陕西省西安市长安区2018届高三数学上学期第九次质量检测试题理201801080198

2017——2018学年度第一学期第九次检测
高三理科数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数
221
a i
i +-是纯虚数，则实数a =（ ） A ．-1 B ．14- C ．1
4
D ．1
2.已知集合{}|11,|
01x M x x N x x ⎧
⎫
=-<<=≤⎨⎬-⎩⎭
，则M N ⋂=（ ） A ．{}|01x x ≤< B ．{}|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤
3.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点F 到渐近线和直线2
a x c
=的距离之比为
2:1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.y x = B 。

y = C.y = D.2y x =± 4.已知1sin cos 63παα⎛⎫
+-= ⎪⎝
⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
（ ）
A.518-
B.518
C.79-
D.79
5.如图所示程序框图中，输出S =（ ） A ．45 B ．-55 C ．-66 D ．66
6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A ．27
B ．30
C ．32
D ．36
7．在数列{}n a 中，12i a =（i 为虚数单位），()()n 1n 1i 1i a a ++=-()
n N *
∈，则2017a 的值
为 （ ）
A ．-2
B ．0
C ．2
D ． 2i
8.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )
A.13a ＋2
3
b
B.23a ＋13b
C.35a ＋4
5
b
D.45a ＋3
5
b 9.已知函数()cos 22sin cos f x x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A.()f x 的图像关于直线58x π=
对称 B.()f x 的图像关于点3,08π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称 C.若()()12f x f x =，则12,x x k k Z π-=∈
D.()f x 的图像向右平移
4
π
个单位长度后得()24g x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭
10.已知椭圆22:142x y E +=，直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则l
的方程为（ ）
A.20x y +=
B.5202x y --=
C.220x y --=
D.9
402
x y --= 11.已知函数()()21,43,x f
x e g x x x =-=-+- 若存在()()f a g b =，则实数b 的取
值范围为（ ）
A ．[]1,3
B ．()1,3
C ．2⎡+⎣
D ．(22+
12.已知函数()2,0
ln ,0
x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，若函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合，则a 的
取值范围是（ ）
A.()2,1--
B.()1,2
C.()1,-+∞
D.()ln 2,-+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.若()x
x
f x e ae
-=-为奇函数，则()1
1f x e e
-<-
的解集为 . 14. 设不等式组00x y x y y π+≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
所表示的区域为M ，函数[]sin ,0,y x x π=∈的图像与x 轴所围
成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内概率为 .
15.已知抛物线y ＝ax 2
－1(a ≠0)上总有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点，求a 的取值范围是 ．
16.设a ，b ，c 为单位向量，a ，b 的夹角为600
，则（a + b + c ）·c 的最大值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题10分)已知等差数列{}n a 前3项的和为－3，前三项的积为8. (Ⅰ)求等差数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)成等比数列，若132,,a a a 求数列{}
n a 的前n 项和．
18．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上．
(Ⅰ) 若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ； （Ⅱ）当
1
3
BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值． 19.(本小题12分)在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足
cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫
-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若3=
b 且a b ≤，求
c a 2
1
-的取值范围．
20．（本小题满分12分）如图，从点P 1（0，0）作x 轴的垂线交曲线x
y e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过
程得到一系列点：11,P Q ；22,P Q ；…；,n n P Q ，记k P 点的坐标为(,0)k x （0,1
,2,,k n =）．
（Ⅰ）试求k x 与1k x -的关系（n k ≤≤2）；
（Ⅱ）求112233||||||||n n PQ PQ PQ PQ ++++
21.(本小题12分)已知圆：()2
2:12N x y ++=和抛物线2:C y x =，圆N 的切线l 与抛物线
C 交于不同的两点,A B .
（I ）当切线l 斜率为-1时，求线段AB 的长；
（II ）设点M 和点N 关于直线y x =对称，且0MA MB ⋅=，求直线l 的方程. 22．(本小题12分)已知函数ln ()1x
f x x
=
-. （Ⅰ）试判断函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值； (Ⅲ)证明：对任意*
n N ∈，不等式e
n
n n 2)1()!ln(+<
都成立（其中e 是自然对数的底数）．
一、选择题.DAADB A DBADDC 二、13.2x < 14.28
π 15.
43
a 16.
31+
解答题
17.解：(1)设等差数列{}a n 的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得
⎩⎨
⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1()a 1＋d ()a 1＋2d ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3()n －1＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3()n －1＝3n －7.
故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.
(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，
a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件．
故||a n ＝||3n －7＝⎩
⎪⎨⎪
⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.
记数列{}||a n 的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝||a 1＝4；
当n ＝2时，S 2＝||a 1＋||a 2＝5；
当n ≥3时，S n ＝S 2＋||a 3＋||a 4＋…＋||a n ＝5＋()3×3－7＋()3×4－7＋…＋()3n －7 ＝5＋
()n －2[]
2＋()3n －72
＝32n 2－11
2
n ＋10， 当n ＝2时，满足上式．
综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧4，n ＝1，32
n 2－112n ＋10，n ≥2.
18.解: (Ⅰ) 证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ． 因为 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是AB 中点，
所以 侧面B B 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，所以 DE// AC 1．
因为 DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1CD ，所以 AC 1∥平面B 1CD ．……… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知AC ⊥BC ，如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz ． 则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A 1 (0, 4, 4)，B 1 (3, 0, 4)．设D (a, b, 0)（0a >，
0b >），因为 点D 在线段AB 上，且13
BD AB
=，即13
BD BA =．
所以2a =，4
3
b =，4(1,,0)3BD =-，1(3,0,4)CB =, ,4(2,,0)3CD =．
平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =． 设平面B 1 CD 的法向量为2(,,1)n x y =，
由120CB n ⋅=，20CD n ⋅=， 得 340
4203x x y +=⎧⎪⎨
+=⎪⎩
， 所以 43x =-
，2y =，24(,2,1)3n =-.所以 1212
cos 61n n n n θ⋅=
=． 所以二面角1B CD B --．……… 12分
19． 解：（1）由已知cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫
-=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得22223
12sin 2sin 2cos sin 4
4
B A A A ⎛⎫
-=-
⎪⎝⎭
， 化简得sin B
=
故23
3
B π
π
=
或
．
（2）因为b a ≤，所以3
B π
=
，
由正弦定理
2sin sin sin a c b
A C B
====，得a=2sinA,c=2sinC ，
122sin sin 2sin sin 233sin 26a c A C A A A A A ππ⎛⎫∴-=-=-- ⎪
⎝⎭
⎛⎫==- ⎪⎝
⎭
因为b a ≤，所以
2,3
3662
A A π
ππππ
≤<
≤-<，
所以1[262a c A π⎛
⎫-
=-∈ ⎪⎝
⎭ 20.(1）设点1k P -的坐标是1(,0)k x -，∵x
y e =，∴x
y e '=， ∴1
11(,)k x k k Q x e
---，在点111(,)k x k k Q x e ---处的切线方程是111()k k x x k y e e x x ----=-，
令0y =，则11k k x x -=-（2k
n 剟）．
（2）∵10x =，11k k x x --=-，∴(1)k x k =--，∴(1)||k
x
k k k
PQ e e --==，于是有 112233||||||||n n PQ PQ PQ PQ ++++12
(1)
1111n k e e e e
e -------=++++=-11
n e e e --=-， 即112233||||||||n n PQ PQ PQ PQ +++
+11
n
e e e --=
-．
21．解：（Ⅰ）解：（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞．由已知2
1ln ()x
f x x -'=．令()0f x
'=，得x e =．
因为当0x e <<时，()0f x '>；当x e >时，()0f x '<． 所以函数()f x 在(0,]e 上单调递增，在[,)e +∞上单调递减．
（Ⅱ）由（1）可知当2m e ≤，即2
e
m ≤
时，()f x 在[,2]m m 上单调递增，所以
max ln 2()(2)12m
f x f m m
==
-． 当m e ≥时，()f x 在[,2]m m 上单调递减，所以max ln ()1m
f x m
=
-．当2m e m <<，即2e
m e <<时，max 1()()1f x f e e
==-．综上所述，max ln 21,022
1
()1,2ln 1,m
e m m e
f x m e e m
m e m
⎧-<≤⎪⎪
⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩ （Ⅲ）由（1）知当(0,)x ∈+∞时max 1
()()1f x f e e
==
-．所以在(0,)x ∈+∞时恒有l n 1()11x f x x e =
-≤-，即l n 1
x x e
≤，当且仅当x e =时等号成立．因此对任意(0,)x ∈+∞恒有1ln x x e
<⋅．因为
10n n +>，1n e n
+≠，所以111ln n n n e n ++<⋅，即11ln()e n n
n n ++<．因
此对任意*
n ∈N ，不等式11ln()e n n
n n
++<．。