2018版高中数学人教B版必修四学案：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
[学习目标] 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系．
[知识链接]
1．如何快速做出余弦函数的图象？
答 (1)依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
2，要得到y ＝cos x 的图象，只须把y ＝sin x 的图象向左平移π
2
个单位长度即可．余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如下图所示：
(2)在精度要求不高时，要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫
π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3
2π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象．
2．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
答 正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称． [预习导引]
正弦函数和余弦函数的图象、性质对比(下表中k ∈Z )
要点一 余弦函数的单调性
例1 求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫
π3－x 2的单调递增区间． 解 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝3cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π
3. 由2k π－π≤x 2－π
3≤2k π(k ∈Z )，
解得4k π－43π≤x ≤4k π＋2
3
π(k ∈Z )，
∴函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间为4k π－43π，4k π＋2
3
π(k ∈Z )． 规律方法 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想．即将ωx ＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间．若x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域． 跟踪演练1 求函数y ＝log 1
2cos ⎝⎛⎭
⎫π3－x 2的单调递增区间． 解 根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫
x 2－π3的单调递减区间， 同时x 应使cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π
2(k ∈Z )．
整理得4k π＋2π3≤x <4k π＋5π
3
(k ∈Z )．
所以函数y ＝log 1
2cos ⎝⎛⎭
⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋2π3，4k π＋5π3(k ∈Z )．
要点二 余弦函数的值域
例2 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤
π3，2π3的值域． 解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－1
3. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1
2. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝15
4；
当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－1
4.
∴函数值域为⎣⎡⎦
⎤－14，15
4. 规律方法 求三角函数最值的两种基本类型：
(1)将三角函数式化为y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式，结合有界性求最值；
(2)将三角函数式化为关于cos x (或sin x )的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值．
跟踪演练2 已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2的最大值为4，求实数a 的值． 解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π
3，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3，∴1
2a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3，∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1， 综上可知，实数a 的值为2或－1. 要点三 余弦曲线的对称性 例3 已知函数y ＝2cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2π
3. (1)在该函数的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；
(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值． 解 (1)令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π
3，k ∈Z .
令k ＝0，x ＝－π3；令k ＝1，x ＝π
6
.
∴函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的对称轴中离y 轴最近的一条对称轴的方程是x ＝π6. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y ＝f (x )，
则f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋2π3＝2cos ⎝⎛⎭
⎫2x ＋2π
3－2φ. ∵y ＝f (x )的图象关于原点(0,0)对称，∴f (0)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2π
3－2φ＝0. ∴2π3－2φ＝k π＋π2，k ∈Z .解得φ＝π12－k π
2. 令k ＝0，得φ＝π12.∴φ的最小正值是π12
.
规律方法 关于正弦、余弦函数的对称性有以下重要结论：
(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于x ＝x 0对称⇔f (x 0)＝A 或－A . (2)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0.
跟踪演练3 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π
3的图象向右平移φ个单位，正好关于y 轴对称，求φ的最小正值．
解 由题意平移后的函数为y ＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋4π
3－φ， 它是偶函数，因此，当x ＝0时，cos ⎝⎛⎭⎫4π3－φ取得最大值1或最小值－1，故4π3－φ＝2n π或(2n ＋1)π (n ∈Z )， 即4π
3
－φ＝k π (k ∈Z )． ∴φ＝4π3－k π (k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小正值π3
.
1．函数f (x )＝cos(2x ＋π
4)的最小正周期是( )
A.π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π 答案 B
解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π
2
＝π.故选B.
2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫
4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 A
解析 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称知，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π
3＋φ＝0. ∴8π3＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )． ∴φ＝k π＋π2－8π
3
(k ∈Z )．
|φ|的最小值为|φ|＝⎪
⎪⎪⎪2π＋π2－8π3＝π6. 3．已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系． 解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图．
由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π
4时，sin x ＝cos x ；
②当π4<x <5π
4
时，sin x >cos x ；
③当0≤x <π4或5π
4
<x ≤2π时，sin x <cos x .
4．(1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求f (cos x )的定义域； (2)求函数y ＝lg sin(cos x )的定义域．
解 (1)0≤cos x <1⇒2k π－π2≤x ≤2k π＋π
2，且x ≠2k π(k ∈Z )．
∴所求函数的定义域为
x ∈[2k π－π2，2k π)∪(2k π，2k π＋π
2)，k ∈Z .
(2)由sin(cos x )>0⇒2k π<c os x <2k π＋π(k ∈Z )． 又∵－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.
故所求函数定义域为x ∈(2k π－π2，2k π＋π
2
)，k ∈Z .
1.余弦函数y ＝cos x (x ∈R )是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y ＝A sin(ωx ＋φ)一样，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期也是2π
|ω|
.
2．与正弦曲线类似，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象通过变
换得到，变换规律相同．
3．在研究y＝A cos(ωx＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值．。