初中数学-与圆相关的比例线段

与圆相关的比例线段
阅读与思考
比例线段是初中数学的一个核心问题.
我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.
在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.
在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系. 相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系： 1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；
2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式. 熟悉以下基本图形和以上基本结论.
T
P
B
D
C
B
A
P
P A
D
C
B
A
例题与求解
【例1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F .若DE =3
4
CE ，AC =85，点D 为EF 的中点，则AB = . 解题思路：设法求出AE 、BE 的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.
例1题图 例2题图
【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC 、AB 都相切，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为（ ）
A ．1
B ．12
C ．13
D ．1
4
解题思路：由切割线定理知BE 2=BD ·BC ，欲求BD ，应先求BE . 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含
条件.
【例3】如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于D ，DE ⊥AB 于E .已知AE ∶ EB =4∶ 1，CD =2，求BC 的长.
解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.
【例4】如图，AC 为⊙O 的直径且P A ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DP =DC DO =2
3.
（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线； （2）求cos ∠BCA 的值. 解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.
P
【例5】如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点.延长BC 至D ，使CD =BC ，CE ⊥AD 于E ，BF 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P .
求证：PE =PC .
解题思路：易证PC 为⊙O 切线，则PC 2=PF ·P A ，只需证明PE 2= PF ·P A . 证△PEF ∽△P AE ，作出常用辅助线，突破相关角.
B
【例6】如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线. 过点P 作⊙O 的割线P AB ，交⊙O 于A 、
B两点，与ST交于点C.
求证：
1
PC=
1
2（
1
P A+
1
PB）.
解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.
能力训练
A级
1．如图，PA切⊙O于A点，PC交⊙O于B、C两点，M是BC上一点，且PA=6，PB=BM=3，OM=2，则⊙O的半径为.
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点.如果BD∥CF，BC=25，则CD= .
P
D
（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C、D，OP⊥CD于点P. 若AB=4cm，AD=8cm，⊙O的半径为5cm，则OP= .
4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=25，那么PE的长为.
5．如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM=MC，若AM=1.5，BM=4，则OC的长为（）
A．2 6 B． 6 C．2 3 D．2
2
M
D
C
B
A
C
（第5题图）（第6题图）（第7题图）
6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积为（）
A．16πB．36πC．52πD．81π
7．如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若AB=12，CD=9，则MD=（）
A．3 B．3 3 C．6 D．6 3
8．如图，⊙O的直径AB=10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE=2，DE=22，则弦心距OF为（）A．1 B． 2 C．7 D． 3
B
（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=6，AE=62，求DE的长.
10．如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连结AD并延长交⊙O于E，已知：BE2=DE·EA.
求证：（1）PA=PD；（2）2BP2=AD·DE.
11．如图，△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC.已知⊙O过点C且与AC相交于F，与AB 相切于AB的中点G.求证：AD⊥BF.
A F
（第11题图）（第12题图）
12．如图，已知AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A. 连结CO并延长交⊙O于点D、E，连结BD并延
长交边AC于点F.
（1）求证：AD·AC=DC·EA；
（2）若AC=nAB（n为正整数），求tan∠CDF的值.。