A4纸 高数上册作业pdf版

（5） lim sin x ; xπ x
2
5. 证明方程 x5 3x 1 至少有一个实根介于1 和 2 之间.
10
班
姓名
学号
成绩
第二章 导数与微分
习 题 2-1 1. 判断题,并说明理由:
(1) f x0 f x0 ；
理由是:
()
(2) 若曲线 y f (x) 在点 x0, f x0 处有切线，
x0 处( ).
(A) 可导 (B) 不可导 (C) 连续但未必可导 (D) 不连续 理由是:
学号
成绩
5.
已知
f
x
e x ,
x 0, 求 f x .
x, x 0,
6.
求曲线
y
cos x
上点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π 3
,
1 2
处的切线方程和
法线方程．
4．求下列各函数的导数：
（1）
y
x2
3 x2
5
x2
（2） y 3x
（6）设
f
x
(n 1)x
lim
n
nx2
1
，则
f
x 的间断点
为x
，属于第
类，并说明理由.
2. 研究下列各函数的连续性.
（1）
f
x
x2,
0 x 1,
2 x, 1 x 2;
3. 求下列各函数的间断点，并指出其类型，如果 是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连 续.
（1） f (x) x2 1 ； x2 3x 2
(3) y xex2 ；
(2) y ln f x .
16
班
姓名
4. 求下列各函数 y 的 n 阶导数：
（1） y xn a1xn1 a2 xn2 an1x an ；
学号
成绩
(3) y arcsin 1 x2 ；
(2) y x ln x .
2. 设函数 y y x 由方程 2y x sin y 所确定，
)；
(5) d(arctan e2x ) (
)d e2x
(
)d x ；
(6) dsin(cos x) (
)d cos x
(
)d x
(7) x2 cos(1 x3) d x (
) d(1 x3) .
(3) y lg(5 x) arcsin x 1 ； 6
(2) y ln x3 与 y 3ln x ；
2.设
f
(x
1) x
x2
1 x2
，求
f
(x 1) 的表达式．
(3)
y
1 x 1
与
y
x 1 ； x2 1
1
班
姓名
5.指出下列各函数的奇偶性，并说明理由.
（1） f (x) x2 cos x ；
(1) y sin 1 x2 ；
2
班 1.填空题：
姓名 习 题 1-2
（1）数列xn 有界是它收敛的
（2）
lim
n
1
1 n2
；
学号
成绩
条件；
习 题 1-3
1.填空题,并说明理由：
（1）对于
y
x x2 2
，当
x
时， y 是无
穷小；当 x
时， y 是无穷大；
理由是：
（3） lim 3n
；
4 n n
则 f x0 一定存在；
理由是:
()
f x
lim
；
x0 x
理由是:
(3)若
f
x
x2,
x 0, 则 f 0
；
x sin x, x 0,
理由是:
(4) 过抛物线 y x2 上横坐标为 x1 1 及 x2 3
的两点作割线，则曲线在
点的切线
(3)若 y f x 在点 x0 处连续，则 f x0 一定存
（10） lim cos 2x x cos x sin x
4
学号
成绩
2. 填空题：
（1）已知 a,b 为常数， lim an2 bn 2 3 , 则 n 2n 1
a
，b
；
理由是：
（ 2 ） 已 知 a,b 为 常 数 ， lim ax b 2, 则 x1 x 1
a
，b
.
理由是：
(3) 设 k 为常数，若 lim x2 2x k 4, x3 x 3
（5） lim
x;
x00 1 cos x
（3） lim 1 cos 2x ; ； x0 x sin x
（6） lim x0
2 1 cos x
sin2 x
;
6
班
姓名
sin x3 1
（7） lim x1
x2 1
学号
成绩
2
（3） lim(1 3x)sin x ; x0
2. 计算下列各极限：
1
（1） lim(1 2x) x ; x0
.
2．求下列各函数 y 的二阶导数 y ： (1) y x cos x ；
学号
成绩
(4)
x
y
a(t sin t), a(1 cos t),
t
2nπ, n
为整数.
(2) y ln 1 x2
3．设 f x 存在，求下列各函数 y 的二阶导数
d2 y ： d x2
(1) y f x2 ；
学号
成绩
(2) y sin xcosx , 0 x π ；
2
(2) xy ex y ；
x arctant ,
3.
求由参数方程
y
ln(1
t2
所确定的函数
)
y
的导数 d y . dx
(3) arctan y ln x2 y2 ； x
4. 求曲线 x3 y3 + (x 1)cos(xy) + 9 = 0 在横坐 标 x 1相应点处的切线方程和法线方程.
f (x) 和 f (x 3) ．
(5) y ln sec x tan x ；
4．在下列各题中设 f u 为可导函数，求 d y .
dx (1) y ln f (2x) ；
6. 在下列各括号中填入适当的函数：
(1) ( (2) ( (3) ( (4) ( (5) ( (6) (
) 6x2 ；
) 2 ； 1 x2
)
sin x cos2 x
；
) 1 ； x ln 3
) x 1 ； x
) 2x ln8 .
(2) y f sin2 x f cos2 x .
14
班
姓名
习 题 2-3
1．求由下列各方程所确定的隐函数 y 的导数 d y ： dx
(1) x3 y3 3axy 0 ；
2.利用等价无穷小的性质求下列各极限：
（1） lim arctan x 2x2 ； x0 sin 2x
（2） lim1 cos ax (a为常数）； x0 sin2 x
ln 1 sin2 x
（4） lim
；
x0 1 cos x ex2 1
（5） lim tan x sin x ; x0 sin3 x
1 x2
x2 x
1
;
（2）
lim
x1
1 1
x
1
3 x3
;
（5）
lim
x
1
1 x
e x2
;
（3） lim (x h)2 x2 ;
h0
h
（6）
lim
n
1
1 2
1 4
1 2n
;
4
班
姓名
（7） lim x2 x x ; x
（8） lim x2 sin 1 ;
x0
x
（9） lim x sin x ; x 2x
在.
()
理由是:
理由是:
平行于这条割线.
2. 填空题, 并说明理由:
(1)若 f x 在点 x0 处可导，则
lim f x0 x f x0
x0
x
lim f x0 h f x0 h
h0
h
理由是:
3. 选择题：
(1) 函数 f x 的 f x0 存在等价于( )；
(A)
lim
班
姓名
第一章 函数 极限 连续
习 题 1-1
1. 求下列各函数的定义域：
(1)
y
1 1 x2
x2 ；
学号
成绩
3.已知 2 f (x) f (1 x) x2 ，求 f (x) 的表达式．
(2) y 1 ln sin x ； 16 x2
4.下列各对函数是否是同一个函数？并说明理由.
(1) y sin x 与 y 1 cos2 x ；
个无穷小的和.
3.
设
e x , f (x)
x 0, 问 a,b 分别取何值
ax b, x 0,
时， lim f (x) 存在？ x0
3.两个无穷小的商是否一定为无穷小？试举例说 明理由.
3
班
姓名
习 题 1-4
1. 计算下列各极限：
（1）
lim
x0
x5 x2 3
;
学号
成绩
（4）
lim
x
2
（4） lim a
.
n n
2.
设函数
f
(
x)
x 1, x, 1
x
x
1,
1,
试分别讨论当
1
（2）对于 y e x1 ，当 x
时， y 是无
穷小；当 x
时， y 是无穷大.
理由是：
x 0 ， x 1和 x 2 时，函数 f (x) 的极限是
否存在.
2. 设 x ，试将 f (x) 2x 1 表示成常数与一 x
2．利用对数求导法计算下列各函数 y 的导数：
(1)
y
(x+1) 3 x 1 (x 4)2ex
(x 1) ；
5.
求曲线
x
y
sin t, cos 2t
在
t
π 处的切线方程和法 4
线方程.
15
班
姓名
习 题 2-4
1. 填空题：
(1) 若 y 10x ，则 yn 0
；
(2) 若 y sin 2x ，则 yn x
3．求下列各函数的导数：
(1) y ln 1 x3 ；
(3) y x2 cos x ln x (4) f (x) arctan x ；
1 sin x
(2) y arctan x2 ；
(3) y arcsin x2 ；
13
班
姓名
(4) y ln cos x ；
学号
成绩
5. 设 f (u) 为可导函数，且 f (x 3) x2 ，求
求d y.
习 题 2-5 1. 计算下列各函数的微分：
(1) y ex cos 3 x ；
(2) y ln 1 x2 ；
3. 将适当的函数填入下列各括号内，使得等式成
立：
(1) x d x d (
)；
(2) d x d ( 1 x
(3) sin 2x d x d (
)； )；
(4) e3x d x d (
学号
(2) y esin3 x ；
成绩
（2）
f
(x)
1 cos x 1 sin2 x
；
(3) y xsin x (x 0) ；
（3） f (x) 1 (ex ex ) 2
7. 设 f (x) x3 x ，(x) sin 2x ，求 f [(x)] 与[ f (x)] ．
6. 用基本初等函数及四则运算表示下列各函数的 复合关系：
7．证明双曲线 xy a2 上任意点处的切线与坐标轴 所构成的三角形的面积都等于 2a2 .
12
班
姓名
习 题 2-2 1. 计算下列各函数的导数：
(1) y log3 x ax ln 2 (a 0 且 a 1) ；
学号
成绩
2．写出曲线 y x 1 与 x 轴交点处的切线方 x
程.
(2) y 2 tan x sec x 1；
n
f
x0
1 n
f
x0
存在
；
(B) lim f x f x0 存在
x x0
x x0
；
(C) lim f x0 x f x0 x 存在
x0
x
(D) lim f x0 3x f x0 x 存在
x0
x
理由是:
(2) 若 f 0 存在且 f 0 0 ，则
11
班
姓名
(2) 若函数 f x 在点 x0 处可导，则 f x 在点
则k
.
理由是：
（4）设
ex f (x)
1,
x 0, 且 lim f (x) 存
x b, x 0,
x0
在，则 b
.
理由是：
5
班
姓名
习 题 1-5 1. 计算下列各极限：
（1） lim sin x ; x0 x
学号
成绩
（4）
lim
n
2n
sin
x 2n
;
（2） lim tan 3x ; x0 x
（4）
lim
x
x x
1 1
2x
.
（2）
lim
x
1
x
x
x
;
3.
设
lim
x
x 2a xa
x
8 ，求 a 的值.
7
班
姓名
习 题 1-6
1. 当 x 1 时，无穷小1 x 分别和 1 x2 与 1 (1 x2 ) 是否同阶？是否等价？ 2
学号
成绩
（3） lim e2x 1 ; x0 arcsin 3x
（6） lim cos 2x cos 3x ; x0 1 x2 1
8
班
姓名
1. 填空题：
习 题 1-7
（1）函数
f
(x)
arcsin x
x1 x
的连续区间是
学号
成绩
（2）
f
x
x,
1,
x 1, x 1;
；
(2)设
f
(x)
x ，则 x2 1
x
的间断点；
是函数 f (x)
x1
（3）x 0 是函数 f (x) e x 的第 类间断点；
（4）设 f x 1 ln(1 x) ，如果补充定义
x
f 0
，则 f x 在 x 0 处连续；
a 3x2,
x 0,
（5）若
f
x
1 x
sin
x
x sin
1 x
,
x
0
在 , 连续，则 a
.
sin x
（3）
f
(x)
x 1,
,
ln(1 x) ,
x
x 0, x 0, 0 x 1.
9
班
姓名
（2） f (x) cos2 1 ； x
学号
成绩
（3） lim ln sin 2x ;
x0
x
（3）