6．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．
解析： f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，
由f ′(x )<0，得－a <x <a ，
∴f (x )在(－∞，－a )内递增，在(－a ，a )内递减，在(a ，＋∞)内递增，
极大值为f (－a )＝2a 3＋a ＝a (2a 2＋1)>0，
极小值为f (a )＝a (1－2a 2)<0，由此解得a >
22. 答案： ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，＋∞ 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值．
解析： 函数的定义域为R ，
f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e
x ′ ＝2x e －x －x 2e －x
＝x (2－x )e －x ，
令f ′(x )＝0，
得x ＝0或x ＝2，
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x ) － 0 ＋ 0 －
f (x ) 0 4e －2
由上表可以看出，
当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0.
当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e －2.
8．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时函数有极大值3.
(1)求a ，b 的值；
(2)求函数y 的极小值．
解析： (1)y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，
y ′＝3a ＋2b ＝0，又y ＝a ＋b ＝3，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝9.
(2)y ＝－6x 3＋9x 2，y ′＝－18x 2＋18x ，
令y ′＝0，得x ＝0或x ＝1.
∴当x ＝0时，函数y 取得极小值0.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解析： f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝10，f ′1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2
＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3.
当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－11
3.
当x 变化时，f (x )、f ′(x )的变化情况列表如下：
x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－11
3 －11
3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11
3，1 1 (1，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋
f (x ) 极大值 极小值 当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，
∴f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意．综上可知f (2)＝18.。