2023-2024学年广西贺州高一下学期第一次月考质量检测数学试题(含解析)

2023-2024学年广西贺州高一下册第一次月考数学试题
一、单选题
1．已知集合{}{}3,2,3,5,6,8A x x B =>=，则A B ⋂=（）
A ．{2，3，5}
B ．{3，5，6，8}
C ．{5，6，8}
D ．∅
【正确答案】C
【分析】根据集合的交集的定义可得.
【详解】根据交集的定义可知，5,6,8即是集合A 的元素，也是集合B 的元素，所以{}5,6,8A B = .故选：C
2．已知命题:p x ∃∈R ，2230x x ++<，则命题p 的否定是A ．x ∃∈R ，2230x x ++>B ．x ∀∈R ，2230x x ++≤C ．x ∀∈R ，2230x x ++≥D ．x ∀∈R ，2230
x x ++>【正确答案】C
【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题p 的否定.【详解】命题p 为特称命题，其否定为:p x ⌝∀∈R ，2230x x ++≥.故选：C.
本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.3．化简3(2)2()a b a b +-+
的结果为（
）
A ．4r r a b
+B ．a b
+
C ．2a b +
D ．a b
- 【正确答案】A
【分析】由向量的加减运算法则即可求解.【详解】解：3(2)2()4a b a b a b +-+=+r r r r r r
，
故选：A.
4．已知复数z 满足(1i)2i z +=-，则z 的实部为（）A ．32
-
B ．1
2
C ．12
-
D ．
32
【正确答案】B 【分析】化简得到13i
2
z -=，从而得到z 的实部.【详解】()()()()2i 1i 2i 13i 13
i 1i 1i 1i 222
z ----=
===-++-，
故z 的实部为12
.故选：B.
5．若0x >，则4x x
+的最小值是（）
A ．4
B ．
3
2C ．D ．
14
【正确答案】A
【分析】根据基本不等式计算直接得出结果.【详解】因为0x >，所以4
0x
>，
则44x x +
≥=，当且仅当4
x x
=即2x =时，等号成立.
所以4x x
+的最小值为4.故选：A.
6．函数()lg(31)f x x =-的定义域为（）
A ．1,13⎛⎤ ⎥
⎝⎦
B ．(0,1]
C ．1,3⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭D ．10,3⎛⎫
⎪
⎝⎭
【正确答案】A
【分析】要使()()lg 31f x x =-有意义，则有10
310x x -≥⎧⎨->⎩，解出即可.
【详解】要使()()lg 31f x x =-有意义，则有10310
x x -≥⎧⎨->⎩，解得1
1
3x <≤
所以函数()()lg 31f x x =-的定义域为1,13⎛⎤
⎥
⎝⎦
故选：A
本题考查的是函数定义域的求法，涉及对数函数，较简单.注意对数的真数大于零，负数不能开平方，即可列出不等式组，进而求解.7．已知4sin 5α=，π,π2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则cos 2α的值为（）
A ．
725
B ．
24
25
C ．2425-
D ．725
-
【正确答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式可求得cos 2α的值.
【详解】由题意知，2167cos 212sin 122525
αα=-=-⨯
=-，故选：D.
8．已知定义在R 上的偶函数()f x 在()0,∞+上是减函数，则（）
A ．()()()354f f f <-<-
B ．()()()453f f f -<-<
C ．()()()345f f f <-<-
D ．()()()
543f f f -<-<【正确答案】D
【分析】先化简(3)(3)f f =-，再利用函数的单调性判断得解.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(3)(3)f f =-.因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在()0,∞+上是减函数，所以函数()f x 在(),0∞-上是增函数，
因为543,(5)(4)(3)(3)f f f f -<-<-∴-<-<-=.故选：D.
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、多选题
9．已知()1,3a =
，()2,1b =- ，下列计算正确的是（）
A ．()
1,4a b +=-
B ．()3,2a b -=
C ．()
1,2b a -=
D ．()
1,2a b --=
【正确答案】AB
【分析】根据向量坐标表示的线性运算即可得出答案.【详解】解：因为()1,3a =
，()2,1b =- ，所以()1,4a b +=- ，故A 正确；
()3,2a b -=
，故B 正确；()3,2b a -=--
，故C 错误；()1,4a b --=-
，故D 错误.
故选：AB.
10．已知复数34i z =-（其中i 是虚数单位），则下列命题中正确的为（）
A ．5
z =B ．z 的虚部是-4
C ．34i z -+是纯虚数
D ．z 在复平面上对应点在第四象限
【正确答案】ABD
【分析】根据复数模的定义、复数虚部的定义，结合纯虚数的定义、复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.
【详解】A ：复数34i z =-，则5z ==，故A 正确；B ：34i z =-的虚部是4-，故B 正确；
C ：34i 34i 34i 0z -+=--+=，是实数，故C 错误；
D ：z 在复平面上对应点的坐标为()3,4-，在第四象限，故D 正确.故选：ABD.
11．下列两个向量，不能作为基底向量的是（
）
A ．12(0,0),(1,2)e e ==
B ．12(2,1),(1,2)e e =-=
C ．12(1,2),(1,2)
e e =--=
D ．12(1,1),(1,2)
e e ==
【正确答案】AC
【分析】根据两个向量不平行能作为基底确定正确选项.
【详解】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e
不能作为基底.B 选项，12,e e
不平行，可以作为基底.
C 选项，12e e =-
，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e
不平行，可以作为基底.
故选：AC
12．设函数()πsin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则下列结论正确的是（
）
A ．()y f x =是奇函数
B ．()y f x =的周期是π
C ．()y f x =的图象关于(,0)6
π
-对称D ．()y f x =的图象关于直线2
x π
=
对称
【正确答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性、周期、和对称性依次判断选项即可.【详解】A ：由题意知，()sin(2)()3
f x x f x π
-=-+≠-，所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误；B ：由22
T π
π=
=，知函数()f x 的周期为π，故B 正确；C ：由2()sin()sin 00663f πππ
-=-
+==，得点(,0)6
π-为函数()f x 的一个对称点，故C 正确；
D ：由()sin()sin 233f ππππ=+=-=2x π=不是函数()f x 的对称轴，故D 错误.
故选：BC.三、双空题
13．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知222a c b ac +=+，则B =__，若1a =，2c =，则ABC 的面积为__.
【正确答案】
π
3
##60︒【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果.
【详解】由于2
2
2
a c
b a
c +=+，则2221
cos 22
a c
b B a
c +-==，
由于0πB <<；所以π
3
B =
；
故1sin 22
ABC S ac B =
=
.
故答案为.π32
四、填空题
14．已知,a b 是非零向量，若(2,1)a =- ，(6,)b y = ，且//a b
，则实数y 的值为______.
【正确答案】-3
【分析】根据向量共线，列出方程，求解即可解出.
【详解】因为//a b
，所以2160y --⨯=，解得=3y -.故答案为.3
-15．已知向量()1,2a =- ，()2,b λ=
，若()
a b a +⊥r r r ，则λ=___________.
【正确答案】3
2-##-1.5
【分析】求出a b +
的坐标，利用向量垂直的坐标形式可得关于λ的方程，从而得到λ的值.【详解】因为()1,2a =- ，(2,)b λ= ，故(1,2)a b λ+=+r r ，
因为()
a b a +⊥r r r ，故112(2)0λ-⨯++=，解得32
λ=-.
故答案为.32
-
16．已知函数f (x )＝24,0
3,0
x x x x ->⎧⎨--<⎩，则f (f (－6）＝________.
【正确答案】2
【分析】先求(6)f -的值，再求((6))f f -的值得解.【详解】由题得(6)(6)33f -=---=，所以((6))(3)2342f f f -==⨯-=.故2.五、解答题17．计算：(1)()()23i 12i -+；
(2)()sin()cos 2
sin()cos()
π
απαπαα++--+-.【正确答案】(1)8+i (2)0
【分析】（1）根据复数的乘法运算直接得出结果；（2）根据三角函数的诱导公式直接得出结果.【详解】（1）原式224i 3i 6i 8i =+--=+；（2）原式cos cos 0sin cos αα
αα
-=
=+.
18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .
已知a =2b =，60A =︒.（1）求sin B 的值；（2）求c 的值.
【正确答案】（1
）sin B =
；（2）3c =.【分析】由正弦定理求出sin B ，由余弦定理列出关于c 的方程，然后求出c ．【详解】解：（1
）因为a =2b =，60A =︒.由正弦定理
sin sin a b A B =
2sin B =
，所以sin 7
B =；
（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-22222cos 60c c =+-⨯︒，
3c =，1c =-（舍），所以3c =.
本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．
19．（1）若向量()()1,21,1a b ==- ，，求2a b + 与a b - 的夹角；
（2）已知3,a b a b ==-= a 与b
夹角的余弦值.
【正确答案】（1）4
π
θ=
；（2）
3
【分析】(1)根据平面向量的数量积的坐标表示和几何意义求出()()
2a b a b +⋅- 和2a b + 、a b -
，
结合数量积的定义计算即可求解；
(2)由222=27a b a a b b --⋅+= 求出2a b ⋅=
，结合数量积的定义计算即可求解.
【详解】（1）()23,3a b += ，()0,3a b -=
，
()()
203339a b a b ∴+⋅-=⨯+⨯=
，
2a b +=
3a b -= ，
设2a b + 与a b -
的夹角为θ(0≤θ≤π)，则cos
2
θ=
=，
4
π
θ∴=
.
（2）由题意知，
222
=27a b a a b b --⋅+= ，所以2a b ⋅=
，设,a b 的夹角为α，
则cos
3a b a b α⋅= .20．在ABC 中，7a =，8b =，请再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，然后解答下列问题.条件①：3c =；条件②.1
cos 7
B =-(1)求角A 的大小；(2)求AB
C 的面积.
【正确答案】(1)条件选择见解析，3
A π
=
(2)
【分析】(1)若选①，根据余弦定理即可求出A ；若选②，根据余弦定理求出3c =，再次利用余弦定理计算即可求解；
(2)根据三角形的面积公式计算直接得出结果.【详解】（1）选①，3c =，
由余弦定理可得222649491cos 22832
b c a A bc +-+-===⨯⨯，
0A π<< ，所以，3
A π
=
；
选②，222
1cos 72a c b B ac
+-=-=，
整理可得22150c c +-=，0c >Q ，解得3c =，
由余弦定理可得222649491
cos 22832
b c a A bc +-+-===⨯⨯，
0A π<< ，所以3
A π
=
.
（2）由三角形的面积公式可得
11
sin 83
222
ABC S bc A ==⨯⨯=△.
21．已知函数()()π20,0,||2f x x A ϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的部分图象，如图所示.
(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移
π3
个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的解析式.
【正确答案】(1)()π23f x x ⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭
(2)()π43g x x ⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭
【分析】（1）观察图像，由最值得到A =，由周期求得2ω=，再代入π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
求得ϕ，从而求得()
f x 的解析式；
（2）利用三角函数图像变换的性质即可求得()g x 的解析式.
【详解】（1）依题意，观察图像，可知()f x
0A >，所以A =因为15πππ2632
T =-=，所以πT =，故
2ππω=，又0ω>，所以2ω=，
所以()()2f x x ϕ=+，
因为()f x 过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭2π03ϕ⎛⎫+=
⎪⎝⎭，即2πsin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π||2ϕ<，即ππ22ϕ-<<，则π2π7π
636
ϕ<+<，
所以
2π
π3
ϕ+=，则π3ϕ=，
所以()π23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位后，可得πππ2sin 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦的图
象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2，纵坐标不变，得到函数π43y x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，
所以()π43g x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
22．在ABC 中，内角A ，
B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 3sin b A c B =，3a =，b (1)求cos B 的值；
(2)求sin(6
B π
-的值.
【正确答案】(1)23
(2)
26
【分析】(1)由正弦定理求出1c =，结合余弦定理计算即可求解；
(2)根据同角三角函数的关系求出sin B ，结合两角差的正弦公式计算即可求解.【详解】（1）由正弦定理
sin sin a b
A B
=，得3ab bc =，
因为3a =，b ，所以1c =，由余弦定理，
得2229162
cos 2233
a c
b B a
c +-+-===⨯；
（2）由（1）知：2
cos 3
B =，因为()0,πB ∈，
所以sin 3
B ==，
所以sin()sin cos sin cos 666B B B πππ
-
=-=。