山东日照市高三数学第一次模拟考试 文 新人教B版

高三模拟考试
文科数学
2013.03
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I 卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合{}{}
lg 0,2,M x x N x x M N =>=≤⋂=则 A.(]1,2
B.[)1,2
C.()1,2
D.[]1,2
2.在复平面内，复数1i
z i
=
-所对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
3.下列命题中，真命题是 A.2
,10x R x x ∀∈-->
B.(),,sin sin sin R αβαβαβ∀∈+<+
C.函数2sin 5y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象的一条对称轴是4
5
x π=
D.(),,sin cos cos R αβαβαβ∃∈+=+
4.设a,b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“,l a l b ⊥⊥”是“l α⊥”的
A.充分条件
B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件
D.既不充分也不必要条件
5.函数()()
lg 1f x x =-的大致图象是
6.已知双曲线22221x y a b
-=的一个焦点与圆22
100x y x +-=的圆心重合，且双曲线的离心率
等于5，则该双曲线的标准方程为
A.
22
1520x y -=
B.
22
12520x y -=
C.
22
1205
x y -=
D.
22
12025
x y -= 7.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且26429,1a a a a ⋅==，则1a 的值为
A.3
B.3-
C.13-
D.13
8.设a >0,11
0.1,b a b a b
>+=+若则的最小值是
A.2
B.1
4
C.4
D.8
9.右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为82的矩形.则该几何体的表面积是 A.8 B.2082+ C.16
D. 2482+
10. 已知实数[]1,9x ∈，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为 A.58
B.
38
C.
23
D.
13
11.实数,x y 满足1,21,.y y x x y m ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
如果目标函数z x y =-的最小
值为2-，则实数m 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 12.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断正确．．的是
A.满足2λμ+=的点P 必为BC 的中点
B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个
C.λμ+的最大值为3
D.λμ+的最小值不存在
第II 卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.抛物线2
16y x =的准线方程为____________. 14.已知3
sin ,5
αα=
且为第二象限角，则tan α的值为__________.
15.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分布五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，……，第五组[)17,18.
右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于________________.
16.记123,1,2,3,k k k k
k S n k =+++⋅⋅⋅+=当…时，观察下列
2321211111,22326S n n S n n n =
+=++，4325341111,4245S n n n S n =++= 43111,2330n n n ++-6542515
,212S An n n Bn =+++⋅⋅⋅， 观察上述等式，由1234,,,S S S S 的结果推测A B -=_______. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为
a,b,c,若向量
()()1
cos ,sin ,cos ,sin ,.2
m B C n C B m n =-=--⋅=且
（I ）求角A 的大小；
（II ）若4,b c ABC +=∆的面积3S =，求a 的值.
海曲市教育系统为了贯彻党的教育方针，促进学生全面发展，积极组织开展了丰富多样的社团活动，根据调查，某中学在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“曲艺”三个社团，三个社团参加的人数如表所示： 为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人.
（I ）求三个社团分别抽取了多少同学；
（II ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率.
19.（本小题满分12分）
如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，2,AD DE AB ==且F 是CD 的中点. （I ）求证：AF//平面BCE ； （II ）求证：平面BCE ⊥.
20.（本小题满分12分）
若数列{}n b ：对于n N *
∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差
数列.如数列n c ：若{}41,;49,.
n n n n c c n n -⎧=⎨
+⎩当为奇数时则数列当为偶数时是公差为8的准等差数列.设数
列{}n a 满足：1a a =，对于n N *
∈，都有12n n a a n ++=.
（I ）求证：{}n a 为准等差数列；
（II ）求证：{}n a 的通项公式及前20项和20.S
已知长方形EFCD ，2
2,.2
EF FC ==以EF 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.xOy
（I ）求以E ，F 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的标准方程；
（II ）在（I ）的条件下，过点F 做直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，设FA FB λ=，
点T 坐标为()[]2,0,2,1,TA TB λ∈--+若求的取值范围.
22.（本小题满分13分） 已知函数()()()(),0ln x
g x f x g x ax a x
=
=->. （I ）求函数()g x 的单调区间；
（II ）若函数()()1,f x +∞在上是减函数，求实数a 的最小值；
（III ）若212,,x x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围.
2013届高三模拟考试
文科数学参考答案及评分标准 2013.03
说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，均应参照本标准相应评分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
y y 1—5 ABDCB 6—10ADCBB 11—12DC
(1)解析：答案A.{lg 0}{1}M x x x x =>=>,2
{4}{22}N x x x x =≤=-≤≤，
所以{12}M
N x x =<≤.
(2)解析: 答案B. i i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z +-+===--+,得11(,)22
-位于第二象限. (3)解析:答案D.因为2
2151()24
x x x --=--，所以A 错误.
当0αβ==时,有sin()sin sin αβαβ+=+，所以B 错误.4
π5
x =时，20±≠=y ，故
C 错误.当π
2
αβ==时，有sin()cos cos αβαβ+=+，所以D 正确.
(4)解析：答案C ，若直线,a b 相交，则能推出l α⊥，若直线,a b 不相交，则不能推出l α⊥， 所以“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件，选C.
(5)解析：答案 B.易知()f x 为偶函数，故只考虑0x >时()lg(1)f x x =-的图象，将函数lg y x =图象向x 轴正方向平移一个单位得到()lg(1)f x x =-的图象，再根据偶函数性质得到()f x 的图象.
(6)解析：答案A.由已知圆心坐标为(5,0),即5=c ,又5=a
c ,∴20,52
2==b a ,
∴双曲线的标准方程为221520
y x -=． (7)解析：答案D.由4629a a a =⋅，得422229a a
q a q ⨯=，解得2
9q =，所以3q =或3
q =-（,0>q 舍），所以211
3
a a q ==. (8)解析：答案 C.由题意
11224a b a b b a
a b a b a b
+++=+=++≥+=
，当且仅当b a a
b =，即
1
2
a b ==时，取等号，所以最小值为4，选C. (9)解析：答案B.由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质， 俯视图的矩形宽为由面积4，则 1+2=24+2S S S =⨯⨯⨯⨯侧底（）2=2820+.
(10)解析:答案B.由51]1)12(2[2=+++x 55≥,得6x ≥, 所以输出的x 不小于55的概率为
8
3
1969=--. (11)解析:答案D,先做出⎩⎨
⎧-≤≥12,1x y y 的区域如图,可
知
在三角形ABC 区域内，由z x y =-得y x z =-，
可知直线的截距最大时，z 取得最小值，此时直线为(2)2y x x =--=+，作出直线
2y x =+，交21y x =-于A 点，则目标函数在该点取得最小值，如图.
所以直线x y m +=过A 点，由21
2y x y x =-⎧⎨=+⎩
，得=35x y ⎧⎨=⎩，代入x y m +=得，358m =+=.
(12) 解析：答案C.由题意可知，0,0λμ≥≥，当0==μλ时,λμ+的最小值为0,此时P 点与A 点重合,故D 错误.当1,1λμ==时，P 点也可以在D 点处，故A 错误.当1,0λμ==，
1λμ+=时,P 点在B 处，当P 点在线段AD 中点时1
2
λμ==，亦有1λμ+=.所以B 错误.
二、本大题共4小题，每小题4分，共16分. (13)4x =-; (14)34-
; (15)27; (16)4
1. (13)解析：答案4x =-，在抛物线中216,8p p ==，所以准线方程为42
p
x =-=-. (14)解析：答案34-，因为α为第二象限角，所以4sin 3
cos ,tan 5cos 4
=-==-αααα.
(15)解析：答案27，(0.160.38)15027+⨯⨯=． (16)解析：答案
4
1
.根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数.∴16A =,151212A B ++
+=,解得1
12
B =-，所以A B -=14. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. (17)解：(Ⅰ)∵1
2
⋅=
m n ， ∴1
cos cos sin sin 2
B C B C ⋅-⋅=，
即1cos()2B C +=，∴1
cos(π)2A -=， …………………………4分
∴1
cos 2
A =-．
又(0,π)A ∈，∴2π
3
A =． …………………………6分
（Ⅱ）1sin 2ABC S bc A ∆=⋅12π
sin
23
bc =⋅= ∴4bc =． …………………………8分
又由余弦定理得：
2222π
2cos
3
a b c bc =+-22b c bc =++， ∴22
()16412a b c bc =+-=-=，
a = …………………………12分 (18)解：（Ⅰ）设抽样比为x ，则由分层抽样可知，“泥塑”、“剪纸”、“曲艺”三个社团
抽取的人数分别为x x x 200,240,320．
则由题意得2240320=-x x ，解得40
1
=
x ． 故“泥塑”、“剪纸”、“曲艺”三个社团抽取的人数分别为
⨯
3208401=，6401
240=⨯，540
1200=⨯． ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“剪纸”社团抽取的同学为6人，其中2位女生记为A ，B ，4位
男生记为C ，D ，E ，F ．
则从这6位同学中任选2人，不同的结果有 {A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{A ，F}， {B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{B ，F}， {C ，D}，{C ，E}，{C ，F}， {D ，E}，{D ，F}， {E ，F}，
共15种． …………7分 其中含有1名女生的选法为
{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{A ，F}， {B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{B ，F}， 共8种；
含有2名女生的选法只有{A ，B}1种． …………10分
故至少有1名女同学被选中的概率为
1591518=+=53
． ……………12分 (19)解：（Ⅰ）取CE 中点P ，连结FP BP 、，
∵F 为CD 的中点，
∴FP ∥DE ，且FP =.2
1
DE
又AB ∥DE ，且AB =.2
1DE
∴AB ∥FP ，且AB =FP ，
∴四边形ABPF 为平行四边形，∴//AF BP ． …………4分
又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，
∴AF ∥平面BCE . …………6分 （Ⅱ）∵ACD ∆为正三角形，∴AF ⊥CD , ∵AB ⊥平面ACD ，DE //AB ,
∴DE ⊥平面ACD , 又AF ⊂平面ACD ,∴DE ⊥AF . 又AF ⊥CD ，CD DE D =,
∴AF ⊥平面DCE . …………10分 又BP ∥AF ∴BP ⊥平面DCE .
又∵BP ⊂平面BCE , ∴平面BCE ⊥平面CDE . …………12分
(20)解：（Ⅰ）n a a n n 21=++ （*
∈N n ）①
∴)1(221+=+++n a a n n ②
②-①，得22=-+n n a a （*
∈N n ）．
所以，{}n a 为公差为2的准等差数列． …………………4分
（Ⅱ）又已知a a =1，n a a n n 21=++(*
∈N n ),∴1221⨯=+a a ,即a a -=22.
所以,由（Ⅰ） ,,,531a a a 成以a 为首项,2为公差的等差数列,
,,,642a a a 成以a -2为首项,2为公差的等差数列,所以
当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫
⎝⎛-+-=2122， 当n 为奇数时，12121-+=⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛-++=a n n a a n . ⎩⎨
⎧--+=∴.,,
,1为偶数　为奇数n a n n a n a n …………………9分 20S n n a a a a a a S ++++++=-1
4321 1920a + A
B
C D E
F
P
()()(1
4321n n a a a a a a ++++++=- (1920a +) 1
(23212-⨯++⨯+⨯=n 19 =(119)10
22002
+⨯⨯
=. …………………12分 (21)解：（Ⅰ）由题意可得点C F E ,,(10)-，，(10)，
，(1,2
）. 设椭圆的标准方程是).0(122
22>>=+b a b
y a x
则2||||a EC FC =+
=2,a >∴=, 2221b a c ∴=-=.
∴椭圆的标准方程是2
212
x y +=. ……………………4分 （Ⅱ）由题意容易验证直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x ky =+,
代入2
212
x y +=中，得22(2)210k y ky ++-=. 设A 11()x y ，，B 22()x y ，，由根与系数关系，
得1y 2y +=222k k -+①， 1y 2y =21
2
k -+②， ……………………7分
因为FA FB =λ，所以12y
y =λ且0λ<，所以将上式①的平方除以②,得
212221422y y k y y k ++=-+,即21212()y y y y +=2
242
k k -+,所以12λ++λ=2242k k -+，
由[]5111
2,122022λ∈--⇒-≤λ+≤-⇒-≤λ++≤λλ
2221420227k k k ⇒-≤-≤⇒≤+,即2207
k ≤≤.
11221212(2,),(2,)(+4,+)
TA x y TB x y TA TB x x y y =-=-∴+=-
又1y 2y +=222
k
k -+，2121224(1)+4()22k x x k y y k +-=+-=-+.
故2221212||(+4)(+)TA TB x x y y +=-+
222222222222
16(1)416(2)28(2)+8(2)(2)(2)k k k k k k k ++-+=+=+++ 222
288=16-+2(2)k k ++.…………………………………………………………11分
令212t k =+，因为2207k ≤≤，所以27111622k ≤≤+，71
162
t ≤≤，
2TA TB +=
2
2717162888()42t t t -+=--， 因为71162
t ≤≤，所以21694,32TA TB ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
TA TB ⎡+∈⎢⎣⎦
.…………………………………………………………13分
(22)解：由已知函数)(),(x f x g 的定义域均为),1()1,0(+∞ ,且)0(ln )(>-=a ax x
x
x f .
（Ⅰ）函数2
2)(ln 1ln )(ln 1
ln )(x x x x x x x g -=⋅
-=
', 当e >x 时,0)(>'x g .所以函数)(x g 的单调增区间是),e (+∞. ………3分
（Ⅱ）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2
ln 1()0(ln )
x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()
2
2
ln 111()ln ln (ln )
x f x a a x x x -'=-=-+-()2
11
1ln 2
4
a x =--+-， 故当11ln 2
x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．
所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14
． ………………………………8分
（Ⅲ）命题“若2
12,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于 “当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”．
由（Ⅱ），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14
f x a '+=．
问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4
f x ≤”． ………………………………10分
01当14
a ≥时，由（Ⅱ）
，()f x 在2[e,e ]上为减函数， 则min ()f x =2
22e 1(e )e 24
f a =-≤，故21124e a ≥-． ……………………… 11分
02当104a <<时，由于()f x '()
2
111ln 24
a x =--+-在2[e,e ]上为增函数，
故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4
a a --．
由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：
当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；
当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；
所以，min ()f x =00001()ln 4
x
f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈．
所以，2001111111ln 44e 244
ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合题意．
综上，得21124e
a ≥-． …………………………………13分。