2021年山东春季高考数学真题参考答案

山东省2021年普通高校招生(
春季)考试数学答案及简要解析
卷一(选择题 共60分)
一、选择题
1.B ʌ解析ɔȵ∁U N ={0,1,3},ʑM ɘ(∁U N )
={1,3}.2.D ʌ解析ɔ要使函数有意义,须满足|x -1|-3ȡ0,ʑ|x -1|ȡ3,即x -1ɤ-3或x -1ȡ3,解得x ɤ-2或x ȡ4,ʑ定义域为(-ɕ,-2]ɣ[4,+ɕ).
3.A ʌ解析ɔȵf (x )在(-ɕ,+ɕ)上是减函数,ʑ由函数单调性可知当x 越大,f (
x )反而越小.ȵ-1<0<1,ʑf (1)<f (0)<f (-1).4.B ʌ解析ɔ由函数y =l o g a x 的图像可知a >1.对于函数y =(1-a )x 2+1来说,1-a <0,ʑ二次函数开口朝下,顶点坐标为(0,1),故选项B 正确.5.D ʌ解析ɔ零向量的方向是任意的,故选项A 错误;大小相等和方向相同的两个向量相等,ʑ两个单位向量不一定相等,故选项B 错误;方向相反且大小相同的两个向量互为相反向量,故选项C 错误.
6.C ʌ解析ɔȵ角α的终边过点P (-1,2),ʑs i n α=-55,c o s α=25
5
.由二倍角公式s i n 2α=2s i n αc o s α得s i n 2α=2ˑ-55æèçöø
÷ˑ255=-4
5.
7.A ʌ解析ɔ若角α是第一象限角,则s i n α>0,充分条件成立;反之,若s i n α>0,则角α可能为第一象限角或第二象限角或在y 轴正半轴上,必要条件不成立.
8.C ʌ解析ɔȵ直线l 经过(1,2)和(3,1),ʑ直线l 的斜率k l =
1-23-1=-12,ȵm ʅl ,ʑ直线m 的斜率k m =-1
k l
=2,又直线m 过点(3,1),由直线的点斜式可知直线m 的方程为2x -y -5=0.
9.C ʌ
解析ɔ安排四人进行接力赛,可根据有无甲运动员分为两类:第一类甲不参加接力赛,则安排方法有A 44=24种;第二类甲参加接力赛,则安排方法有C 34C 13A 3
3=
72种.故不同的安排方法有96种.
10.D ʌ解析ɔ根据表格中的对应关系知f (2)=5,f (5)=7,ʑf [f (
2)]=7.11.A ʌ解析ɔ根据向量的运算法则知a b =-2m +3,ʑ-2m +3=5,
则m =-1.12.C ʌ解析ɔ由图像可知,该函数不关于原点㊁y 轴对称,为非奇非偶函数,最大值为2.又T
4
=
π3--2π3æèçö
ø÷=π,ʑ最小正周期是4π,ȵ2πω=4π,ʑω=12,令12ˑπ3+φ=0,则φ=-π6
.
13.B ʌ解析ɔ三件玩具分为三个小朋友,完成这件事的基本事件个数共有A 3
3=
6个,其中都没有拿到自己玩具的这件事的基本事件个数共2个,故概率为
26=1
3
.14.A ʌ解析ɔȵ圆到圆上一点的距离为半径,圆经过原点,ʑ半径r =12+22
=5,
根据圆的标准方程可以得到标准方程为(x -1)2+(y -2
)2
=5.15.D ʌ解析ɔȵ点M 到抛物线对称轴的距离是4,ʑ点M 的纵坐标为4,ȵM 在抛物线上,ʑ横坐标为8p ,又点M 到准线的距离为5,ʑ8p +p
2=5,解得p =2或p =8.16.B ʌ解析ɔ p :甲㊁乙㊁丙三名同学不都是共青团员,即至少有一名不是共青团员.17.C ʌ解析ɔ由图像可知直线为实线,且点(0,0)在区域内,代入(0,0)可得x +3y -3<0,在直线下方,符合要求.
18.C ʌ解析ɔ由题意设该等差数列为{a n },则S 5=30,
a 1+a 2=a 3+a 4+a 5,{
解得a 1=8,d =-1
,{
ʑ甲所分小米的斤数是8斤.
19.B ʌ解析ɔ由二项式的通项公式可知T m +1=C m n a n -m b m ,ʑ第二项的二项式系数为C 1n ,第五项的二项式系数为C 4n ,ȵC 1n =C 4n ,ʑn =5,则T 4=C 35
1x æèçöø
÷2
(-2)3,即系数为-80.20.B ʌ解析ɔ在正方体A B C D A 1B 1C 1D 1中,B D ʅA 1C ,B C 1ʅA 1C ,B D ɘB C 1=B ,且B D ,
B C 1⊂平面B C 1D ,A 1C ⊄平面B C 1D ,ʑA 1C ʅ平面B C 1D ,又C 1P ⊂平面B C 1D ,ʑP C 1ʅA 1C .
卷二(非选择题 共60分)
二㊁填空题(本大题5个小题,每小题4分,共20分㊂请将答案填在答题卡相应题号的横线上)
21.-1 ʌ解析ɔȵ-1ɤs i n x ɤ1,ʑ-5ɤ2s i n x -3ɤ-1,即函数y 的最大值是-1.22.1+15 ʌ
解析ɔ正四棱锥的表面积由底面正方形和侧面四个等腰三角形构成,故S =1ˑ1+4ˑ
12ˑ1ˑ15
2
=1+15.23.53 ʌ解析ɔ由题意知2a 2b =32,则a b =32,故离心率e =1-b a æèçöø
÷2
=53.24.2 ʌ解析ɔȵ x =16(85+91+88+87+90+87)=88,ʑs 2=16
[(85-88)2+(91-88)2+
+(87-88)2
=4,
则s =2.25.S =
12㊃3m +2-3m +1+12
㊃3m
ʌ解析ɔȵ点A ,B ,C 的横坐标成等差数列,且点A 的横坐标为m ,ʑ点B 的横坐标为m +1,同理,点C 的横坐标为m +2,即点A 为(m ,3m +1
),B 为
(m +1,3m +2),C 为(m +2,3m +2).利用割补法知әA B C 的面积为S =S әA C E -S әA B D -
S 梯形B C E D ,
其中S әA C E =12ˑ2ˑ(3m +2-3m ),S әA B D =12ˑ1ˑ(3m +1-3m ),S 梯形B C E D =12
[(3
m +1
-3m )+(3m +2-3
m )],故S =12㊃3m +2-3m +1+12
㊃3m
.
三㊁解答题(本大题5个小题,共40分)
26.解:(1)ȵf (4)=8,ʑ16a -8=8,则a =1.
(2)设x <0,则-x >0,ʑf (-x )=x 2+2x .ȵf (x )
是定义在R 上的奇函数,ʑ-f (x )=f (-x ),即f (x )=-f (-x )=-x 2-2x .
综上所述,f (
x )=-x 2-2x ,x <0,
x 2-2x ,x ȡ0.
{
27.解:(1)ȵa n >0,a 1=1,2a n +1-a n =0,ʑa n +1
a n
=12,即数列{a n }
是等比数列,a 1=1且q =
12
,ʑ通项公式为a n =12æèç
öø
÷n -1.(2)ȵb n =l o g 2a n =l o g 212æèç
öø
÷n -1
=1-n ,ʑ数列{b n }是首项b 1=0,公差d =-1的等差数列.则S 90=
90ˑ0+90ˑ89
2ˑ(-1)=-4005.28.解:(1)过点A 作垂线交O Q 于点E ,
ȵøP O Q =30ʎ,且O A =10,ʑA E =5.又A B =52,
ʑs i n øO B A =A E A B =2
2
,
即øO B A =45ʎ.
(2)由(1)可知C E =B E =5,O E =53,ʑO C =O E -C E =53-5,ȵD 为O A 的中点,ʑO D =5,由余弦定理可知c o s øP O Q =O C 2+O D 2-C D 22㊃O C ㊃O D =1
2
,ʑC D =2.6.
29.解:(1)ȵS A ʅ平面A B C D ,ʑS A ʅA B ,
又底面A B C D 是正方形,ʑA D ʅA B ,ȵA D ɘS A =A ,A D ,S A ⊂平面S A D ,A B ⊄平面S A D ,ʑA B ʅ平面S A D ,ȵS D ⊂平面S A D ,ʑA B ʅS D .
(2)取S D 的中点G ,连接G F 和A G ,
ȵG ,F 是中点,ʑG F ʊC D ,且G F =1
2
C D .
ȵ底面A B C D 是正方形,且E 是A B 的中点,ʑA E ʊC D ,且A E =1
2
C D .
则A E ʊG F ,且A F =G F ,
ʑ四边形A E F G 是平行四边形,则A G ʊE F ,ʑ直线E F 与A D 所成的角为øG A D .ȵG 是S D 的中点,ʑA G =12
S D ,
则A G =G D ,即三角形A D G 为等腰三角形,又øS D A =60ʎ,ʑ三角形A D G 为等边三角形,
则øG A D =60ʎ.
30.解:(1)ȵ椭圆方程为x 25+y 2
4=1,ʑc =1,
即左焦点为F (-1,0).
ȵ双曲线左顶点与左焦点重合,ʑ双曲线中a =1,又双曲线过点P ,ʑb 2
=1,
即双曲线的标准方程为x 2-y 2=1.
(2)设直线l :y =
k (x +1),联立方程组y =k (x +1),x 25+y 2
4
=1,ìîíïï
ï整理得(4+5k 2)x 2+10k 2x +5k 2-20=0,由韦达定理可知x 1+x 2=-10k 2
4+5k 2
,ȵM ,N 在直线l 上,ʑy 1+y 2=
k (x 1+1)+k (x 2+1),即y 1+y 2=-10k 34+5k 2+2k =8k 4+5k 2
.
ʑ线段MN 的中点坐标为-5k 24+5k 2
,4k 4+5k 2æ
èçöø÷.由双曲线的抛物线方程可知渐近线方程为y =ʃx ,
ȵMN 的中点在渐近线上,ʑ分为两种情况:①当线段MN 的中点在y =x 上时,则-5k 24+5k 2=
4k
4+5k 2,即k =0或k =-4
5
;②当线段MN 的中点在y =-x 上时,则5k 24+5k 2=
4k
4+5k 2,即k =0或k =
4
5
.综上所述,直线l 的方程为y =0或y =ʃ
4
5
(x +1)(一般式为4x ʃ5y +4=0).。