微分几何第二章

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2.3 空间曲线-密切平面方程
设曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t)) 是光滑的，P 是曲线上一点，其参数是 t0．设 R = (X, Y, Z) 是 P 点的密切平面上任意一点，则密切平面 方程为：
(R – r(t0), r'(t0), r''(t0)) = 0. 用坐标把密切平面方程表示为：
r'' (t) = (– cost, – sint, 0). 在给定点 P 处的参数 t = 0，所以有
r(0) = (1,0,0)， r' (0) = (0,1,1)， r'' (0) = (– 1,0,0)． 代入密切平面方程并整理得
– Y + Z = 0．
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2.3 空间曲线-基本向量与伏雷内标架
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2.1 曲线的概念
一元向量函数 r(t) 所描绘的图形 C 叫曲线， r(t)叫曲线 C 的参数化，或者叫曲线的向量函 数，t 叫曲线的参数．曲线 C 连同它的参数化 r(t) 一起叫参数曲线．
参数曲线用 C : r = r(t) 表示．如果对某个 t0 使得 r'(t0) ≠ 0，就称 r(t0)（或者简称 t0）是曲 线的正则点．如果曲线上处处是正则点，就称 该曲线是正则曲线，相应的参数叫正则参数．
p /2
L 0 | r(t) | dt
3a
p
/2
sint
costdt
3a.
0
2
因此，星形线的弧长为 6a．
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练习题 1．求旋轮线 x = a(t – sint), y = a(1 – cost) 在0
≤ t ≤ 2p 一段的弧长． 2．求圆柱螺线 x = 3acost, y = 3asint, z = 4at
b
La | r(t)|dt.
例. 求星形线（如图） C: r(t) = (acos3t, asin3t),
0 ≤ t ≤ 2p 的弧长．
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2.1 曲线与曲面的概念-曲线的弧长
解：由于星形线关于原点对称，所以只需 计算曲线在第一象限部分的弧长．当 0 ≤ t ≤ p/2 时有 |r'(t)| = 3asintcost ．所以第一象 限部分的弧长为
该曲线在该点的法平面方程为 x(t0)(Xx(t0))y(t0)(Yy(t0)) z(t0)(Zz(t0))0.
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2.1 曲线与曲面的概念-切线和法平面举例
例. 求圆柱螺线的切线与法平面方程．
解：圆柱螺线为 C: r = (acost, asint, bt), 切向量是 r' = (– asint, acost, b). 所以切线方 程为
|r' ∧ r'' | = (a2b2 + a4)1/2, (r', r'', r''' ) = a2b,
r'(t0) PC
r
切线 法平面
O
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2.1 曲线与曲面的概念-曲线的切线和法平面方程
曲线 C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 在点 r(t0) = (x(t0), y(t0), z(t0)) 处的切线方程为
Xx(t0)Yy(t0)Zz(t0). x(t0) y(t0) z(t0)
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2.3 空间曲线-密切平面
过曲线 C 上一点 P 处的切线和曲线上位于
P 点附近的另一点 Q 作一平面 s (Q)．当 Q 沿曲线趋向于 P 时 s (Q) 的极限位置 s 称
为曲线 C 在 P 点的密切平面． 过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线 的平面），而密切平面则是在 P 点附近最 贴近于曲线的平面． 平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的 平面，而直线的密切平面不确定，或者说直 线有无穷多个密切平面．
用一般参数表示的曲率与挠率计算公式
曲率：
k
|
r r | | r |3 .
挠率：
t (r,r,r) .
| r r |2
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2.3 空间曲线-曲率与挠率为零的曲线
曲线的曲率为零的充要条件是该曲线是直 线． 曲线的挠率为零的充要条件是该曲线为平 面曲线．
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2.3 空间曲线-曲率和挠率计算举例
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2.1 曲线与曲面的概念-曲线的切线和法平面
设有曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t))．在曲线上固定 一点 P，对应的参数设为 t0． 把过 P 点，且 以 r'(t0) 作为方向向量的直线叫做曲线 C 在 P 点的切线；过 P 点且垂直于切向量的平面叫做 曲面在 P 点的法平面．
例：求圆柱螺旋线 r = (acosq, asinq, bq) 的
曲率和挠率．
解：直接计算得：
r = (– asinq, acosq, b), r'' = (– acosq, – asinq, 0), r''' = (asinq, – acosq, 0),
|r'| = (a2 + b2),
r' ∧ r'' = (absinq, – abcosq, a2),
k(x)
| y| 1(y)23/2
.
平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率
为零．
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2.2 平面曲线-例子
例. 求椭圆 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 的曲率． 解：椭圆可参数化为 r(t) = (a cost, b sint)， 参数方程为 x = acost, y = bsint，所以有
微分几何
第二章 曲线论
曲线的概念 平面曲线 空间曲线
第二章 曲线论
第二章内容概要
本章我们讨论曲线的概念、平面曲线和空间曲线 的微分几何性质．内容包括曲线的伏雷内标架、 曲率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理 等． 重点：伏雷内标架、曲率、挠率的计算、伏雷内 公式的应用． 如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进 行讨论．
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2.2 平面曲线-伏雷内标架
设平面曲线 C: r = r(s) 以弧长为参数，
则其切向量 a (s) = r ∙ (s) 是一个单位 向量， 即 a (s) ∙ a (s) = 1． 两边求导数得 a (s) ⋅ a ∙ (s) = 0，所以 a (s) 垂直于 a ∙ (s)，这说明 a ∙ (s) 是
曲线的法向量．
令 b = a ∙ / | a ∙ |，则对于每一个 s， [r(s) ; a (s), b (s)] 构成平面曲线 C 上
的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的伏雷内标架．
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2.2 平面曲线- b 的指向
由导数的定义我们可知 b 总是指向曲线弯
曲的那一侧．
a(s)
C
α(ss)α(s)β(s) s
设有空间曲线 C: r = r(s)，s 是弧长参数
单位切向量 a = r ∙ 单位主法向量 b = a ∙ / |a ∙|（设 r ∙∙ 不为零） 单位副法向量 g = a∧b 曲线 C 的伏雷内标架 [ r ; a , b , g ]
g
b
a
C
r O
伏雷内 标架
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2.3 空间曲线-三棱锥
切向量和主法向量决定的平面就是密切平面 切向量和副法向量决定的平面叫从切平面 主法向量和副法向量决定的平面是法平面
从点 (3a,0,0) 到任一点的弧长． 3．将圆柱螺线 r(t) = (acost, asint, bt) 化成自
然参数形式． 4．求封闭曲线 r(t) = (cos3t, sin3t, cos2t) 的全
长．
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2.2 平面曲线
内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏 雷内公式等 重点：曲率与相对曲率的计算
x' = – asint, x'' = – acost, y' = bcost, y'' = – bsint. 代入曲率公式得
k(t)a2sin2tabb2c 1．求曲线 y = sinx 的曲率． 2．求曲线 x = acos3t, y = asin3t 的曲率．
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a
P
C
b
g
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2.3 空间曲线-基本向量的计算公式
设 C: r = r(t) 由一般参数给出，则三个基本 向量的计算公式为
a = r' / | r' | , g = (r' ∧ r'' ) / | r' ∧ r'' | , b=g∧a.
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2.3 空间曲线-例子
例. 求螺旋线 r = (cost, sint, t) 在点 P(1,0,0) 处的三个基本向量．
今后为了简便，我们把“参数曲线”简称为 “曲线”；把 R2 中的曲线叫平面曲线，把 R3 中的曲线叫空间曲线．
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2.1 曲线的概念 -曲线的例子圆弧
圆弧. 曲线 C: r = (cost, sint), t∈(0, 2p) 是正则 曲线，它是一条半径为 1 的 圆弧．（如图）
( cost, sint ) sint
XacostYasintZbt. asint acost b
法平面方程为
a sin t(X ac o st) ac o st(Y a sin t) b (Z b t) 0 .
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2.1 曲线与曲面的概念-曲线的弧长
设有一段正则曲线 r(t) = (x(t), y(t), z(t))，a ≤ t ≤ b．则该曲线的弧长为
2
2
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练习题 1．求曲线 x = acost, y = bsint, z = et 在 t = 0 点
的切线、主法线、副法线、密切平面、从 切平面与法平面方程． 2．证明曲线的密切平面与曲线的参数选取无 关．
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2.3 空间曲线-曲率与挠率
设 C: r = r(s) 是空间曲线，称 k (s) = |a ∙ (s)| 为曲线 C 在点 r(s) 处的曲率，而 a ∙ 叫曲率
以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式．
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2.2 平面曲线-曲率计算公式
定理. 设曲线 C: r(t) = (x(t), y(t))，则其曲率
为
k(t)|x(xt)(yt)(2t )yx(t()t2)y3/(2t)|.
如果曲线方程为 y = y(x)，取 x 为参数，则
曲线的参数表示为 r = (x, y(x))，其曲率为
解：直接计算得
r' (t) = (– sint, cost, 1),
r'' (t) = (– cost, – sint, 0). 在给定点 P 处的参数 t = 0，所以有 r' (0) = (0,1,1)，r'' (0) = (– 1,0,0)． 代入上面的基本向量计算公式得
α 1(0 ,1 ,1 ),β ( 1 ,0 ,0 ),γ1(0 , 1 ,1 ).
2.2平面曲线-在一点附近的结构
设曲线 C: r = r(s)．则
当 k (s) 不为 0 时，曲线近似于抛物线． 当 k (s) = 0，但 k ∙ (s) 不为 0 时，曲线近似
于一条近似立方抛物线．（看证明）
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2.3 E3的曲线
内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷 内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平 面、一般螺旋线等 重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从 切平面方程、伏雷内公式的应用
Xx(t0) Yy(t0) Zz(t0) x(t0) y(t0) z(t0) 0. x(t0) y(t0) z(t0)
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2.3 空间曲线-例子
例. 求螺旋线 r = (cost, sint, t) 在点 P(1,0,0) 处的密切平面方程．
解：直接计算得 r' (t) = (– sint, cost, 1),
向量．
空间曲线除了弯曲外，还有扭转．为了刻 画扭转的程度，我们引进挠率的概念．
我们把 t 叫曲线的挠率，这里
t ||γγ||,,
γβ0; γβ0.
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2.3 空间曲线-伏雷内公式
定理.（伏雷内公式）
a ∙ = kb, b ∙ = – ka + tg, g ∙ = – tb.
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2.3空间曲线-曲率与挠率计算公式
t O cost
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2.1 曲线的概念 -曲线的例子抛物线
抛物线. 曲线 C: r = (x, x2), x∈(–∞, +∞) 也 是一条正则曲线，它是抛物线．
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2.1 曲线的概念 -曲线的例子圆柱螺线
圆柱螺线. 曲线 C: r = (a cost, a sint, bt), t ∈ (–∞,+∞) 也是一条正则曲线，它是缠绕在半径 为 a 的圆柱面 x2 + y2 = a2 上的一条圆柱螺旋 线．
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2.2 平面曲线-伏雷内公式
由 b 的定义有 a ∙ (s) = |a ∙(s)| b (s)． 令 k(s) = |a ∙ (s)|，则有
a ∙ (s) = k (s)b (s). 我们把 k (s) 叫曲线 C 在 r(s) 处的曲率．
定理. （伏雷内公式）我们有
a ∙ = kb , b ∙ = – ka .