上海江湾初级中学八年级数学上册第二单元《全等三角形》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中AB CD ⊥，现添加以下条件，不能判定ABC ABD △≌△的是（ ）
A ．AC
B ADB ∠=∠
B ．AB BD =
C ．AC A
D = D ．CAB DAB ∠=∠
2．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点
,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）
A ．2
B ．5
C ．3
D ．7
4．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（ ）
A ．1＜AD ＜6
B ．1＜AD ＜4
C ．2＜A
D ＜8 D ．2＜AD ＜4 5．下列说法不正确的是（ ）
A ．三边分别相等的两个三角形全等
B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等
D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
6．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A ．5PQ >
B ．5PO ≥
C ． 5PQ <
D ．5PO ≤ 7．如图，AD 是ABC 的角平分线，:4:3AB AC = ，则ABD △与ACD △的面积比
为（ ）．
A ．4:3
B ．16:9
C ．3:4
D ．9:16 8．下列各命题中，假命题是（ ）
A ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
B ．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等
C ．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等
D ．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等
9．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )
A ．EFC ∠
B ．AB
C ∠ C ．FDC ∠
D ．DFC ∠ 10．如图所示，已知∠A ＝∠C ，∠AFD ＝∠CEB ，那么给出的条件不能得到
ADF CBE △≌△是（ ）
A ．∠
B ＝∠D B ．EB=DF
C ．AD=BC
D ．AE=CF 11．如图，在△ABC 中，点
E 和
F 分别是AC ，BC 上一点，EF ∥AB ，∠BCA 的平分线交AB 于点D ，∠MAC 是△ABC 的外角，若∠MAC ＝α，∠EFC ＝β，∠ADC ＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（ ）
A ．β＝α+γ
B ．β＝2γ﹣α
C ．β＝α+2γ
D ．β＝2α﹣2γ 12．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ）
A ．3A
B =，4B
C =，7CA =
B ．4A
C =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒
D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒
二、填空题
13．如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD=AE ，请添加一个条件，使得
ABE ≌ACD ．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．
14．已知点(2,1)P m m -，当m =____时，点P 在二、四象限的角平分线上． 15．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,
BAD DC AB ︒∠==，
则CAD ∠=________度．
16．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点P ，已知AD ＝AE ．若△ABE ≌△ACD ，则可添加的条件为_____．
17．如图，AB ＝8cm ，AC ＝5cm ，∠A ＝∠B ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向B 运动，同时，点Q 以x cm/s 的速度从点B 出发在射线BD 上运动，则△ACP 与△BPQ 全等时，x 的值为_____________
18．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；
如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；
如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．
19．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．
20．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 的平分线交BC 于D ，若20ABD S ∆=cm 2，AB =10cm ，则CD 为__________cm ．
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（不与点B ，C 重合），过点C 作CE ⊥AD ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ．
（1）请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系；
（2）若点D 是BC 中点，在图2中画出图形，猜想线段AD ，CF ，FD 之间的数量关系，并证明你的猜想．
22．已知ABC 为等腰直角三角形，AB AC =，ADE 为等腰直角三角形，AD AE =，点D 在直线BC 上，连接CE ．
（1）若点D 在线段BC 上，如图1，求证：CE BC CD =-；
（2）若D 在CB 延长线上，如图2，若D 在BC 延长线上，如图3，其他条件不变，又有怎样的结论？请分别写出你发现的结论，不需要证明；
（3）若10CE =，4CD =，则BC 的长为________．
23．如图，点E 在线段BD 上，已知,,AB AC AD AE BE CD ===．
（1）求证：BAC EAD ∠=∠．
（2）写出123∠∠∠、、之间的数量关系，并予以证明．
24．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．
（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．
（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．
25．已知：如图，AC ＝BD ，BD ⊥AD 于点D ，AC ⊥BC 于点C ．求证：∠ABC ＝∠BAD ．
26．命题：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等，写出它的逆命题，并判断逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举反例．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据已知条件可得∠ABC=∠ABD=90°，AB=AB ，结合全等三角形的判定定理依次对各个选项
判断．
【详解】
解：∵AB CD ⊥，
∴∠ABC=∠ABD=90°，
∵AB=AB ，
∴若添加ACB ADB ∠=∠，可借助AAS 证明ABC ABD △≌△，A 选项不符合题意； 若添加AB BD =，无法证明ABC ABD △≌△，B 选项符合题意；
若添加AC AD =，可借助HL 证明ABC ABD △≌△，C 选项不符合题意；
若添加CAB DAB ∠=∠，可借助ASA 证明ABC ABD △≌△，D 选项不符合题意； 故选：B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能结合题上已知条件选取合适的定理是解题关键．
2．B
解析：B
【分析】
先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：在△ABC 和△ADC 中，
∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABC ≌△ADC （SSS ），
∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA
∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确
在△ABO 与△ADO 中
AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABO ≌△ADO （SAS ），
∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA
∵∠BOA+∠DOA=180°
∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥
故①④正确；
∵AD≠CD
∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误
所以，正确的结论是①②④，共3个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．C
解析：C
【分析】
先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．
【详解】
解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，
∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，
∵AEF BED ∠=∠，
∴EAF EBD ∠=∠，
∵5AD BD ==，
∴△ACD ≌△BED ，
∴CD=ED=2，
∴523AE AD ED =-=-=；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．
4．B
解析：B
【分析】
先延长AD 到E ，且AD DE =，并连接BE ，由于ADC BDE ∠=∠，BD DC =，利用SAS 易证ADC EDB ≌，从而可得AC BE =，在ABE △中，再利用三角形三边的关系，可得28AE <<，从而易求14AD <<．
【详解】
解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，则AE=2AD ，
∵AD DE =，ADC BDE ∠=∠，BD DC =，
∴ADC EDB ≌()SAS ，
3BE AC ∴==，
在AEB △中，AB BE AE AB BE -<<+，
即53253AD -<<+，
∴14AD <<．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．B
解析：B
【分析】
直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA是不能判定三角形全等的.
【详解】
解：A，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；
B，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA或AAS判定全等，故本选项正确；
D，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确．
故选：B
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
6．B
解析：B
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．
【详解】
∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
过点D作DE垂直于AB，DF垂直于AC，由AD为角BAC的平分线，根据角平分线定理得到DE=DF，再根据三角形的面积公式表示出△ABD与△ACD的面积之比，把DE=DF以及AB：AC的比值代入即可求出面积之比．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴DE=DF，又AB：AC=4：3，
∴S△ABD：S△ACD=（1
2AB•DE）：（
1
2
AC•DF）=AB：AC=4：3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．此类题经常过角平分线上作角两边的垂线，这样可以得到线段的相等，再结合其他的条件探寻结论解决问题．
8．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定定理进行证明并依次判断．
【详解】
解：A、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
B、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；
C、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
D、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
故选：B．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，灵活判定命题真假，熟记定理并灵活应用解决问题是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据
1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．
【详解】
解：在ABC ∆和CED ∆中，
AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()ABC CED SSS ∴∆≅∆，
B E ∴∠=∠，FCD FD
C ∠=∠
1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，
2CFE x ∴∠=︒，
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，
FDC x ∴∠=︒．
故答案为C ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
直接利用全等三角形的判定方法进行判断即可；三角形全等的证明方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ；
【详解】
A ∵∠A=∠C ，∠AFD=∠CE
B ，∠B=∠D ，三个角相等，不能判定三角形全等，该选项不符合题意；
B ∵∠A=∠
C ，∠AFD=∠CEB ，EB=DF ，符合AAS 的判定，该选项符合题意；
C ∵∠A=∠C ，∠AFD=∠CEB ，AD=BC ，符合AAS 的判定，该选项符合题意；
D ∵∠A=∠C ，∠AFD=∠CEB ，AE=CF ，∴AF=C
E ，符合ASA 的判定，该选项符合题意； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，正确掌握判定方法是解题的关键；
11．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD，根据∠ADC 是△BDC的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB，于是得到结果．
【详解】
解：∵EF∥AB，∠EFC=β，
∴∠B=∠EFC=β，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB=2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∵∠ADC=γ，
∴∠BCD=γ-β，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC=∠B+∠ACB，
∵∠MAC=α，
∴α=β+2（γ-β），
∴β=2γ-α，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
利用构成三角形的条件，以及全等三角形的判定得解.
【详解】
+=，不满足三边关系，不能画出三角形，故选项错误；
解：A，AB BC CA
B，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；
C，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；
D，可以利用直角三角形全等判定定理HL证明三角形全等，故选项正确.
故选:D
【点睛】
本题考查三角形全等的判定以及构成三角形的条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.
二、填空题
13．∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）【分析】根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠AAD=AE两个条件对应相等故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌ACD【详解】∵∠A=∠
解析：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）
【分析】
根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠A，AD=AE两个条件对应相等，故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌ACD．
【详解】
∵∠A=∠A，AD=AE，
∴当∠B=∠C时，可利用AAS证明ABE≌ACD；
当∠ADC=∠AEB时，可利用ASA证明ABE≌ACD；
当AB=AC时，可利用SAS证明ABE≌ACD；
故答案为：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明三角形全等，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．14．【分析】根据第二四象限角平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数列方程求解即可【详解】解：∵点P（2mm-1）在二四象限的角平分线上∴2m=-（m-1）解得m=故答案为：【点睛】本题考查了点的坐标熟记第
解析：1 3
【分析】
根据第二四象限角平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数列方程求解即可．【详解】
解：∵点P（2m，m-1）在二、四象限的角平分线上，
∴2m=-（m-1），
解得m=1
3
．
故答案为：1
3
．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记第二四象限角平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数是解题的关键．
15．66【分析】在线段CD上取点E使CE=BD再证明△ADB≅△AEC即可求出【详解】在线段DC取点ECE=BD连接
AE∵CE=BD∴BE=CD∵AB=CD∴AB=BE∠BAE=∠BEA=（180°-4
解析：66
【分析】
在线段CD上取点E使CE=BD，再证明△ADB≅△AEC即可求出．
【详解】
在线段DC 取点E ，CE =BD ，连接AE ，
∵CE =BD ，
∴BE =CD ，
∵AB =CD ，
∴AB =BE ，∠BAE =∠BEA =（180°-48°）÷2=66°，
∴∠DAE =48° ，∠AED =66°，
∴△ADB ≅△AEC ，
∴∠BAD =∠CAE =18°，
∴∠CAD =∠DAE +∠CAE =66°．
故答案为：66．
【点睛】
本题考察了全等三角形的证明和三角形内角和定理，解题的关键是做出辅助线找到全等三角形．
16．AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理（SASASAAASSSS ）即可得出答案【详解】解：添加条件：AB ＝AC 在△ABE 和△ACD 中∴△ABE ≌△A
解析：AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）
【分析】
根据全等三角形的判定定理（SAS ，ASA ，AAS ，SSS ）即可得出答案．
【详解】
解：添加条件：AB ＝AC ，
在△ABE 和△ACD 中，
AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （SAS ）；
添加条件：∠B ＝∠C ，
在△ABE 和△ACD 中，
B C A A AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （AAS ）；
添加条件：∠AEB ＝∠ADC ，
在△ABE 和△ACD 中，
AEB ADC AE AD
A A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABE ≌△ACD （ASA ）；
故答案为：AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．
17．2或【分析】由∠A ＝∠B 可知△ACP 与△BPQ 全等时CP 和PQ 是对应边则分AP ＝BQ 和AP ＝PB 两种情况进行讨论即可【详解】设动点的运动时间为t 秒则AP ＝2tBP ＝AB －AP ＝8－2tBQ ＝xt ∵∠
解析：2或
52 【分析】
由∠A ＝∠B ，可知△ACP 与△BPQ 全等时，CP 和PQ 是对应边，则分AP ＝BQ 和AP ＝PB 两种情况进行讨论即可．
【详解】
设动点的运动时间为t 秒，则AP ＝2t ，BP ＝AB －AP ＝8－2t ，BQ ＝xt ，
∵∠A ＝∠B ，
∴CP 和PQ 是对应边，
当△ACP 与△BPQ 全等时，
①AP ＝BQ ，即：2t ＝ xt ，
解得：x ＝2，
②AP ＝PB ，即：2t ＝8－2t ，
解得：t ＝2，
此时，BQ ＝AC ，xt ＝5，即：2x ＝5，
解得：x ＝52
故填：2或
52． 【点睛】
本题考查全等三角形的性质，“分类讨论”的数学思想是关键．
18．【分析】根据图形得出当有1点D 时有1对全等三角形；当有2点DE 时有3对全等三角形；当有3点DEF 时有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时图中有个全等三角形即可【详解】解：当有1点D 时有1对全
解析：)(12n n +
【分析】
根据图形得出当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形即可．
【详解】
解：当有1点D 时，有1对全等三角形；
当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；
当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形．
故答案为：
)(12n n +．
【点睛】 本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
19．4cm 【分析】由DE ⊥AB 可得∠BFE=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠DEB=90°由∠ACB=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠A=90°根据同角的余角相等可得∠A=∠DE
解析：4cm ．
【分析】
由DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断△ABC ≌△EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC ，AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=
12BC=12
BD=4． 【详解】
解：∵DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB ，
在△ABC 和△EDB 中，
ACB DBC A DEB
AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），
∴BD=BC ，AC=BE ，
∵E 是BC 的中点，BD=8cm ，
∴BE=
12BC=12
BD=4cm ， ∴AC=4cm ．
故答案为：4cm ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
20．4【分析】由角平分线的性质可知D 到AB 的距离等于DC 可得出答案【详解】解：作DE ⊥AB 于E ∵AD 平分∠CAB 且
DC ⊥ACDE ⊥AB ∴DE=DC ∵S △ABD=20cm2AB=10cm ∴•AB•DE=2
解析：4
【分析】
由角平分线的性质可知D 到AB 的距离等于DC ，可得出答案．
【详解】
解：作DE ⊥AB 于E ．
∵AD 平分∠CAB ，且DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，
∴DE=DC ，
∵S △ABD =20cm 2，AB=10cm ，
∴12
•AB•DE=20， ∴DE=4cm ，
∴DC=DE=4cm
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题
21．（1）∠BCF＝∠CAD；（2）AD＝CF+DF，证明见解析
【分析】
（1）由余角的性质可求解；
（2）过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，由“ASA”可证△ACD≌△CBG，可得CD＝BG，AD＝CG，由“SAS”可证△BDF≌△BGF，可得DF＝GF，可得结论．
【详解】
解：（1）∠BCF＝∠CAD，
理由如下：∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°＝∠ADC+∠BCF，
∴∠CAD＝∠BCF；
（2）如图所示：
猜想：AD＝CF+DF，
理由如下：过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，
则∠ACB+∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝∠ACD＝90°，
在△ACD和△CBG中，
∵
CAD BCF AC BC
ACD CBG ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD＝BG，AD＝CG，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BG＝BD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴∠CBA＝45°，
∴∠FBG＝∠CBG﹣∠CBA＝90°﹣45°＝45°，∴∠FBG＝∠FBD，
在△BDF和△BGF中，
BF BF FBD FBG BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDF ≌△BGF （SAS ），
∴DF ＝GF ，
∵AD ＝CG ＝CF +FG ，
∴AD ＝CF +DF ．
【点睛】
本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）图2：CE CD BC =-；图3：CE BC CD =+；（3）14或6
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠BCA=45°，得到∠BAD=∠CAE ，利用SAS 定理证明ABD ACE △≌△，根据全等三角形的性质得到BD=CE ，结合图形证明； （2）同（1）的方法判断出ABD ACE △≌△，得出BD=CE ，即可解决问题； （3）根据（1）（2）得到的结论代入计算即可．
【详解】
证明：（1）ABC 、ADE 均是等腰直角三角形，
AB AC ∴=，AD AE =，BAC DAE ∠=∠．
BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠．
BAD CAE ∴∠=∠，
在ABD △和CAE 中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
(SAS)ABD ACE ∴≌，
BD CE ∴=．
BD BC CD =-，
CE BC CD ∴=-．
（2）如图2中，CE CD BC =-，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE ，
即∠BAD=∠EAC ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴BD=CE ，
∴CD=BC+BD=BC+CE
即：CE CD BC =-．
如图3中，CE=BC+CD ．理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
即∠BAD=∠CAE ，
∴在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴BD=CE ，
∴BD=BC+CD ，
即CE=BC+CD ．
综上所述，若D 在CB 延长线上，如图2中，得到结论：CE CD BC =-，如图3，得到结论：CE BC CD =+．
（3）∵在图1、图2中：CE CD BC =-（已证），10CE =，4CD =
∴=+=10+4=14BC CE CD
∵在图3中：CE=BC+CD （已证），10CE =，4CD =
∴=-=10-4=6BC CE CD
即：14或6．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）312∠=∠+∠，证明见解析．
【分析】
（1）根据SSS 证BAE CAD ≅，推出 1BAE ∠=∠即可；
（2）根据全等三角形性质推出1BAE ∠=∠，2ABE ∠=∠，代入 3BAE ABE ∠=∠+∠求出即可．
【详解】
证明：（1）∵在BAE △和CAD 中
AE AD AB AC BE DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴
()BAE CAD SSS ≌， ∴1BAE ∠=∠，∴1BAE EAC EAC ∠+∠=∠+∠，
∴BAC EAD ∠=∠．
（2）312∠=∠+∠，
证明：∵BAE CAD △≌△，
∴1BAE ∠=∠，2ABE ∠=∠，
∵3BAE ABE ∠=∠+∠，
∴312∠=∠+∠．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形外角性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等．
24．（1）AC CE ⊥，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【分析】
（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE ∠=∠，进而判断出90DCE ACB ∠+∠=︒，即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）同（1）的方法，即可得出结论．
【详解】
解：（1）AC CE ⊥理由如下：
∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，
∴90B D ∠=∠=︒
在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE =⎧⎨=⎩
∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌
， ∴A DCE ∠=∠
∵90B ∠=︒，
∴90A ACB ∠+∠=︒，
∴()18090ACE DCE ACB ∠=︒-∠+∠=︒，
∴AC CE ⊥；
（2）成立，理由如下：
∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，
∴90B D ∠=∠=︒，
在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121
AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，
∴2A C E D ∠=∠，
∵90B ∠=︒，
∴190B A AC ∠+∠=︒，
∴2190DC E AC B ∠+∠=︒，
在12C FC 中，()122118090C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠=︒，
∴12AC C E ⊥；
（3）成立，理由如下：
∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，
∴190ABC D ∠=∠=︒
在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121
AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，
∴2A C E D ∠=∠，
∵190ABC ∠=︒，
∴190B A AC ∠+∠=︒，
在12C FC 中，()2112180=90C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠︒，
∴12AC C E ⊥．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．
25．详见解析
【分析】
利用HL 证明Rt △ABD ≌Rt △BAC ，即可得到结论．
【详解】
∵BD ⊥AD ，AC ⊥BC ，
∴∠D=∠C=90︒，
在Rt △ABD 和Rt △BAC 中，
AB BA BD AC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABD ≌Rt △BAC （HL ），
∴∠ABC ＝∠BAD ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，根据题中的已知条件确定两个三角形的对应相等的条件，根据全等的判定定理证得这两个三角形全等是解题的关键．
26．逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；证明见解析．
【分析】
先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题，再得出命题的正确性．
【详解】
解：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等的逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；
在Rt BCE 与Rt CBD △中，
BD CE BC CB
=⎧⎨=⎩ ∴()Rt BCE Rt CBD HL ≌，
∴DCB EBC ∠=∠．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理的证明，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，进而利用全等三角形的证明方法求出即可．。