高考数学一轮总复习 第四单元 三角函数与解三角形 课

点评：运用两角和与差的公式求值时，要注意： (1)从所求和已知所含的函数进行分析，明确变形目 标和方向． (2)从角度进行分析，寻找所求角与已知角的联系， 将“所求角”用“已知角”表示，如α＝(α＋β)－β，α＋π3 ＝(α＋β)－(β－π3)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． (3)利用同角关系求三角函数值时，要注意根据角的 象限确定函数值的符号
考点二·两角和与差公式的逆用与变用
【例 2】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝2cos x＋sin x 的最大值为 ________．
解：(1)f(x)＝2cos x＋sin x＝
25 5( 5 cos
x＋
5 5 sin
x)，
设 sin α＝255，cos α＝ 55，则 f(x)＝ 5sin(x＋α)，
所以函数 f(x)＝2cos x＋sin x 的最大值为 5.
(2)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°tan 40°的值为__________．
解： (2) 原式＝tan(20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＋ 3tan 20°·tan 40° ＝ 3(1－tan 20°tan 40°)＋ 3tan 20°tan 40° ＝ 3－ 3tan 20°tan 40°＋ 3tan 20°tan 40° ＝ 3.
【变式探究】
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知 tan(α－54π)＝15，则 tan α＝
.
解： (方法一：利用正切的差角公式展开求解) tan(α－54π)＝tan(α－π4)＝t1a＋n αta－n α1＝15， 解得 tan α＝32.
(方法二：利用角的配凑求解) 因为 α＝(α－54π)＋54π. 所以 tanα＝1t－antaαn－α54－π5＋4πttaann5454ππ＝1－15＋15×1 1＝32. (方法三：利用换元法进行求解) 设 θ＝α－54π，则 α＝θ＋54π， 且 tan θ＝15， 所以 tan α＝tan(θ＋54π)＝1ta－n θta＋n 1α＝151－ ＋151＝23.
第四单元 三角函数与解三角形
第23讲 两角和与差的三角函数
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公 式． 3．能用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、 正切公式． 4．熟悉公式的正用、逆用、变形应用．
1．两角和与差的三角函数 (1)两角和与差的余弦C(α±β) cos(α＋β)＝______________________. cos(α－β)＝______________________. (2)两角和与差的正弦S(α±β) sin(α＋β)＝______________________. sin(α－β)＝______________________. (3)两角和与差的正切T(α±β)
tan(α＋β)＝______________________.
tan(α－β)＝______________________.
1．辅助角公式
asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，
其中 cos φ＝
a2a＋b2，sin φ＝
b a2＋b2.
2．T(α±β)的常用变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．
C．－17
D．－7
解：因为α∈(π2，π)，sin α＝35，所以cos α＝－45，
所以tan α＝－34.
所以tan(α＋π4)＝t1a－n αta＋n α1＝－14＋3＋341＝17. 答案：A
4.
1＋tan 1－tan
1155°°的值为()来自A. 33 B. 3
C．1
1 D.2
解：11＋ －ttaann 1155°°＝1t－ant4an5°4＋5°ttaann1155°°＝tan(45°＋15°) ＝tan 60°＝ 3.
tan α－tan β＝tan(α－β)·(1＋tan αtan β)．
1．若cos(α＋β)＝51，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β的值为( )
1
1
A.2
B.3
1
1
C.5
D.15
解：因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝51，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝53，② ①×3－②得2cos αcos β＝4sin αsin β，即tan αtan β＝12. 答案：A
(2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2， 又因为cos(α－β)＝1134，
所以sin(α－β)＝ 1－cos2α－β ＝
3143， 所以cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1143＋4 7 3×3143＝12.
1－11342 ＝
两角和与差公式的正用 两角和与差公式的逆用与变用 两角和与差公式的整体运用
考点一·两角和与差公式的正用
【例1】已知cos α＝71，cos(α－β)＝1143，且0<β<α<π2. (1)求tan(α＋π3)的值； (2)求cos β的值． 解：(1)由cos α＝17，0<α<π2，得
sin α＝ 1－cos2α＝ 1－172＝473， 所以tan α＝csoins αα＝473×7＝4 3， 于是tan(α＋π3)＝1t－antαan＋αttaannπ3π3 ＝1－4 43＋3×3 3＝－5113.
答案：A
5． sin 15°＋sin 75°的值是_______.
解：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°
＝
2(
2 2 sin
15°＋
2 2 cos
15°)
＝ 2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)
＝
2sin 60°＝
2×
23＝
6 2.
答案：
6 2
2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( D )
A．－
3 2
B.
3 2
C．－12
1 D.2
解：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.
3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )
1 A.7
B．7