2021-2022学年北京市大兴区九年级(上)期末数学试卷(附详解)

2021-2022学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是()
A. 圆
B. 平行四边形
C. 直角三角形
D. 等边三角形
2.抛物线y=(x+1)2+2的顶点坐标是()
A. (1,2)
B. (1,−2)
C. (−1,2)
D. (−1,−2)
3.以下事件为随机事件的是()
A. 通常加热到100℃时，水沸腾
B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C. 任意画一个三角形，其内角和是360°
D. 半径为2的圆的周长是4π
4.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=74°，点O是△ABC
的内心．则∠BOC等于()
A. 124°
B. 118°
C. 112°
D. 62°
5.下列所给方程中，没有实数根的是()
A. x2+2x=0
B. 5x2−4x−2=0
C. 3x2−4x+1=0
D. 4x2−3x+2=0
6.将二次函数y=x2−4x+5化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为()
A. y=(x−2)2+1
B. y=(x+2)2+1
C. y=(x−4)2+1
D. y=(x+4)2+1
7.如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与OC相切于
点P.若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为()
A. 8
B. 16√2
C. 4√2
D. 2√2
8.小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小
明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为()
A. (x+2)(x−1)=130
B. (x−2)(x+1)=130
C. x(x−2)=130
D. x(x+1)=130
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9.一元二次方程x2−3x=0的根是______．
10.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOB=70°，则
∠C=______．
11.已知抛物线y=x2−x−3经过点A(2,y1)、B(3,y2)，则y1与y2的大小关系是______．
12.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△
A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是______．
13.圆心角是270°的扇形的半径为4cm，则这个扇形的面积是______cm2．
14.请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=______
15.若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是6πcm，则此扇形的圆心角等于______．
16.已知点A的坐标为(a,b)，O为坐标原点，连结OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得
到线段OA1，则点A1的坐标为______．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）
17.计算：√27+(3−π)0+|1−√3|+3×1
．
√3
18.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2−2mx+5m的图象经过点(1,−2)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的对称轴．
19.同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，下表列举出了所有
可能出现的结果．
(1)由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的
可能性______(填“相等”或者“不相等”)；
(2)计算下列事件的概率：
①两枚骰子的点数相同；
②至少有一枚骰子的点数为3．
20.下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．
已知：如图1，钝角∠AOB．
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．
作法：如图2，
①在射线OA上任取一点D；
②以点O为圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；
DE长为半径作弧，在∠AOB内，两弧相交于点C；
③分别以点D，E为圆心，大于1
2
④作射线OC．
则OC为所求作的射线．
完成下面的证明．
证明：连接CD，CE
由作图步骤②可知OD=______．
由作图步骤③可知CD=______．
∵OC=OC，
∴△OCD≌△OCE．
∴∠AOC=∠BOC(______)(填推理的依据)．
21.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于
点E．
(1)求证：∠BCO=∠D；
(2)若CD=4√2，OE=1，求⊙O的半径．
22.已知关于x的一元二次方程x2−3x+2a−1=0有两个不相等的实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)若a为正整数，求方程的根．
23.某超市按每袋20元的价格购进某种软糖，在销售过程中发现，该种软糖每天的销售
量w(袋)与销售单价x(元)满足w=−2x+80(20≤x≤40)，如果销售这种软糖每天的利润为y(元)．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当软糖销售单价定为每袋多少元时，销售这种软糖每天的利润最大？最大利润
是多少？
24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−4x−1与y轴交于点A，其对称轴与x轴
交于点B，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A，B．
(1)求一次函数的表达式；
(2)当x>−3时，对于x的每一个值，函数y=nx(n≠0)的值大于一次函数y=kx+
b的值，直接写出n的取值范围．
25.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点．以BD为直径作⊙O，交边AB
于点P，连接PC，交AD于点E．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若PC是⊙O的切线，BC=8，求PC的长．
26.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(0,−3)，(3,0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)将二次函数y=x2+bx+c的图象向上平移n(n>0)个单位后得到的图象记为
G，当0≤x≤5
时，图象G与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出n的
2
取值范围．
27.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，点D在线段BC的延长线上，连接AD，将线
段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，射线BA与CE相交于点F．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段BD与CE的数量关系，并证明；
(3)若F为CE中点，AB=√2，则CE的长为______．
28.在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于A(1,0)，
B(4,0)两点，对于点P和⊙M，给出如下定义：若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A，B两点且顶点为P，则称点P为⊙M的“图象关联点”．
(1)已知E(5,2)，F(5
2,−4)，G(3,1)，H(5
2
,3)，在点E，F，G，H中，⊙M的”图象
关联点”是______；
(2)已知⊙M的“图象关联点”P在第一象限，若OP=5
3
PM，判断OP与⊙M的位置关系，并证明；
(3)已知C(4,2)，D(1,2)，当⊙M的“图象关联点”P在⊙M外且在四边形ABCD内时，直接写出抛物线y=ax2+bx+c中a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
B.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.直角三角形不是中心对称图形，也不一定是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵y=(x+1)2+2为二次函数的顶点式，
∴由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为(−1,2)，
故选：C．
根据抛物线的顶点式的概念即可得出答案．
本题主要考查二次函数的性质，关键是要能根据顶点式直接写出顶点的坐标．
3.【答案】B
【解析】解：A.通常加热到100℃时，水沸腾，这是必然事件，故A不符合题意；
B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，这是随机事件，故B符合题意；
C.任意画一个三角形，其内角和是360°，这是不可能事件，故C不符合题意；
D.半径为2的圆的周长是4π，这是必然事件，故D不符合题意；
故选：B．
根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握必然事件，随机事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=1
2∠ABC=1
2
×50°=25°，∠OCB=1
2
∠ACB=1
2
×74°=37°，
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−25°−37°=118°．故选：B．
根据三角形内心的性质得到∠OBC=1
2∠ABC=25°，∠OCB=1
2
∠ACB=37°，然后根据
三角形内角和计算∠BOC的度数．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
5.【答案】D
【解析】解：A.x2+2x=0，
∵b2−4ac=4>0，
∴方程有实数根，故本选项不符合题意；
B.5x2−4x−2=0，
∵b2−4ac=16+40=56>0，
∴方程有实数根，故本选项不符合题意；
C.3x2−4x+1=0，
∵b2−4ac=16−12=4>0，
∴方程有实数根，故本选项不符合题意；
D.4x2−3x+2=0，
∵b2−4ac=9−32=−23<0，
∴方程没有实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
求出各选项方程根的判别式的值，判断出正负即可确定一元二次方程是否有实数根．
本题主要考查了根的判别式，熟记“当Δ<0时，一元二次方程没有实数根”是解本题
的关键．
6.【答案】A
【解析】解：y=x2−4x+5=(x−2)2+1，
故选：A．
利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．
本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；
(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；
(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).
7.【答案】C
【解析】解：连接CP，如图，
∵OA边与OC相切于点P，
∴CP⊥OA，
∴∠OPC=90°，
∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，
∴OC平分∠AOB，
∴∠COP=1
2∠AOB=1
2
×90°=45°，
∴△OCP为等腰直角三角形，
∴OC=√2OP=4√2．
故选：C．
连接CP，如图，先利用切线的性质得到∠OPC=90°，再利用切线长定理得到OC平分∠AOB，则△OCP为等腰直角三角形，从而得到OC=√2OP．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．8.【答案】B
∴小亮的年龄为(x−2)岁，小刚的年龄为(x+1)岁．
依题意得：(x−2)(x+1)=130．
故选：B．
由三人年龄间的关系可得出：小亮的年龄为(x−2)岁，小刚的年龄为(x+1)岁，再根据小亮与小刚的年龄的乘积是130，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】x1=0，x2=3
【解析】解：x2−3x=0，
x(x−3)=0，
∴x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．
10.【答案】35°
【解析】解：∵AB⏜所对的圆心角是∠AOB，AB⏜所对的圆周角是∠ACB，
∠AOB，
∴∠C=1
2
∵∠AOB=70°，
∴∠C=35°，
故答案为：35°．
根据圆周角定理进行计算即可．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
11.【答案】y1<y2
【解析】解：∵函数y=x2−x−3的对称轴为x=1
，
2
∴抛物线开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大．
∵2<3，
∴y1<y2．
故答案为：y1<y2．
，再判断A(2,y1)、B(3,y2)在对称轴右侧，先求得函数y=x2−x−3的对称轴为x=1
2
从而判断出y1与y2的大小关系．
此题主要考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．
12.【答案】30°
【解析】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA−∠A′OB=45°−15°=30°，
故答案是：30°．
根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°是解题关键．
13.【答案】12π
【解析】解：∵扇形的圆心角为270°，半径为4cm，
∴这个扇形的面积S=270π×42
=12π(cm2)，
360
故答案为：12π．
根据扇形的面积公式求出答案即可．
本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积S=nπr2
．
360
14.【答案】(x−1)2
【解析】解：符合的表达式是y=(x−1)2，
故答案为：(x−1)2．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．
15.【答案】60°
【解析】解：设圆心角为n°．
，
由题意6π=nπ×18
180
解得n=60，
故答案为：60°．
利用弧长公式求解即可．
是解题的关键．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l=nπr
180
16.【答案】(b,−a)
【解析】解：如图，不妨假设A在第一象限，作AB⊥y轴于B，A′B′⊥x轴于B′．
∵A(a,b)，
∴AB=a，OB=b，
∵线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，
∴∠AOA′=∠BOB′=90°，
∴△OAB≌△OA′B′(AAS)，
∴OB′=OB=b，A′B′=AB=a，
∴A′(b,−a)．
故答案为：(b,−a)．
如图，不妨假设A在第一象限，作AB⊥y轴于B，A′B′⊥x轴于B′.构造全等三角形解决问题即可．
本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
17.【答案】解：√27+(3−π)0+|1−√3|+3
√3
=3√3+1+√3−1+√3
=5√3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵二次函数y=x2−2mx+5m的图象经过点(1,−2)，
∴−2=1−2m+5m，
解得m=−1．
∴二次函数的表达式为y=x2+2x−5；
(2)∵a=1，b=2，
∴−b
2a =−2
2×1
=−1，
∴二次函数图象的对称轴直线为：x=−1．
【解析】(1)把点(1,−2)代入函数关系式进行计算即可；
(2)根据对称轴公式进行计算即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】相等
【解析】解：(1)由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相等，
故答案为：相等；
(2)①由表可知，共有36种等可能的结果，两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，
即(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，
∴P(A)=6
36=1
6
；
②共有36种等可能的结果，至少有一枚骰子的点数为3(记为事件B)的结果有11种，
∴P(B)=11
36
．
(1)由随机事件的定义即可得出结论；
(2)①由表可知，共有36种等可能的结果，两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，再由概率公式求解即可；
②共有36种等可能的结果，至少有一枚骰子的点数为3(记为事件B)的结果有11种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】OE CE全等三角形的对应角相等
【解析】证明：连接CD，CE
由作图步骤②可知OD=OE．
由作图步骤③可知CD=CE．
∵OC=OC，
∴△OCD≌△OCE．
∴∠AOC=∠BOC(全等三角形的对应角相等)．
故答案为：OE，CE，全等三角形的对应角相等．
根据作图过程即可完成证明．
本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
21.【答案】(1)证明：∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B，
∵AC⏜=AC⏜，
∴∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
CD，
∴CE=1
2
∵CD=4√2，
×4√2=2√2，
∴CE=1
2
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
∵OE=1，
∴OC2=(2√2)2+12，
解得：OC=3(负数舍去)，
∴⊙O的半径为3．
【解析】(1)根据等腰三角形性质求出∠BCO=∠B，根据圆周角定理得出∠B=∠D，再求出答案即可；
(2)根据垂径定理求出CE=DE=2√2，再根据勾股定理求出OC即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，能求出CE= DE和∠B=∠D是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−3x+2a−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−3)2−4(2a−1)>0，
，
解得a<15
8
∴a的取值范围为a<15
；
8
(2)∵a<15
，且a为正整数，
8
∴a=1．
解得：x 1=3+√52，x 2=
3−√52， ∴方程的根为x 1=3+√5
2，x 2=3−√52．
【解析】(1)根据方程根的判别式Δ>0，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围；
(2)由(1)可求得a 的正整数，代入原方程，解之即可求出方程的根．
本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：
(1)熟记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)熟练掌握一元二次的解法—公式法．
23.【答案】解：(1)y =w(x −20)=(−2x +80)(x −20)=−2x 2+120x −1600， 故函数关系式为y =−2x 2+120x −1600；
(2)y =−2x 2+120x −1600=−2(x −30)2+200，
∵20≤x ≤40，a =−2<0，
∴当x =30时，y 最大值=200．
答：当软糖销售单价定为每袋30元时，销售这种软糖每天的利润最大，最大利润为200元．
【解析】(1)用每袋糖的利润乘以销售量得到每天的利润；
(2)由(1)得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
本题考查的是二次函数的应用，根据题意得出二次函数解析式是解题关键．
24.
【答案】解：(1)∵抛物线y =x 2−4x −1与y 轴交于点A ，
∴A(0,−1)．
∵抛物线的对称轴为：x =−
−42=2，
∴B(2,0)．
∵y =kx +b 过A(0,−1)，B(2,0)，
∴{
b =−10=2k +b
，
∴一次函数的表达式为y =12x −1； (2)如图，把x =−3代入y =12x −1得y =12×(−3)−1=−52，
把点(−3,−52)代入y =nx(n ≠0)得，−52=−3n ，
∴n =56
， 由图象可知，当x >−3时，对于x 的每一个值，函数y =nx(n ≠0)的值大于一次函数y =kx +b 的值，则n 的取值范围是12≤n ≤56．
【解析】(1)由抛物线y =x 2−4x −1求得A 、B 的坐标，然后根据待定系数法求得即可；
(2)求得x =−3时，函数y =1
2x −1的对应值，代入y =nx 求得n 的值，观察图象即可求得n 的取值范围．
本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
25.【答案】(1)证明：∵AB =AC ，D 是BC 的中点，
∴AD ⊥BC ，
∵BD 是⊙O 的直径，
∴AD 是⊙O 的切线；
(2)解：连接OP ，
∵PC 是⊙O 的切线，
∴∠OPC =90°，
∵BC =8，D 是BC 的中点，
∴BD =CD =12BC =4，
∵BD 是⊙O 的直径，
∴OD =OP =2，
∴PC =√OC 2−OP 2=√62−22=4√2．
【解析】(1)要证明AD 是⊙O 的切线，只要证明BD ⊥AD 即可，根据题目的已知，利用等腰三角形的三线合一性质进行解答即可；
(2)根据已知PC 是⊙O 的切线，想到连接OP ，可得OP ⊥PC ，先利用D 是BC 的中点，求出BD 和CD 的长，进而求出圆的半径，最后在Rt △OPC 中进行计算即可．
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(0,−3)，(3,0)， ∴{c =−39+3b +c =0，解得：{b =−2c =−3
， ∴二次函数的表达式
为y =x 2−2x −3．
(2)∵y =x 2−2x −
3=(x −1)2−4，且
向上平移n 个单位，
∴y =(x −1)2+
n −4，
如图1，当平移后的
图象的顶点在x 轴上时，
∵当0≤x ≤5
2，图象G 与x 轴只有一个公共点，
∴n −4=0，
∴n =4；
如图2，当x =0时，y =n −3，当x =52时，y =n −74，
∵当0≤x ≤52，图象G 与x 轴只有一个公共点，
∴n −3<0≤n −74，
解得：74≤n <3，
综上所述，n 的取值范围为74≤n <3或n =4．
【解析】(1)先代入点(0,−3)，(3,0)求得b和c的值，然后得到二次函数的表达式；(2)先作出对应的函数图象，然后得到n的取值范围．
本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数的增减性，解题的关键是会作出对应的函数图象．
27.【答案】4
【解析】解：(1)依题意补全图形如下：
(2)线段BD与CE的数量关系是：BD=CE，
证明：在等腰△ABC中，∠BAC=90°，
∴AB=AC，
∵AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(3)在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=√2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=√2AB=2，
由(2)知，△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠BCE=90°，
∴∠BFC=90°−∠ABC=45°=∠ABC，
∴CF=BC=2，
∵点F是CE的中点，
∴CE=2CF=4，
故答案为：4．
(1)利用旋转画出AE，连接CE，即可得出图形；
(2)先判断出∠BAD=∠CAE，进而判断出△ABD≌△ACE，即可得出结论；
(3)先求出BC，再判断出CF=BC，即可得出答案．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键．
28.【答案】F，H
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(1,0)，B(4,0)两点且顶点为P，则顶点P的横坐标为5
，
2
，
在点E，F，G，H中，点F和点H的横坐标为：5
2
∴在点E，F，G，H中，⊙M的”图象关联点”是F，H；
故答案为：F，H．
(2)OP与⊙M的位置关系是：相切．
∵AB为⊙M的直径，
∴M为AB的中点．
∵A(1,0)，B(4,0)，
∴AM=3
．
2
∴OM=5
．
2
连接PM．
∵P为⊙M的“图象关联点”，
∴点P为抛物线的顶点．
∴点P在抛物线的对称轴上．∴PM是AB的垂直平分线．∴PM⊥AB．
过点M作MN⊥OP于N．
S△OMP=1
2OM⋅PM=1
2
OP⋅MN．
∵OP=5
3
PM
∴MN=OM⋅PM
OP =3
2
=AM．
∴OP与⊙M相切．
(3)由(1)知，顶点P的横坐标为5
2
，由(2)知⊙M的半径为1.5，
已知C(4,2)，D(1,2)，当⊙M的“图象关联点”P在⊙M外且在四边形ABCD内时，
顶点P的坐标范围大于1.5且小于2，
当抛物线顶点坐标为(2.5,2)时，设抛物线的解析式为：y=a(x−2.5)2+2，把点A(1,0)
代入得，a=−8
9
；
当抛物线顶点坐标为(2.5,2)时，设抛物线的解析式为：y=a(x−2.5)2+1.5，把点A(1,0)
代入得，a=−2
3
；
∴a的取值范围为：−8
9<a<−2
3
．
(1)由抛物线及圆的对称性可知，⊙M的”图象关联点”在线段AB的垂直平分线上，由此可判断；
(2)连接PM，过点M作MN⊥OP于点N，证明MN=AM即可；
(3)求出点P纵坐标为1.5或2时的函数解析式，再判断a的取值范围即可．
本题考查圆的综合问题，解题关键是根据图象关联点的定义，得出点P的横坐标；涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，综合程度较高，需要学生认真理解题
意．。