广东省深圳市高级中学2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题理

广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题
理
本试卷由两部分组成。

第一部分：高二数学第一学期期中前的基础知识和能力考查，共57 分； 选择题包含第1 题、第3 题、第 6题、第7 题、第 8题，共25 分。

填空题包含第 13题、第 14题，共10分。

解答题包含第17 题、第18 题，共22分。

第二部分：高二数学第一学期期中后的基础知识和能力考查，共93 分。

选择题包含第 2题、第4题、第 5题、第9 题、第10 题、第11 题，第12 题，
共35 分。

填空题包含第 15题,第 16题，共10 分。

解答题包含第 19题、第20 题、第21 题、第22 题，共48 分。

全卷共计150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．设复数z ＝+2i ，则|z|＝（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．1
2．已知命题p ：∀x≥0，x≥sinx，则⌝p 为（ ） A ．∀x ＜0，x ＜sinx B ．∀x≥0，x ＜sinx C ．∃x 0＜0，x 0＜sinx 0
D ．∃x 0≥0，x 0＜sinx 0
3．设a ＝50.4
，b ＝log 0.40.5，c ＝log 50.4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜c
＜a
4．若函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ） A ．函数()f x 有1个极大值，2个极小值 B ．函数()f x 有2个极大值，2个极小值 C ．函数()f x 有3个极大值，1个极小值
D ．函数()f x 有4个极大值，1个极小值
5．近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1，2，3，…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…9的所有数字．根据图中已填入的数字，可以判断A 处填入的数字是（ ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．9
6．已知实数x ，y 满足约束条件20
100x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最
小值为（ ）
A ．1
B ．52
-
C ．2-
D ．1- 7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图，
为了得到()2cos 2g x x =的图象，可以将f （x ）的图象（ ） A ．向右平移个单位 B ．向左平移个单位 C ．向右平移个
单位 D ．向左平移个
单位
8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若711a =，则13S ＝（ ）
A ．66
B ．99
C ．110
D ．143
9．已知函数()sin f x x x =，则()7
f π，(1)f -，()3
f π
-
的大小关系为（ ）
A ．()(1)()37
f f f π
π
-
>-> B ．(1)()()37f f f π
π
->->
C ．()(1)()7
3
f f f ππ
>->-
D ．()()(1)7
3
f f f ππ
>-
>-
10．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝4，AB ＝2，CC 1＝2，E ，F 分别为AC ，CC 1的中
点，则直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角是（ ） A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
11．设双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且在
第二象限与C 的交点为P ，O 为原点，若|OP|＝|OF|，则C 的离心率为（ ）
A ．
5
4
B ．5
C ．
53
D ．5 12．设函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，对任意x∈R，有()()0f x f x --=，且x ∈[0，+∞）
时()f x '＞2x ，若(2)()44f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1] B ．[1，+∞） C ．（﹣∞，2] D ．[2，
+∞）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则(AE →＋AF →)BD →
的值为
_________
14．已知tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2
α的值为_____ _; 15．
1
22
cos 1xdx x dx π
+-⎰
⎰＝ ;
16．设抛物线C ：y 2
＝2p x （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA|为
半径的圆交l 于B ，D 两点，若∠ABD＝90°，且△ABF 的面积为9，则此抛物线的方程
为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2acosB +b ＝2c ． （1）求A 的大小； （2）若a ＝，b ＝2，求△ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
，数列{b n }满足2
n n
b a =
．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）若n c ＝1+b n •b n+1，求数列{c }n 的前n 项和T n ．
19．（本小题满分12分） 已知函数2
()ln f x x x =-． （1）求函数y ＝f （x ）的单调区间；
（2）求函数y ＝f （x ）在1
,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值与最小值．
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD ，
1
12
AB BC AD ==
=，∠BAD＝∠ABC＝90°． （1）证明：PD⊥AB；
（2）点M 在棱PC 上，且PM PC λ=，若二面角M ﹣AB ﹣D 大小
的余弦值为21
7
，求实数λ的值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心是坐标原点O ，它的短轴长2
，焦点F （c ，0），点10
(
,0)A c c
-，且2OF FA =．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）是否存在过点A 的直线与椭圆C 相较于P 、Q 两点，且以线段PQ 为直径的圆过坐标原点
O ，若存在，求出直线PQ 的方程；不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数2
()f x x ax a =--，a R ∈，()x
g x e =（其中e 是自然对数的底数）． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线x y 2
1
-
=垂直，求实数a 的值； （2）记函数F （x ）＝f （x ）•g （x ），其中a ＞0，若函数F （x ）在（﹣3，3）内存在两个极
值点，求实数a 的取值范围；
（3）若对任意x 1，x 2∈[0，3]，且x 1＞x 2，均有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜|g （x 1）﹣g （x 2）|成立，
求实数a 的取值范围．
深圳高级中学（集团）2018--2019学年第一学期期末考试
高二数学（理科） 答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
D
B
B
A
C
B
D
A
A
D
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．-18； 14． ； 15．1； 16．y 2
＝6x ；
三、解答题：
17．解：（1）∵2a cos B +b ＝2c ，由正弦定理得：
2sin A cos B +sin B ＝2sin C ＝2sin （A +B ）＝2sin A cos B +2cos A sin B ， ∴sin B ＝2cos A sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝， 又0＜A ＜π，∴A ＝
；
（2）由余弦定理可得a 2
＝b 2
+c 2
﹣2bc cos A ，
∵a ＝
，b ＝2，∴c 2
﹣2c ﹣3＝0，∴c ＝3，
∴S △ABC ＝bc sin A ＝×2×3×
＝
18． 解：（1）由题意当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣1，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，满足上式， 所以a n ＝2n ﹣1；
（2）由（1）知，b n ＝
，∁n ＝1+b n •b n +1
＝1+
•
＝1+2（
﹣
）
∴T n ＝c 1+c 2+…+c n ＝n+2（1﹣+﹣+…+
﹣
）
＝n+2（1﹣
）
=22521
n n n ++
19． 解：（1）函数f （x ）＝x 2
﹣lnx （x ＞0）的导数为()f x '＝2x ﹣＝
，
由()f x '＞0，可得x ＞；()f x '＜0，可得0＜x ＜， 则f （x ）的增区间为（
，+∞），减区间为（0，
）；
（2）函数f （x ）＝x 2
﹣lnx （x ＞0）的导数为()f x '＝2x ﹣＝
，
由()f x '＝0，可得x ＝
∈1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
可得f （x ）的最小值为f （）＝
；
由f （）＝+ln2<15144+
=，f （2）＝12ln 22->13222
-=， 可得f （2）＞f （）， 即有f （x ）的最大值为1
2ln 22
-
． 20．（1）证明：取AD 的中点O ，连OC ，OP ，
∵△PAD 为等边三角形，且O 是边AD 的中点， ∴PO ⊥AD ，
∵平面PAD ⊥底面ABCD ，且它们的交线为AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∴BA ⊥PO ， ∵BA ⊥AD ，且AD ∩PO ＝O ，
∴AB⊥平面PAD，
∴PD⊥AB．
（2）分别以OC，OD，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则，
∵∴，∴，即：，
设，且是平面ABM的一个法向量，
∵，
∴，
取，
而平面ABD的一个法向量为，
∴，
∴，
∵0＜λ＜1，
∴．
21．解：（1）由题意知，b＝，F（c，0），A（﹣c，0），
则，，
由＝2，得c＝，解得：c＝2．
∴a2＝b2+c2＝6，
∴椭圆的方程为，
（2）A（3，0），设直线PQ的方程为y＝k（x﹣3），
联立，得（1+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6＝0，
设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则，．
∴
＝k 2
（
）＝．
由已知得OP ⊥OQ ，得x 1x 2+y 1y 2＝0， 即
，
解得：k ＝，符合△＞0，
∴直线PQ 的方程为y ＝．
22． 解：（1）因为f '（x ）＝2x ﹣a ，所以f '（1）＝2﹣a ，
因为y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线x y 2
1
-=垂直， 所以2﹣a ＝2，解得a ＝0．………………………… 2分
（2）因为F （x ）＝f （x ）g （x ）＝（x 2
﹣ax ﹣a ）e x
，
所以F '（x ）＝（x ﹣a ）（x +2）e x ，
因为a ＞0，所以当x ＜﹣2或x ＞a 时，F '（x ）＞0；当﹣2＜x ＜a 时，F '（x ）＜0， 所以F （x ）在区间（﹣∞，﹣2）和（a ，+∞）单调递增；在（﹣2，a ）单调递减， 即当x ＝﹣2时，F （x ）取极大值，当x ＝a 时，F （x ）取极小值，
因为函数F （x ）在（﹣3，3）内存在两个极值点，所以0＜a ＜3．。

7分 （3）因为函数g （x ）在[0，3]上单调递增，所以g （x 1）﹣g （x 2）＞0，
所以|f （x 1）﹣f （x 2）|＜|g （x 1）﹣g （x 2）|对任意的x 1，x 2∈[0，3]，且x 1＞x 2恒成立，
等价于g （x 2）﹣g （x 1）＜f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2） 对任意的x 1，x 2∈[0，3]，且x 1＞x 2恒成立， 即
对任意x 1，x 2∈[0，3]，且x 1＞x 2恒成立，
所以f （x ）+g （x ）在[0，3]上是单调递增函数，
f （x ）﹣
g （x ）在[0，3]上是单调递减函数，
由()f x '+g '（x ）≥0在[0，3]上恒成立，
得（2x ﹣a ）+e x
≥0在[0，3]恒成立，即a ≤e x
+2x 在[0，3]恒成立，
而e x
+2x 在[0，3]上为单调递增函数，且在[0，3]上取得最小值1，所以a ≤1， 由()f x '﹣g '（x ）≤0在[0，3]上恒成立，
得（2x ﹣a ）﹣e x
≤0在[0，3]上恒成立，即a ≥2x ﹣e x
在[0，3]上恒成立， 令t （x ）＝2x ﹣e x
则t '（x ）＝2﹣e x
，令t '（x ）＝0，得x ＝ln 2， 因为t （x ）在[0，ln 2]上递增，在[ln 2，3]上单调递减， 所以t （x ）在[0，3]上取得最大值2ln 2﹣2，即a ≥2ln 2﹣2， 所以实数a 的取值范围为[2ln 2﹣2，1]…………………………12分。