高考考试大纲研讨会(山西省)分会讲稿数学

2008年高考春季科学备考研讨会
（山西分会）
数学
主办单位：北京领航教育研究中心
郑州领航教育研究中心
承办单位：山西省泽州第一中学
二零零八年二月 山西·晋城
2008年高考春季科学考备专题报告
单位：北京宏志中学 王芝平
一、平而不俗淡中见奇
试题内容既照顾面，又突出点； 起点底，坡度缓，逐次渐进，难度适中； 多题把关，难点分散，区分度高； 试题平和清新，淡中见奇，拙中有巧；
贴近教学实际，不同的考生都能发挥出最佳水平，支持课程改革； “平而不俗，淡中见奇”：“平和”、“平均”、“平稳”． 二、试卷设计特点
数学特点：
（1）概念性强；（2）充满思辨性；（3）量化突出；（4）解法多样；（5）变化中的不变性 全国1卷特点：
1．返璞归真，强调概念性；2．以能力立意，思辩性强；3．突出主干，考查最具本质性的内容和方法；4．解法多样，灵活性强；5．填空题分值加大，解答题分数略减 三、试题分析
（一）小题中的三个层次
【例1】（试卷1题）α是第四象限角，5
tan 12
α=-
，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513
-
【例2】（试卷3题）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ）
A ．垂直
B ．不垂直也不平行
C ．平行且同向
D ．平行且反向
【例3】（试卷14题）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则
()f x = ．
【例4】如图，正四棱柱1111ABCD ABC D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
15
B ．
25 C ．35 D ．45
试卷中这样的基础题还有一些，难度都在0.7以上，它们只要求有起码的数学知识即能作答，甚至一步完成，“一望而答”这是第1层次
例5（试卷6题）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=
1010
x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）
A ．(11)，
B ．(11)-，
C ．(11)--，
D ．(11)-，
例6（试卷5题）设a b ∈R ，，集合{}10b
a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭
，，，，，则b a -=（ ）
以上这些题，除要求考生有必要的数学知识外，还要求考生有较强的分析思维能力和空间想象力．这是第2层次
例7（试卷11题）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为
x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ）
A ．4．
B ．
C ．
D ．8
例8（试卷16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．
以上两题是小题中的大题，属于第3层次 （二）“平中见奇”的试题赏析
例9（试卷10题）21n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）
A ．3
B ． 4
C ．5
D ．6
例10（试卷12）函数22
()cos 2cos
2
x
f x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 试题链接：
（06年，全国Ⅰ，理17）三角形ABC 的三个内角A 、B 、C ，求当A 满足何值时cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值，并求出这个最大值．
例11（理13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二
人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
例12．（试卷17）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．
（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 【例13】（试卷19题）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD
为平行四边形，
BC =，
侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =
，
SA SB ==
（Ⅰ）证明SA BC ⊥；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的小．
例14 （2007，全国，理20）设函数()x x f x e e -=-． （Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；
（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．
试题链接（06，重庆，理20）已知函数2()()x f x x bx c e =++，其中,b c R ∈为常数． （I ）若24(1)b c >-，讨论函数()f x 的单调性； （II ）若24(1)b c ≤-，且0
()lim
4x f x c
x
→-=，试证：62b -≤≤． 【例15】（试卷21题）已知椭圆22
132
x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．
（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：22
00
132
x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 类题链接：
（2006年全国Ⅰ，理20）．在平面直角坐标系x o y 中，
有一个点1(0,F
和2F 为焦点，
离心率为2
的椭圆，设椭圆在第一象限的部分曲线为C ，动点P 在C 上，C 在P 点处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+，
求：（Ⅰ）点M 的轨迹方程；（Ⅱ）OM 的最小值． （三）意见和建议
（22）已知数列{}n a 中12a =
，11)(2)n n a a +=+，1
23n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，134
23
n n n b b b ++=
+，1
23n =，，，…，
43n n b a -<≤，1
23n =，，，…． 四、整体把握，稳中取胜——复习建议 1．从试题、试卷中看中学数学教学存在的问题 1.1 概念教学重视不够
1.2 对中学数学重点知识、方法认识不清 1.3 教学方法不当，学生的主体性难以发挥 1.4 平时教学的难度太大 2．对今后高中数学教学的建议
2.1 改进教学方法，以学生为主体
2.2 注重基础知识、重点知识，以及基本方法的教学 2.3 培养学生的良好数学素质 3．2008年高考复习建议
3.1 基本理念：强己方能育人；远离浮躁，稳中取胜；加强合作，借他人智慧跃上新的台阶 3.2 复习建议
6条理念贯始终
1．占领根据地，扩大游击区； 2．回归课本夯基础； 3．抓住小题作文章； 4．选题要精，精题精用； 5．一题多解，多解选优； 6．解后反思，反思升华。

八条建议记心中：
1．回归课本，夯实基础（重视课本，夯实基础，完善知识结构） 2．适度交汇，提高能力关注在知识网络处设计的试题）
3．突出主干知识，加强薄弱环节（既抓全面，又突出重点） 4．讲究方法，融会贯通（领略方法论的魅力！）
5．重视思想，居高临下（以思想方法统摄全局，“会当凌绝顶，一览众山小”） 6．抓住细节，确保成功（细节决定成败！克服“会而不对，对而不全”的现象） 7．保持平和心态，体会数学美的意义 8．充满信心，高考必胜！
高考复习解题教学的几点建议
北京 王芝平
1．小亮的妈妈给小亮4只糖果，规定他每天至少吃一只，问他有多少种吃法？
2．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）． 3．在直角坐标系x O y 中,已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且||2OC =，则
OC = ．
4．A ，B ，C ，D ，E 五个人站一排照像，其中A 在B 的左边的不同站法有多少种？
5．已知平面上三点A 、B 、C 满足||3,4,5,AB BC CA === 则AB BC+BC CA+CA AB ⋅⋅⋅的值等于 ． 6．（06，全国2，理21）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M. （I ）证明FM AB ⋅为定值；
（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值.
7．（07，福建，理20）如图，已知点(1
0)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点， 过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值。

（（Ⅰ）2
:4C y x =；（Ⅱ）120λλ+=。

）
例．直线l 经过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点F(,0)c ，
于A ，B 两点，设12,HA AF HB BF λλ==，试问12λλ+是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．
命题 3 如图，过定点(,0)E m 的直线l 与抛物线22y px =交于,A B 两点，与直线x n =交于H 点，若
1HA AE λ=，2HB BE λ=，则12λλ+的值恒等于m n
m +-
． 推论 3.1直线l 过抛物线的22y px =焦点(,0)2
p
F ，与抛物线交于,A B 两点，与y 交于H 点，若
1HA AF λ=，2HB BF λ=，则12λλ+的值恒等于1-．
推论3.2直线l 过抛物线的22y px =焦点(
,0)2
p
F ，与抛物线交于,A B 两点，与该抛物线的准线交于H 点，若1HA AF λ=，2HB BF λ=，则12λλ+的值恒等于0．
8．（07，全国Ⅱ，理20，文21）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；
（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB ⋅的取值范围． 案例：数学教材第一册（上）110页，或人教社新课标数学5（A 版）38页都有：已知数列{}n a ，11
2
a =
，141(2)n n a a n -=+≥，写出数列的前5项．
变式2：变易系数再求通项n a
(1) (06，重庆，14)在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_____. （1
23n +-）
(2)（03，全国高考题）已知数列{}n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥，
①求23,a a ； ②证明31
2
n n a -=．（累差法，转化为等比数列求和）
(3)（03，天津，理22）设0a 是常数，且1
123()n n n a a n N -*-=-+∈，证明，对任意1n ≥，
101
[3(1)2](1)25
n n n n n n a a -=+-⋅+-．
方法1：1
1
111133
2()(2)(2)22
n n n n n n n n a a a a -----=-⇔
=+⋅---； 方法2：1
132(3)n
n n n a a λλ--+⋅=-+⋅，则1
5
λ=-，
所以0011113(2)()3(2)()5555
n n n n
n n a a a a -⋅=-⋅-⇔=⋅+-⋅-
(4)（03，江苏22（1））
已知2
1110,(n n a a a a a
+>=
为正常数），用1,a a 表示n a ． (5)（06，福建，理22）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（*21().n n a n N =-∈） （II ）证明：
*122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +-<+++<∈ （2007，天津文20）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*
N ． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*
N 皆成立．
（2007，天津，理21）在数列{}n a 中，12a =，11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，其中0λ>． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *
∈N ，使得
11n k n k
a a
a a ++≤对任意n *∈N 均成立． 9．（07，海淀区高三年级第一学期期末练习14：）
已知每条棱长都为3的直平行六面体1111ABCD A BC D -中，
60BAD ∠=，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，
另一个
端点在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与该直平行六面体所
围成的几何体中较小体积值为 ．
10．（06，安徽，理16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面
α内，
其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为________．（写出所有正确结论的编号．．） 11．（05，广东，10）已知数列{}n x 满足1
22
x x =
， ()121
2
n n n x x x --=
+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=， 则1x = （ B ） A ．3
2
B ．3
C ．4
D ．5
1
A A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
第10题图
α
12．（06，天津，理18）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0．6，且各次射击的结果互不影响．
（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；
（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；
（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．（P9，9）
13．(2007，重庆，理) 某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在
一年内发生此种事故的概率分别为1
9，1
10
，1
11
，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
（Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额ξ的分布列与期望．
14．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成。

编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组。

设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数
（1）求(2)
Pξ=；
（2）求随机变量ξ的分布和它的数学期望。

15．甲、乙两人采用“七局四胜”制进行比赛，若有一人胜4场则比赛结束（没有平局）．通常，若两人技术水平相差悬殊，则比赛需要的场数较少；若两人技术水平相当，则比赛需要的场数较多．请用你学过的数学知识解释这一事实．。