2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高一（上）
期末数学试卷
副标题
一、选择题（本大题共22小题，共66.0分）
1.若m，n表示两条不同直线，α表示平面，则下列命题中真命题是（）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
2.对于定义在R上的函数f（x），有关下列命题：
①若f（x）满足f（2018）＞f（2017），则f（x）在R上不是减函数；
②若f（x）满足f（-2）=f（2），则函数f（x）不是奇函数；
③若f（x）满足在区间（-∞，0）上是减函数，在区间[0，+∞）也是减函数，则f
（x）在R上也是减函数；
④若f（x）满足f（-2018）≠f（2018），则函数f（x）不是偶函数．
其中正确的命题序号是（）
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ②④
3.设P（x，y）是曲线C：x2+y2+4x+3=0上任意一点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4.对于任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，那么x的取值
范围是（）
A. B.
C. D.
5.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题
①若a b，aα，则b∥α
②若a∥α，αβ，则aβ
③aβ，αβ，则a∥α
④若a b，aα，bβ，则αβ
其中正确的命题的个数是（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
6.函数y=（）的单调递增区间是（）
A. B. C. D.
7.如果a＞1，b＜-1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、三、四象限
C. 第二、三、四象限
D. 第一、二、四象限
8.为得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=sin x的图象（）
A. 向左平移个长度单位
B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位
D. 向右平移个长度单位
9.点M（0，2）为圆C：（x-4）2+（y+1）2=25上一点，过M的圆的切线为l，且l
与l′：4x-ay+2=0平行，则l与l′之间的距离是（）
A. B. C. D.
10.已知点P（x，y）是直线2x-y+4=0上一动点，直线PA，PB是圆C：x2+y2+2y=0的
两条切线，A，B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积的最小值是（）
A. 2
B.
C.
D. 4
11.已知函数，若函数y=f（x）-m有四个零点a，b，c，d，
则abcd的取值范围是（）
A. B. C. D.
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB，BB1的中点，则直线MN与平面
A1BC1所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
13.形如y=（c＞0，b＞0）的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生
动地称为“囧函数”．若函数（a＞0，a≠1）有最小值，则当c=1，b=1时的“囧函数”与函数y=log a|x|的图象交点个数为（）个．
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
14.设函数f（x）=a|x|，（a＞0且a≠1在（-∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（2）
的大小关系为（）
A. B. C. D. 不能确定
15.已知函数f（x）是定义在，上的单调函数，且，则f（1）
的值为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
16.设函数f（x）=ax2-2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f（x）＞0，则实数a
的取值范围为（）
A. B. C. D.
17.已知函数f（x）=，∈，
，∈，
，若方程f（x）-x2-m=0有且仅有一个实
数根，则实数m的取值范围是（）
A. B. 或C. D. 或
18.已知函数
，＜
，
，若方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，则
实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
19.已知函数f（x）=，若方程f2（x）+bf（x）+2=0有8个相异实
根，则实数b的取值范围（）
A. B. C. D.
20.定义：对于一个定义域为D的函数f（x），若存在两条距离为d的直线y=kx+m1，
y=kx+m2，使得在x∈D时，恒有kx+m1≤f（x）≤kx+m2，则称f（x）在D上有一个宽度为d的通道．下列函数：
①f（x）=x2（x≥0）；②；
③，
，＞
；④，
其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为（）
A. ①②
B. ②③
C. ②④
D. ②③④
21.已知棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为
轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）
A. B. C. D.
22.已知函数f（x）=，则下列说法正确的是（）
A. 函数的最小正周期为
B. 当且仅当∈时，的最大值为1
C. 函数的值域是
D. 当∈时，
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
23.将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，
则该几何体的侧面积为______cm2．
24.点（1，2）和（-1，m）关于kx-y+3=0对称，则m+k=______．
25.已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=2，点D是△ABC
的重心，则以OD为体对角线的正方体体积为______．
26.对于函数f（x）=（a为常数），给出下列命题：
①对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；
②f（x）的图象关于点（1，a）对称；
③当a＜-1时，f（x）无单调递增区间；
④当a=2时，对于满足条件2＜x1＜x2的所有x1，x2总有f（x1）-f（x2＜（x2-x1）
其中正确命题的序号为______．
27.点A，B分别为圆M：x2+（y-3）2=1与圆N：（x-3）2+（y-8）2=4上的动点，点C
在直线x+y=0上运动，则|AC|+|BC|的最小值为______．
28.给出以下四个结论：
①若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则函数f（）的定义域是[4，8]；
②函数f（x）=log a（2x-1）-1（其中a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0）；
③当α=0时，幂函数y=xα的图象是一条直线；
④若log a＞1，则a的取值范围是（，1）；
⑤若函数f（x）=lg（x2-2ax+1+a2）在区间（-∞，1]上单调递减，则a的取值范围是
[1，+∞）．
其中所有正确结论的序号是______．
29.已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），则下列各式恒成立的是
______．
①f（0）=0；
②f（3）=3f（1）；
③f（）=f（1）；
④f（-x）f（x）＜0．
30.若m＞0，且关于x的方程（mx-1）2-m=在区间[0，1]上有且只有一个实数解，
则实数m的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
31.已知函数f（x）=2+，g（x）=2x．
（1）设函数h（x）=g（x）-f（x），求函数h（x）在区间[2，4]上的值域；
（2）定义min（p，q）表示p，q中较小者，设函数H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），
①求函数H（x）的单调区间及最值；
②若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，求实数k的取值范围．
32.函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）成
立，当x∈（0，2）时，f（x）=-x2+1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＞-1的解集．
33.已知函数f（x）=2sin x cosx+2cos2x-．
（1）求函数在[0，]上的值域；
（2）若函数在[m，]上的值域为[-，2]，求m的最小值；
（3）在△ABC中，f（）=2，sin B=cos C，求sin C．
34.已知函数f（x）=e x，g（x）=-x2+2x+b（b∈R），记
（I）判断h（x）的奇偶性，并写出h（x）的单调区间，均不用证明；
（II）对任意x∈[1，2]，都存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x）≤f（x1），g（x）≤g（x2）．若f（x1）=g（x2）．求实数b的值．
35.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）
的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角
顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设
计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线
段BC，AD上．已知AB=20米，米，记
∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的总长度L（即RtFHE的周
长）表示为θ的函数，并求出定义域；
（2）问θ当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度．
（提示：sinθ+cosθ=sin（θ+），sin=．）
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：对于A，若mα，nα，则m∥n，由线面垂直的性质可得A正确；
对于B，若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故B错误；
对于C，若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交或异面，故C错误；
对于D，若m n，n∥α，可得m∥α或mα或m⊂α，故D错误．
故选：A．
由同垂直于一个平面的两直线平行，即可判断A；运用线面的位置关系和线
面平行的性质，可判断B，C，D．
本题考查空间线面平行和垂直的判定和性质，掌握线面、线线的位置关系是
顺利解题的前提，考查空间想象能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】
解：对于①若f（x）满足f（2018）＞f（2017），则f（x）在R上不是减函数；正确；对于②，偶函数的定义可知，f（x）=f（-x）是对定义域内的任何一个x都成立，所以②错误．
对于③设，满足在各自的定义区间上是减函数，但在R 上不是减函数，所以③错误．
对于④函数是偶函数，必须满足f（x）=f（-x）是对定义域内的任何一个x都成立，
f（x）满足f（-2018）≠f（2018），则函数f（x）不是偶函数，所以④正确．
故选：B．
根据函数的单调性的定义判断①的正误；函数的奇偶性的定义是对定义域内的任何一个都成立判断②的正误；根据函数单调性的定义反例判断③的正误；偶函数的定义判断④的正误．
本题主要考查函数奇偶性和单调性性质的应用和判断，命题的真假的判断，
比较综合．
3.【答案】C
【解析】
解：∵曲线C方程是x2+y2+4x+3=0，即（x+2）2+y2=1，
故曲线C是一个圆，圆心坐标是（-2，0），半径是1，关于x轴上下对称，
设圆心为A，坐标原点为O，过O作直线OB与圆相切于B（取切点B在第三象限），
直线OB与x轴的夹角为α，则=tanα=，
∵AO=|-2|=2，AB=1，△AOB是直角三角形
∴BO==，
故=tanα===，
∴α=，
∵曲线C是一个圆，关于X轴对称，
∴α=-时，直线与直线OB关于x轴对称，此时切点在第二象限，
∴=tanα=tan（-）=-．
故的取值范围是[-，]．
故选：C．
由曲线C方程是x2+y2+4x+3=0，知曲线C是一个圆，圆心坐标是（-2，0），半径是1，关于x轴上下对称，设圆心为A，坐标原点为O，过O作直线OB与圆相切于B（取切点B在第三象限），直线OB与x轴的夹角为α，则=tanα=，由此入手能够求出的取值范围．
本题考查直线与圆的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意圆的对称性
的合理运用．
4.【答案】B
【解析】
解：原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x-2）+x2-4x+4＞0在a∈[-1，1]上恒成立，
只需，
∴，
∴x＜1或x＞3．
故选：B．
把二次函数的恒成立问题转化为y=a（x-2）+x2-4x+4＞0在a∈[-1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．
此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于a的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，对此类恒成立题要注意．
5.【答案】B
【解析】
解：①可能b∈α，命题错误
②若αβ，只有a与α，β的交线垂直，才能够推出aβ，命题错误
③a可能在平面α内，命题错误
④命题正确．
故选：B．
根据题意，结合线面垂直、面面垂直的有关性质、判定定理可得①可能
b∈α②只有a与α，β的交线垂直，才能够推出aβ．③a可能在平面α内
④命题正确．
本题考查空间的线线、线面、面面的关系，注意解题与常见的空间几何体相
联系，尽可能的举出反例．
6.【答案】C
【解析】
解：y=（），
令t=-x2+x+2=-（x-）2+，则y=（）t，本题即求函数t的减区间．
再利用二次函数的性质可得t的减区间为[，+∞），
故选：C．
令t=-x2+x+2，则y=（）t，本题即求函数t的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】
解：∵a＞1，
∴y=a x的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过（0，1），
f（x）=a x+b 的图象可看成把y=a x的图象向下平移-b（-b＞1）个单位得到的，故函数f（x）=a x+b的图象
经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，
故选：B．
先考查y=a x的图象特征，f（x）=a x+b 的图象可看成把y=a x的图象向下平移-b （-b＞1）个单位得到的，即可得到f（x）=a x+b 的图象特征．
本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．
8.【答案】C
【解析】
解：∵y=cos（x+）
=cos（-x-）
=sin[-（-x-）]
=sin（x+），
∴要得到y=sin（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位，
故选C．
利用诱导公式将y=cos（x+）转化为y=sin（x+），利用平移知识解决即可．
本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，将y=cos（x+）转化为y=sin（x+
）是关键，考查理解与转化的能力，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】
解：由题意，k CM==-，
∴k l=，∴直线l的方程为4x-3y+6=0
∵l与l′：4x-ay+2=0平行，∴a=3，
∴l与l′之间的距离是=，
故选：B．
求出直线l与l′的方程，即可求出l与l′之间的距离．
本题考查直线与圆的位置关系，考查l与l′之间的距离，求出直线的方程是关键．
10.【答案】A
【解析】
解：由x2+y2+2y=0，得x2+（y+1）2=1，
则圆C的半径为r=1，圆心为C（0，-1），
∴PA=，
又P在直线2x-y+4=0上，
∴PC的最小值为C到直线2x-y+4=0的距离d=，
∴PA的最小值为=2，
∴四边形PACB的面积的最小值为2××1×2=2．
故选：A．
当PC与直线2x-y+4=0垂直时，PA最小，故而四边形PACB的面积最小．
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
11.【答案】B
【解析】
解：作出函数的图象如图，
函数y=f（x）-m有四个零点，即y=f（x）与y=m的图象有4个不同交点，
不妨设四个交点横坐标a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，
则-4≤a＜-3，-1＜b≤0，＜c＜1，1＜d≤2，
由f（c）=f（d），得|log2c|=|log2d|，则-log2c=log2d，可得log2cd=0，即cd=1．
∴abcd=ab．
∵a，b关于直线x=-2对称，则a=-4-b，-1＜b≤0，
得ab=-（4+b）b=-（b+2）2+4∈[0，3）．
∴abcd的取值范围是[0，3）．
故选：B．
由题意画出图形，结合函数y=f（x）-m有四个零点可得a，b，c，d（a＜b＜c＜d）的取值范围，进一步求得cd=1，利用对称性得到a，b的关系，把ab转化为含有b的二次函数，利用配方法得答案．
本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．
12.【答案】C
【解析】
解：
连接AB1交A1B于O，
∵M，N为中点，
∴AB1∥MN，
∴直线OB1与平面A1BC1所成的角θ即为所求．
在棱长1的正方体中，利用等体积法，
可求得点B1到面A1BC1的距离h=，
又OB1=，
∴sinθ==，
∴cosθ=，
故选：C．
利用中位线平移MN到OB1，结合正方体的特殊性，很容易求出线面所成角的正弦值，再转化为余弦即可．
此题考查了线面所成角的求法，难度不大．
13.【答案】C
【解析】
解：由题意y=（c
＞0，b＞0）的函数，此
函数是偶函数，
当c=b=1时，则y=
，画出这个函数
的图象，如图绿色的
曲线，
∵（a＞0，
a≠1）有最小值，
又∵x2+x+1＞0
∴a＞1，
再画出函数y=log a|x|的图象（黑色的曲线），
当c=1，b=1时的“囧函数”与函数y=log a|x|的图象交点个数为4个．
故选：C．
求出当a=1，b=1时的囧函数的表达式，画出囧函数的图象，再在同一个坐标系中画出函数y=log a|x|的图象，利用图象的交点个数，推出n即可．
本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象的应用，函数的基本性质的应用，考查数形结合思想．
14.【答案】B
【解析】
解：根据题意，f（x）=a|x|=，
当x＜0时，f（x）=（）x，且在（-∞，0）上单调递增，则0＜a＜1，
则当x＞0时，f（x）=a x，在（0，+∞）上单调递减，
又由0＜a＜1，则a+1＜2，
则有f（a+1）＞f（2），
故选：B．
根据题意，将函数f（x）的解析式写成分段函数的形式，结合f（x）在（-∞，0）上单调递增，分析可得a的取值范围，进而可得f（x）在（0，+∞）上单调递减，结合a的取值范围，分析可得答案．
本题考查分段函数的性质，涉及函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析a的取值范围，属于基础题．
15.【答案】A
【解析】
解：根据题意，设f（1）=a≠0，
∵f（x）f（f（x）+）=，
令x=1，则f（1）f[（f（1）+1]=，即af（a+1）=，
再令x=a+1，则f（a+1）f[f（a+1）+）=，
即f（+）=a=f（1），
∵f（x）是定义在（，+∞）上的单调函数
∴+=1，
解得a=1或a=-（舍去）
∴f（1）=1，
故选：A．
根据题意，设f（1）=a≠0，对x进行赋值，建立等量关系，根据函数的单调性建立关于a的方程，从而求出a的值．
本题考查了根据函数的解析式与单调性求函数值的应用问题，是基础题目．
16.【答案】D
【解析】
解：∵满足1＜x＜4的一切x值，都有f（x）=ax2-2x+2＞0恒成立，可知a≠0
∴a＞=2[-（-）2]，满足1＜x＜4的一切x值恒成立，
∵＜＜1，
∴2[-（-）2]∈（0，]，
实数a的取值范围为：（，+∞）．
故选：D．
分离参数法表达出a的表达式，对函数配方，根据x的范围，从而确定a的范围．
本题考查了函数恒成立，二次函数的性质，函数的单调性，是一道中档题．
17.【答案】D
【解析】
解：作出函数f（x）=的图象，
由题意可得f（x）=x2+m有且仅有一个实数根，
即y=f（x）的图象和y=x2+m有一个交点，
显然m=1成立；由y=x2+m过（1，）可得m=-1=-；
由y=x2+m经过点（-1，0），可得m=-1，
则-1＜m＜-时，它们有一个交点．
综上可得m的范围是-1＜m＜-或m=1．
故选：D．
作出y=f（x）的图象，由题意可得f（x）=x2+m有且仅有一个实数根，即y=f（x）的图象和y=x2+m有一个交点，由图象观察即可得到所求范围．
本题考查分段函数的图象和应用，考查函数方程的转化思想和数形结合思想方法，考查运算能力，属于中档题．
18.【答案】A
【解析】
解：∵函数
，
∴作出函数f（x）的图象如右图
所示，x→+∞时，f（x）=1-
→1，x≥1时，f（x）∈[0，1）；
∵方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，
则函数y=f（x）的图象与y=a的图象有三个不同的交点，
根据图象可知，a的取值范围为0＜a＜1．
故选：A．
根据分段函数f（x）的解析式，作出分段函数的图象，方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，即为函数y=f（x）的图象与y=a的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数a的取值范围．
本题考查了分段函数的应用，考查了分段函数图象的作法．解题的关键在于正确作出函数图象，能将方程f（x）-a=0有三个不同的实数根的问题转化为函数图象有三个不同的交点的问题．解题中综合运用了数形结合和转化化归的数学思想方法．属于中档题．
19.【答案】D
【解析】
解：令f（x）=t，则方程f2（x）+bf（x）
+2=0⇔方程t2+bt+2=0．
如图是函数f（x）=
，的图象，根据
图象可得：
方程f2（x）+bf（x）+2=0有8个相异实
根⇔方程t2+bt+2=0．有两个不等实数解t1，t2
且t1，t2∈（1，2）．可得
⇒-3＜b＜-2．
故选：D．
作出函数f（x）的图象，利用换元法转化为一元二次方程根的分布情况，利用
数形结合是解决本题的关键．
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次方程根的情况，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难
度．
20.【答案】D
【解析】
解：①当x≥0时，f（x）=x2≥0且函数单调递增，故①不存在宽度为2的通道；
②∈[0，2]，故存在y=0和y=2，满足有一个宽度为2的通道；
③∈（-1，1），故存在y=-1和y=1，满足有一个宽度为2的通道；
④∈[-，0）（0，]，故存在y=-1和y=1，满足有一个宽度为2的通道；
故有一个宽度为2的通道的函数的序号为②③④，
故选：D．
分析函数的值域及导数的取值范围，结合f（x）在D上有一个宽度为d的通道的定义，逐一分析可得答案．
本题主要考查了对新定义性质的理解和运用，熟知已知四个函数的图象和性质，是解决本题的关键．考查学生的推理和判断能力．
21.【答案】A
【解析】
解：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面
相切的情况，
由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的
三个面相切，
且切点分别在线段AB1，AC，AD1上，设线段AB1
上的切点为E，AC1∩面A1BD=O2，圆柱上底面的圆心为O1，
半径即为O1E记为r，则，，
由O1E∥O2F知，则圆柱的高为，
．
故选：A．
由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，即可得出结论．
本题考查圆柱侧面积的最大值，考查旋转体，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22.【答案】A
【解析】
解：函数f（x）=
表示在sinx 和cosx中取较大的一
个，
f（x）在一个周期上的图象如图所
示，
由图象可得，它的值域为[-，1]，
它的最小正周期为2π，故A正确，C错误；
当x=2kπ，或x=2kπ+（k∈Z）时，
函数f（x）取得最大值，故B不正确；
当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，
cosx 和sinx都小于零，故函数f（x）＜0，故D错误．
故选：A．
根据题意，画出函数f（x）在一个周期上的图象，由周期性可判断A；由函数的最值可判断B，C；由x为第三象限角，可判断D．
本题主要考查新定义，正弦函数、余弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
23.【答案】18π
【解析】
解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为
V=πa2•a=27π，
解得a=3cm；
∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．
故答案为：18π．
设正方形的边长为acm，根据圆柱体的体积求出a的值，再求该圆柱体的侧面积．
本题考查了圆柱体的体积与侧面积的求法问题，是基础题．
24.【答案】5
【解析】
解：由题意，点（1，2）和（-1，m）关于kx-y+3=0对称，
则点（，）在直线kx-y+3=0上，
可得：，解得m=4．
那么：点（1，2）和（-1，4）确定的直线的斜率为-1与kx-y+3=0垂直，
故得：k=1
则m+k=4+1=5，
故答案为：5．
根据中点坐标公式和点（1，2）和（-1，m）确定的直线与kx-y+3=0垂直，即斜率乘积为-1，可得m，k得答案．
本题考查了点关于直线对称的求法，考查了斜率公式的运用和中点坐标的运用，属于基础题．
25.【答案】
【解析】
解：如图，
将三棱锥O-ABC补形为正方体OM，过D分别作正方体前侧面、上底面、作侧面的平行面，
交正方体可得以OD为对角线的正方体，设其棱长为a，
则OD2=3a2，
又由等体积法可得：×OD，
则OD=，
∴，a=．
则以OD为体对角线的正方体体积为．
故答案为：．
由题意画出图形，利用等积法求出OD，进一步求出以OD为对角线的正方体的棱长，则答案可求．
本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
26.【答案】①②④
【解析】
解：∵f（x）==a+，其图象关于（1，a）对称，
对任意a∈R，f（x）都不是奇函数，故①②正确；
当a＜-1时，1+a＜0，函数f（x）的增区间为（-∞，1），（1，+∞），无减区间，故③错误；
当a=2时，f（x）=，在（1，+∞）上是减函数，则在（2，+∞）上也
是减函数，
∴对于满足条件2＜x1＜x2的所有x1，x2总有f（x1）-f（x2）＜（x2-x1），故④正确．∴正确命题的序号为①②④．
故答案为：①②④．
把已知函数解析式变形，求出对称中心判断①②；求出a＜-1时函数的单调
区间判断③；把a=2代入函数解析式，变形后可得f（x）在（2，+∞）上也是减函数判断④．
本题考查命题的真假判断与应用，主要考查形如：y=的函数的图象和
性质，研究的方法是用分离常数，转化的为反比例型函数解决，是中档题．
27.【答案】7
【解析】
解：设圆M'是圆M：x2+（y-3）2=1关于直
线x+y=0对称的圆
可得M'（-3，0），圆M'方程为（x+3）
2+y2=1，
可得当点P位于线段NM'上时，线段AB
长是圆N与圆M'上两个动点之间的距离最小值，
此时|AC|+|BC|的最小值为AB，
N（3，8），圆的半径R=2，
∵|NM'|==10，
可得|AB|=|NM'|-R-r=10-2-1=7
因此|AC|+|BC|的最小值为7，
故答案为7．
根据题意，算出圆M关于直线l对称的圆M'方程为（x+3）2+y2=1．当点P位于线段NM'上时，线段AB的长就是|AC|+|BC|的最小值，由此结合对称的知识与两点间的距离公式加以计算，即可得出|AC|+|BC|的最小值．
本题给出直线l与两个定圆，求圆上两个点A、B与直线l上动点P的距离之和的最小值，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
28.【答案】①④⑤
【解析】
解：对于①，函数f（2x）的定义域为[1，2]，
则x∈[1，2]时，2≤2x≤4，
∴f（x）的定义域为[2，4]；
令2≤≤4，解得4≤x≤8，
∴函数f（）的定义域是[4，8]，①正确；
对于②，令2x-1=1，得x=1，
∴f（1）=log a1-1=-1，
∴函数f（x）的图象过定点（1，-1），②错误；
对于③，当α=0时，函数y=xα=1（x≠0），
其图象是一条直线，去掉（0，0）点，③错误；
对于④，log a＞1=log a a，
若a＞1，则＞a，不满足题意；
若0＜a＜1，则＜a，应满足＜a＜1，
∴a的取值范围是（，1），④正确；
对于⑤，函数f（x）=lg（x2-2ax+1+a2）在区间（-∞，1]上单调递减，
则，解得a≥1，
∴a的取值范围是[1，+∞），⑤正确．
综上，其中正确结论的序号是①④⑤．
故答案为：①④⑤．
①先求出函数f（x）的定义域，再求函数f（）的定义域；
②根据对数函数恒过定点（1，0），求得f（x）的图象所过的定点；
③α=0时，函数y=xα的图象是一条直线，去掉（0，0）点；
④求出log a＞1时a的取值范围；
⑤根据复合函数的图象与性质，判断即可．
本题考查了函数的图象与性质的应用问题，是综合题．
29.【答案】①②③
【解析】
解：令x=y=0得f（0）=2f（0），所以f（0）=0，所以①恒成立；
令x=2，y=1得f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1），所以②恒成立；
令x=y=得f（1）=2f（），所以f（）=f（1），所以③恒成立；
令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），所以f（-x）f（x）=-[f（x）]2≤0，所以④不恒成立．
故答案为：①②③
①，令x=y=0可判断f（0）=0的正误；
②令x=2，y=1，可判断f（3）=3f（1）的正误；
③令x=y=可判断f（）=f（1）的正误；
④令y=-x可求得f（-x）=-f（x），从而可判断f（-x）f（x）＜0的正误．
本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与方程思想的综合应用，属于
中档题．
30.【答案】（0，1][3，+∞）
【解析】
解：根据题意，令f（x）=m2x2-2mx-+1-m，
有f（0）=1-m，f（1）=m2-3m，
若方程（mx-1）2-m=在x∈[0，1]上有且只有一个实根，
即函数f（x）在区间[0，1]上有且只有一个零点，
有f（0）f（1）=（1-m）（m2-3m）≤0，
又由m为正实数，
则（1-m）（m2-3m）≤0⇒（1-m）（m-3）≤0，
解可得0＜m≤1或m≥3，
即m的取值范围是（0，1][3，+∞），
故答案为：（0，1][3，+∞）．
根据题意，令f（x）=m2x2-2mx-+1-m，由函数的解析式求出f（0）、f（1）的值，由函数零点判定定理可得f（0）f（1）=（1-m）（m2-3m）≤0，解可得m的取值范围，即可得答案．
本题考查函数方程的转化思想，注意运用函数的零点判定定理，考查运算能力，属于基础题．
31.【答案】解：（1）∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单
调递减，
函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
∴函数h（x）在区间[2，4]上单调递增，
故h（2）≤h（x）≤h（4），即0≤h（x）≤13，
所以函数在区间[2，4]上的值域为[0，13]．…（4分）
（2）①在同一坐标系中，作出f（x），g（x）的图象如图
所示，
根据题意得，H（x）=，＜
，＞
，
由（1）知，y=2x在区间（0，2]上单调递增，
在区间上单调递减，
故H（x）max=H（2）=4．
∴函数H（x）的单调递增区间为（0，2]，单调递减区间为（2，+∞），
H（x）有最大值4，无最小值．…••（8分）
②∵在[2，+∞）上单调递减，∴＜，
又g（x）=2x在（0，2]上单调递增，∴1＜2x≤4，
∴要使方程H（x）=k有两个不同的实根，
则需满足2＜k＜4，
即实数k的取值范围是（2，4）．…（12分）
【解析】
（1）根据函数f（x），g（x）的单调性，求出h（x）的单调性，求出函数h（x）的值域即可；
（2）①根据函数f（x），g（x）的图象求出H（x）的最大值，②根据H（x）的范围，求出k的范围即可．
本题考查了函数的单调性、值域问题，考查导数的应用以及数形结合思想，
是一道中档题．
32.【答案】解：（1）根据题意，函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）=0，当x∈[-2，0）时，-x∈（0，2），f（x）=-f（-x）=x2-1；
对于f（x+4）=f（x），当x=-2时，有f（2）=f（-2），
又由函数为奇函数，则f（-2）=-f（2），
则f（2）=f（-2）=0，
又由f（x+4）=f（x），则函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，
所以当x∈[4k-2，4k]时，x-4k∈[-2，0），f（x）=f（x-4k）=（x-4k）2-1，
当x∈（4k，4k+2]时x-4k∈（0，2]，∴f（x）=f（x-4k）=-（x-4k）2+1，
故f（x）=
，∈，
，
，∈，
；
（2）根据题意，当x∈[-2，2]时，若f（x）＞-1，
则有或或x=0、±2，
解可得：-2≤x＜，
则不等式f（x）＞-1的解集为[4k-2，4k+）．
【解析】
（1）由奇函数的性质可得f（0）=0，由x∈（0，2]时，f（x）=-x2+1可求当x∈[-2，0）时f（x）=-f（-x）=x2-1，然后再由由f（x+4）=f（x），即y=f（x）是周期为4的函数，
可求当x∈[4k-2，4k]时的函数f（x）=f（x-4k）及x∈（4k，4k+2]时f（x）=f（x-4k），综合可得答案；
（2）根据题意，由（1）的结论，分析先求出x∈（-2，2]时，不等式f（x）＞-1的解集，结合函数的周期性分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、周期性的综合应用，关键是分析求出函数的解析
式．
33.【答案】解：（1）f（x）=2sin x cosx+2cos2x-=sin2x+=．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[，]，
∴∈[，]，即函数的值域为[，]；
（2）∵x∈[m，]，∴2x+∈[2m+，]，
当x=时，，
可得，
∴，故m的最小值为-；
（3）由f（）==2，得，k∈Z，
又A是△ABC的内角，∴A=，
sin B=sin（）=，化简整理得，
则tan C=＞0，∴sin C=．
【解析】
（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，然后由x得范围求得函数在[0，
]上的值域；
（2）由x∈[m，]，可得2x+∈[2m+，]，则当x=时，，可得
，由此求得m的最小值；
（3）由f（）=2求得角A，再由sinB=sin（）=，化简整理得
，可得tanC=＞0，进一步求得sinC．
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．
34.【答案】解：（Ⅰ）函数，x∈（-∞，+∞）
函数为奇函数，
函数单调递增为（-∞，+∞）．
（Ⅱ）据题意知，当x∈[1，2]时，f（x）max=f（x1），g（x）max=g（x2）
∵f（x）=e x在区间[1，2]上单调递增，
∴，即，
又∵g（x）=-x2+2x+b=-（x-1）2+b+1
∴函数y=g（x）的对称轴为x=1
∴函数y=g（x）在区间[1，2]上单调递减
∴g（x）max=g（1）=1+b，即g（x2）=1+b
由f（x1）=g（x2），得1+b=e2，
∴b=e2-1．
【解析】
（Ⅰ）利用函数的奇偶性的定义判断函数为奇函数，写出单调区间．
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）max=f（x1），g（x）max=g（x2）利用函数的单调性通过最值列出方程求解即可．
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
35.【答案】（本小题满分12分）
解：（1）EH=，FH=，
EF==（0＜θ＜）．…（3分）
由于BE=10tanθ≤10，AF=≤10，
所以≤tanθ≤，
所以θ∈[，]．
所以L=++，θ∈[，]．…（6分）
（2）L=．…（8分）
设sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ=，
∵θ∈[，]，
∴sinθ+cosθ=t=∈[，]．…（10分）
所以L=．
由于L=在[，]上单调递减，
所以当t=即θ=或θ=时，
L取得最大值20（+1）米．
答：当θ=或θ=时，污水净化效果最好，此时管道的长度为20（+1）米…（12分）【解析】
（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得EH，FH，EF，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．
（2）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论
本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键。