数学七年级上北师大版3.5第2课时借助运算解释规律和现象同步练习

第 2 课时借助运算解说规律和现象
重点问答
① 填空：
□○△☆□○△☆□○________☆ .
1．①如图 3－ 5－ 4，一串风趣的图案按必定的规律摆列，请认真察看，按此规律第2018 个图案是 ()
图3－ 5－ 4
图3－ 5－ 5
2.如图 3－ 5－ 6 所示是用火柴棒搭成的图形，请写出第④个图形需要________根火柴棒，猜想第个图形需要________根火柴棒．
图 3－ 5－ 6
命题点1图
形数目递加规律猜想型[热度： 96%]
3．②察看如图3－ 5－ 7 所示的一组图形，此中图形①中共有 2 颗星，图形②中共有 6 颗星，图形③中共有11 颗星，图形④中共有17 颗星，，按此规律，图形⑧中星星的颗数是()
图 3－ 5－ 7
A ． 43
B ．45 C． 51 D ． 53
解题打破
② 列出部分图形中星星的颗数，依据变化找出每个图形中星星的数目变化规律，而后依据数目变化规律计算
结果
4．③如图 3－5－ 8，它们是按必定规律摆列的，依据此规律，第9 个图形中共有 ________个★，第n 个图形中共有 ________个★ .
图3－ 5－ 8
方法点拨
③ 解决这种问题第一从简单图形下手，抓住跟着“编号”或“序号”的增添，后一个图形与前一个图形在数目上的变化状况，找出数目上的变化规律，进而推出一般性的结论．
5．用相同大小的黑色棋子按图3－ 5－ 9 所示的规律摆放，则第239 个图形中共有 ________枚棋子．
图3－ 5－ 9
6．④如图 3－ 5－ 10 是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形构成的，此中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 ________个涂有暗影的小正方形(用含 n 的代数式表示)．
图3－ 5－ 10
解题打破
④ 依据图形的变化规律，探究相邻两个图形中涂有暗影的小正方形的个数之间的关系
命题点2对于图形周长和面积的概括猜想[ 热度： 90%]
7．察看图3－ 5－ 11：
当图中有 1 个梯形时，图形的周长＝5；
当图中有 2 个梯形时，图形的周长＝8；
当图中有 3 个梯形时，图形的周长＝________；
当图中有 4 个梯形时，图形的周长＝________；
依据上述结论可推测出，当图中有n 个梯形时，图形的周长为 ________．
图3－ 5－ 11
8．⑤如图 3－ 5－12，边长分别为 1， 2， 3，4，， 2017， 2018 的正方形叠放在一同，则图中暗影部分的面积和为 ________．
图3－ 5－ 12
方法点拨
⑤ 每一个暗影部分的面积等于两个相邻正方形面积的差，这样能够将暗影部分的面积看作边长为偶数的正方形的面积减去边长为奇数的正方形的面积
9．⑥如图 3－ 5－ 13，将边长分别为 1， 2， 3，5，的若干个正方形依据必定的规律拼成不一样的长方形，
挨次记作长方形①，长方形②，长方形③，长方形④，，据此回答以下问题：
(1)构成长方形的正方形的个数为________；
(2)求长方形⑥的周长．
图 3－ 5－ 13
解题打破
⑥ 针对此类题型，第一要找出发生变化的是哪部分，而后找寻规律，找出各部分变化前后的联系．
10． ⑦
建模
是数学的中心修养之一，小明在计算
1＋ 1
＋ 1 ＋ ＋ 1
时利用了如图 3－ 5－ 14 所示的正方形模型．
3
32 33
3n
设正方形的面积为 1，第 1 次切割，把正方形的面积三平分，暗影部分的面积为
2；
3
第 2 次切割，把上一次切割图中空白部分的面积持续三平分，暗影部分的面积之和为
2＋ 2 ；
3 32
第 3 次切割，把上一次切割图中空白部分的面积持续三平分，暗影部分的面积之和为
2＋
2
2＋ 2
3；
3 3 3
由此计算
1
3＋ 312＋ 313＋ ＋ 31
n 的结果是 __________( 用含 n 的代数式表示 )．
图 3－ 5－ 14
解题打破
⑦ 解决此类题型的重点是搞清楚图形切割前后的面积关系
11． ⑧
已知一个面积为 S 的等边三角形，现将其各边
n(n 为大于 2 的整数 )平分，并以相邻平分点为极点向外
作小等边三角形 (如图 3－ 5－ 15 所示 )．
图 3－ 5－ 15
(1) 当 n ＝ 5 时，共向外作出了 ________个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为 ________；
(2) 当 n ＝ k 时，共向外作出了 ________个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为
________；(用含 k 的
式子表示 )
(3) 若大等边三角形的面积为 100，则当 n ＝ 10 时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？
解题打破
⑧由当 n＝ 3，n＝4 时，向外作出的小等边三角形的个数，剖析向外作出的小等边三角形的个数与n 的关系，即 n 每增添 1，向外作出的小等边三角形的数目增添3
详解详析
第 2 课时借助运算解说规律和现象
1． B [分析 ] 依据题意可知图案是 4 个一循环．由于2018 ÷4＝5042，因此第2018 个图案与第 2 个图案相同．应选 B.
2． 13 (3n＋ 1)
3． C [分析 ] 图形①中星星的颗数为2；
图形②中星星的颗数为6＝ 2＋ 4；
图形③中星星的颗数为11＝2＋ 4＋ 5；
图形④中星星的颗数为17＝ 2＋ 4＋ 5＋ 6；
图形⑤中星星的颗数为24＝ 2＋ 4＋ 5＋ 6＋7；
图形⑧中星星的颗数为51＝ 2＋ 4＋ 5＋ 6＋7＋ 8＋ 9＋10.
4． 28 (3n＋ 1)
5． 718 [分析 ] 察看图形知：
第1 个图形中有 3＋ 1＝ 4(枚) 棋子，
第2 个图形中有 3× 2＋ 1＝ 7(枚 )棋子，
第3 个图形中有 3× 3＋ 1＝ 10(枚 )棋子，
第4 个图形中有 3× 4＋ 1＝ 13(枚 )棋子，
第n 个图形中有 (3n＋ 1)枚棋子，
当n＝ 239 时， 3× 239＋ 1＝ 718(枚 )．
故答案为 718.
6． (4n＋1)
[ 分析 ] 第 1 个图案中涂有暗影的小正方形的个数为5；
第 2 个图案中涂有暗影的小正方形的个数为5× 2－1＝ 9；
第 3 个图案中涂有暗影的小正方形的个数为5× 3－2＝ 13；
第 n 个图案中涂有暗影的小正方形的个数为5n－ (n－ 1)＝ 4n＋ 1.
7． 11 14 3n＋ 2 [分析 ] 当图中有 3 个梯形时，图形的周长为11，当图中有 4 个梯形时，图形的周长为14.
总结规律：每增添一个梯形，图形的周长增添3，
则当图中有 n 个梯形时，图形的周长为5＋ 3(n－ 1)＝ 3n＋ 2.
8． 2037171 [ 分析 ] 第一个暗影部分的面积等于第二个正方形的面积减去第一个正方形的面积，第二个阴
影部分的面积等于第四个正方形的面积减去第三个正方形的面积，依此类推，最后一个暗影部分的面积等于最后
4
一个正方形的面积减去倒数第二个正方形的面积．
图中暗影部分的面积为(22－ 1) ＋ (42－ 32)＋＋ (2018 2－ 2017 2) ＝ (2 ＋ 1)× (2－ 1) ＋ (4 ＋ 3)× (4 － 3) ＋＋
(2018 ＋ 2017) × (2018－ 2017)＝1＋ 2＋ 3＋ 4＋＋ 2017＋ 2018＝2018 ×（ 1＋ 2018）
＝ 2037171.
2
9． [ 分析 ] (1) 联合图形剖析获得正方形的个数；
(2) 依据长方形的周长计算公式，找出第个长方形与前一个长方形的长、宽之间的关系，而后计算结果．解： (1)第①个长方形中，正方形的个数为2；
第②个长方形中，正方形的个数为3；
第③个长方形中，正方形的个数为4；
第个长方形中，正方形的个数为n＋ 1.
(2)第①个长方形的周长为 2× (1＋2)；第
②个长方形的周长为 2× (2＋ 3)；第③个
长方形的周长为 2× (3＋ 5)；第④个长方
形的周长为 2× (5＋ 8)；
第个长方形的宽为前一个长方形的长，
第
个长方形的长为前一个长方形长与宽的和．
故第⑤个长方形的周长为 2× (8＋ 13)，第⑥个长方形的周长为
2× (13＋21)＝ 68.
11 10. 2－ 2× 3n
[ 分析 ] 第 1 次切割，暗影部分的面积为
2
，空白部分的面积为
1－ 2＝1
；
3
3 3
第 2 次切割，暗影部分的面积之和为
2＋ 2
2，空白部分的面积为 1－( 2＋ 22)＝ 1
2；
3 3
3 3 3
第 3 次切割，暗影部分的面积之和为
2
＋
2
2＋
2
3，空白部分的面积为 1－(2＋ 22＋ 2
3)＝ 1
3；
3 3
3
3 3 3 3
第 n 次切割，全部暗影部分的面积之和为
2
2 2 2 1
3 ＋ 2＋ 3＋ ＋
3
n ，空白部分的面积是
n .
3 3
3
依据第 n 次的切割图可知 2＋ 2 ＋ 2 ＋ ＋
2
＝ 1－
1
，
3 32
33
3n
3n
将上述等式两边同时除以
2，得 1＋ 12＋ 1
3＋ ＋ 1n ＝1
－ 1 3
n .
3 3 3 3 2 2×
11．解： (1)n ＝ 5 对应图中第三个图形，共向外作出了
3×3＝ 9(个 )小等边三角形，每个小等边三角形的面积
为 12·S ＝
1
S.
5
25
3（ k － 2）
(2) 当 n ＝ k 时，共向外作出了 3(k －2) 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为
k 2S.
5
数学七年级上北师大版3.5第2课时借助运算解释规律和现象同步练习
3（n－ 2）3×（ 10－ 2）
(3) 当 S＝ 100， n＝ 10 时， 3(n－ 2)＝ 3× (10－ 2)＝ 24(个 )，n2S＝102
× 100＝ 24.即共向外作出了 24 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为24.。