佛山数学高二下期中经典练习卷(答案解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与
b 的夹角的余弦值为（ ）
A ．
22
B ．
23
C ．
28
D ．
24
2．(0分)[ID ：13608]已知台风中心位于城市A 北偏东α︒的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2小时后到达距城市A 北偏西β︒的200千米处.若3
sin sin 4
αβ=
，则v =（ ）
A ．60
B ．80
C ．100
D ．125
3．(0分)[ID ：13598]已知函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如
下图所示，则函数()f x 的解析式（ ）
A ．1()2sin()2
6
f x x π
=+ B ．1()2sin()2
6f x x π
=-
C ．()2sin(2)6
f x x π=-
D ．()2sin(2)6
f x x π=+ 4．(0分)[ID ：13585]已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭（ ） A ．
1
6
B ．
13
C ．
23
D ．
56
5．(0分)[ID ：13558]已知tan 3α=，0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则()sin2cos απα+-的值为( )
A ．
610
10
B ．
610
10
+ C 510
-D ．
510
10
6．(0分)[ID ：13551]下列选项中为函数1
()cos(2)sin 264
f x x x π
=--的一个对称中心为（ ） A ．7(
,0)24
π
B ．(
,0)3
π
C ．1(
,)34
π
- D ．(
,0)12
π
7．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则
AC AD ⋅=（ ）
A ．23
B ．
32
C ．
33
D ．3
8．(0分)[ID ：13622]函数()()sin (0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如图
所示，为了得到sin2y x =的图象，只需将()f x 的图象( )
A ．向右平移3π
个单位 B ．向右平移
6π
个单位 C ．向左平移3
π
个单位
D ．向左平移6
π
个单位
9．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满
足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫
⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭
，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心
B ．垂心
C ．重心
D ．外心
10．(0分)[ID ：13589]已知AB AC ⊥，1
AB t
=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB
AC
=+
，则·PB PC 的最大值等于（ ）.
A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
11．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ωϕωϕ=>≤=-
，
为()f x 的零
点，4
x π
=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π
(
)1836
，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7
D ．5
12．(0分)[ID ：13563]平面向量a 与b 的夹角
23
π
，(2,0)a =，223a b +=，则a b ⋅=（ ）
A ．
B ．-
C ．-2
D ．2
13．(0分)[ID ：13549]将函数sin ()y x x x R =
+∈的图象向左平移()0m m >个长
度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．
12
π B ．
6
π C ．
3
π D ．
56
π 14．(0分)[ID ：13537]已知()3,4a =，()2,1b =-且()()
a x
b a b +⊥-，则x 等于 （ ） A ．23
B ．
232
C ．
233
D ．
234
15．(0分)[ID ：13531]ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =，
CA b =，1a =，2b =，则CD =
A ．1233
a b +
B ．
2133
a b + C ．
34
55
a b + D ．
43
55
a b + 二、填空题
16．(0分)[ID ：13713]若向量a 、b 满足a ＝1，b ＝2，且a 与b 的夹角为
3
π
，则a b +＝_________.
17．(0分)[ID ：13702]在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为__________． 18．(0分)[ID ：13692]已知tan 24x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则
tan tan 2x
x
=____________________．
19．(0分)[ID ：13691]已知α为锐角，cos α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．
20．(0分)[ID ：13673]如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 、F 是AD 上两个三等分点,155BA CA BE CE =⋅=⋅，，
则BF CF =⋅___________.
21．(0分)[ID ：13672]已知1,2a b ==，且()
+a a b ⊥，则向量a 与向量b 的夹角为_________
22．(0分)[ID ：13668]若对n 个向量12,,,n a a a 存在n 个不全为零的实数12,,
,n k k k ，
使得11220n n k a k a k a ++
+=成立，则称向量12,,,n a a a 为“线性相关”，以此规定，
能说明123(1,0),(1,1),(2,2)a a a ==-=线性相关”的实数123,,k k k 依次可取的一组值是____________（只要写出一组答案即可） 23．(0分)[ID ：13665]已知5cos 45
πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______. 24．(0分)[ID ：13662]函数f (x )＝3sin x +cos x 的最大值是___________.
25．(0分)[ID ：13660]在正△ABC 中，若6AB =，2DC BD =，则AD BC ⋅=________
三、解答题
26．(0分)[ID ：13817]如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径
ON 延长线上的一点，且2OA =，AOB ∠的角平分线交半圆于点C ．
（1）若3AC AB ⋅=，求cos AOC ∠的值； （2）若,,A B C 三点共线，求线段AC 的长．
27．(0分)[ID ：13812]已知()1,2a =，()3,2b =-. （1）当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直？ （2）当k 为何值时，ka b +与3a b -平行？
28．(0分)[ID ：13732]（本小题满分12分）已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2＋√3px －p ＋1＝0（p ∈R ）两个实根. （Ⅰ）求C 的大小
（Ⅱ）若AB ＝3，AC ＝√6，求p 的值
29．(0分)[ID ：13729]设向量(4cos ,sin )a x x =，(sin ,4sin )b x x =，函数()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的最大值及最小正周期；
（2）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向左平移
4
π
个单位长度得到，求()y g x =的单调递增区间.
30．(0分)[ID ：13809]已知函数()Asin()f x x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0，ϕ＜π）的一段图象如图所示．
（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）若3[8
x π∈-
，]4π
，求函数()f x 的值域．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 2．D 3．D 4．C 5．A 6．A
7．D
8．B
9．A
10．A
11．B
12．C
13．B
14．C
15．B
二、填空题
16．【解析】【分析】由夹角为利用平面向量数量积公式求得平方的值从而可得结果【详解】夹角为所以所以故答案为
17．【解析】分析：如图：以A为原点以ABAD所在的直线为xy轴建立如图所示的坐标系先求出圆的标准方程再设点P的坐标为（cosθ+1sinθ+2）根据=λ+μ求出λμ根据三角函数的性质即可求出最值详解：如
18．【解析】试题分析：考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式
19．【解析】【分析】先利用同角三角函数关系计算sinαtanα再利用两角和的正切即可求得结论【详解】∵α为锐角∴∴tanα2∴tan故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系考查两角和的正切公式考查学生的
20．-1【解析】【分析】把所用向量都用表示结合已知求出的值则的值可求【详解】解：∵D是BC的中点EF是AD上的两个三等分点又故答案为：-1【点睛】本题考查平面向量的数量积运算平面向量的线性运算是中档题
21．【解析】【分析】由可求出再根据向量夹角公式即可求出向量与向量的夹角【详解】由得即解得设向量与向量的夹角为所以即故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量的数量积求向量夹角
22．【解析】【分析】利用题中的定义设出方程利用向量的坐标运算得到方程组给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解【详解】设k1+k2+k3则依次可取的一组值是故答案为【点睛】本题考查理解题中给的新定义向量的
23．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考
查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公
24．【解析】由
25．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平方运算可求得
1
2
a b⋅=，利用cos,
a b
a b
a b
⋅
<>=求得结果.
【详解】
由题意可知：2
22
2324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12
a b ⋅=
12cos ,4
22
a b a b a b
⋅∴<>=
=
=
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
如图所示，分别在Rt ADB ，Rt ADC ，求出AD ，建立,αβ关系，结合已知，求出
sin α，sin β，进而得出,BD CD ，即可求解.
【详解】
如图所示，150AB =，200AC =，BAD ∠=α，CAD β∠=. 在Rt ADB 中，cos 150cos AD AB αα==，
sin 150sin BD AB αα==.
在Rt ADC 中，cos 200cos AD AC ββ==，
sin 200sin CD AC ββ==，
所以150cos 200cos αβ=，即3cos 4cos αβ=①， 又3
sin sin 4
αβ=
②， 由①②解得4
sin 5β=
，3cos 5β=，3sin 5
α=，4cos 5α=. 所以3
sin 150905
BD AB α==⨯
=， 4
sin 2001605
CD AC β==⨯=，
所以90160250BC BD CD =+=+=，
所以250
1252
v ==. 故选:D.
【点睛】
本题考查解直角三角形、同角间的三角函数关系、三角方程的求解，考查计算能力，属于中档题.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可． 【详解】
由函数的图象得524126
A T ππ
π==⨯
-=，（）， 即2 π
πω
=， 则2ω=，
则22f x sin x ϕ=+（）（） ，
22266
f sin ππ
ϕ=⨯+=（）（），
则13sin
π
ϕ+=（）， 则 232
k ππ
ϕπ+=+，
则26
k k Z ，，π
ϕπ=+∈
∵2
π
ϕ<
，∴当k=0时，6
，π
ϕ=
则函数()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
． 故选D. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
运用两角差的余弦公式展开后再计算平方的结果，结合已知条件得到答案 【详解】
2
22
211cos sin cos sin 42222cos cos sin πααααααα⎛⎫⎛⎫-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11
222
sin α=
+，
1
23
sin α=，
21124263cos πα⎛
⎫∴-=+= ⎪⎝
⎭，
故选C 【点睛】
本题主要考查了两角差的余弦公式以及二倍角公式，熟练运用公式来解题是关键，较为基础
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】
tan 3α=，0,2
πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
得cos αα==
，
而()sin2cos 2sin cos cos 2απαααα+-=-==
. 故选A. 【点睛】
本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.
6．A
解析：A 【解析】 函数
()1cos 2264f x x sin x π⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭1122224x sin x sin x ⎤=+-
⎥⎣⎦
2112cos 22224
sin x x sin x =
+-11cos 41144422426x x sin x π-⎛
⎫=+⋅-=- ⎪⎝⎭，令46
x k π
π-
=，求得424k x ππ
=
+，可得函数的对称轴中心为,0,424k k Z ππ⎛⎫+∈
⎪⎝⎭
，当1k =时，函数的对称中心为7,024π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选A. 7．D
解析：D 【解析】
∵3AC AB BC AB BD =+=+，
∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴
33cos 3cos 33
AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．
8．B
解析：B 【解析】
试题分析：由图象知1A =，
74123T T πππ=-⇒=，22ππωω
=⇒=，7(
)112f π=-7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3
π
ϕ=，所以()sin(2)3
f x x π
=+，为了得到()sin 2g x x =的图象，所以只需将()f x 的图象向右平移
6
π
个长度单位即可，故选D ． 考点：三角函数图象. 9．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||
AB AC
AB AC +的
方向
与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||
AB AC
OP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】
||AB AB 、||
AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴
||||AB AC
AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又
(
)
||||
AB AC
OP OA AB AC λ=++，
∴(
)||||
AB AC
OP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致
∴一定通过ABC ∆的内心
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．
10．A
解析：A 【解析】
以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t
，(0,)C t ，
10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以1
14)PB t
=--（，，14)PC t =--（，，因
此PB PC ⋅
11416t t =--+117(4)t t =-+，因为11
4244t t t t
+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于
13，当1
4t t =，即12
t =时取等号．
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4
π
=-
为f （x ）的零点，x 4
π
=
为y ＝f （x ）
图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536
π）上单调，可得ω的最大值． 【详解】 ∵x 4
π
=-为f （x ）的零点，x 4
π
=
为y ＝f （x ）图象的对称轴，
∴
2142n T π+⋅=，即21242n ππ
ω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，
∵f （x ）在（
18π，536π
）上单调，则
53618122T πππ-=≤， 即T 26
ππ
ω=
≥，解得：ω≤12， 当ω＝11时，114
π
-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，
∴φ4
π
=-，
此时f （x ）在（18π，536π
）不单调，不满足题意；
当ω＝9时，94
π
-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，
∴φ4
π=，
此时f （x ）在（18π，536
π
）单调，满足题意；
故ω的最大值为9， 故选B ． 【点睛】
本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.
12．C
【解析】 【分析】
求得22,2cos 3
a a
b b b π
=⋅=⋅=-，将223a b +=平方列方程求解即可. 【详解】
因为平面向量a 与b 的夹角为()2,2,0,2233
a a
b π
=+=， 所以22,2cos
3
a a
b b b π
=⋅=⋅=-，()
2
212a b +=，
即为2
224444412a a b b b b +⋅+=-+=,
解得2(1b =-舍去）， 则2a b ⋅=-，故选C. 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的定义和性质，以及平面向量的模，属于中档题.平面向量的运算性质主要有两个：（1）cos a b a b θ⋅=；（2）2
2
a a =.
13．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3
y
x x x
，令,3
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，
可得函数的图象对称轴方程为,6
x k k Z π
π=
+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的
对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，
m 的最小值为6
π，故选B ．
考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质． 【方法点晴】
本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数
2sin()3
y x π
=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．
14．C
解析：C
()()()()3,4,2,1,32,4,1,5a b a xb x x a b ==-∴+=+--=，又
()()()(),0a xb a b a xb a b +⊥-∴+⋅-=，即322050x x ++-=，解得233x =，故选C.
15．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，
∴BD DA
＝CB CA
＝
12
， ∴BD ＝
13BA
＝13(CA －CB )＝13b －1
3
a ， ∴CD ＝CB ＋BD ＝a ＋13
b －13a ＝2
3a ＋13
b .
二、填空题
16．【解析】【分析】由夹角为利用平面向量数量积公式求得平方的值从而可得结果【详解】夹角为所以所以故答案为
7
【解析】 【分析】
由1,2,,a b a b ==夹角为3
π
，利用平面向量数量积公式，求得a b +平方的值，从而可得结果. 【详解】
1,2,,a b a b ==夹角为3
π，
所以2
2
2
2a b
a b a b +=++⋅
142cos 3
a b π
=++
1
52125272
=+⨯⨯⨯
=+=
所以7a b +=，故答案为7. .
17．【解析】分析：如图：以A 为原点以ABAD 所在的直线为xy 轴建立如图所示的坐标系先求出圆的标准方程再设点P 的坐标为（cosθ+1sinθ+2）根据=λ+μ求出λμ根据三角函数的性质即可求出最值详解：如 解析：3
【解析】
分析：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为（
255cosθ+1，25
5
sinθ+2），根据AP =λAB +μAD ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
详解：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系， 则A （0，0），B （1，0），D （0，2），C （1，2），
∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上， 设圆的半径为r ， ∵BC=2，CD=1， ∴2221+5∴
12BC•CD=1
2
BD•r ， ∴5
∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45
， 设点P 的坐标为（
255cosθ+1，5
5
sinθ+2）， ∵AP =λAB +μAD ， 2525
sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， 25cosθ+1=λ25sinθ+2=2μ，
∴
λ+μ=
5
cosθ+5
（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3， 故答案为：3．
点睛：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
18．【解析】试题分析：考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式 解析：
49
【解析】 试题分析：
12tan 1133tan 22tan tan 2141tan 3419x x x x x π⨯
+⎛⎫+=∴=∴=∴=
= ⎪-⎝⎭-1
tan 433tan 294
x x ∴== 考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式
19．【解析】【分析】先利用同角三角函数关系计算sinαtanα再利用两角和的正切即可求得结论【详解】∵α为锐角∴∴tanα2∴tan 故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系考查两角和的正切公式考查学生的 解析：3-
【解析】 【分析】
先利用同角三角函数关系，计算sin α，tan α，再利用两角和的正切，即可求得结论． 【详解】
∵α
为锐角，cos α=，
∴5
sin α= ∴tan αsin cos α
α
==2 ∴tan 112
34112
tan tan πααα++⎛⎫+===-
⎪--⎝⎭ 故答案为3- 【点睛】
本题考查同角三角函数关系，考查两角和的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
20．-1【解析】【分析】把所用向量都用表示结合已知求出的值则的值可求【详解】解：∵D 是BC 的中点EF 是AD 上的两个三等分点又故答案为：-1【点睛】本题考查平面向量的数量积运算平面向量的线性运算是中档题
解析：-1 【解析】 【分析】
把所用向量都用,BD DF 表示，结合已知求出2
2
,BD DF 的值，则BF CF ⋅的值可求． 【详解】
解：∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，
2,2BE BD DE BD DF CE BD DF ∴=+=+=-+， 3,3BA BD DF CA BD DF =+=-+，
22
45BE CE DF BD ∴⋅=-=， 22
915BA CA DF BD ⋅=-=，
2
2
2,3DF BD ∴==，
又
,BF BD DF CF BD DF =+=-+，
2
2
1BF CF DF BD ∴⋅=-=-， 故答案为：-1． 【点睛】
本题考查平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，是中档题．
21．【解析】【分析】由可求出再根据向量夹角公式即可求出向量与向量的夹角【详解】由得即解得设向量与向量的夹角为所以即故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量的数量积求向量夹角
解析：
34
π 【解析】 【分析】 由()+a a b ⊥可求出a b ⋅，再根据向量夹角公式即可求出向量a 与向量b 的夹角． 【详解】
由(
)
+a a b ⊥得，()
0a a b ⋅+=，即2
0a a b +⋅=，解得1a b ⋅=-，设向量a 与向量b 的
夹角为θ，所以1cos 2a b a b
θ⋅-=
=
=34
πθ=．
故答案为：34
π
． 【点睛】
本题主要考查利用向量的数量积求向量夹角．
22．【解析】【分析】利用题中的定义设出方程利用向量的坐标运算得到方程组给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解【详解】设k1+k2+k3则依次可取的一组值是故答案为【点睛】本题考查理解题中给的新定义向量的 解析：4,2,1--
【解析】 【分析】
利用题中的定义设出方程，利用向量的坐标运算得到方程组，给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解． 【详解】
设k 11a +k 22a +k 330a =，
则1232
32020k k k k k ++=⎧⎨-+=⎩
123,,k k k 依次可取的一组值是4,2,1--
故答案为4,2,1-- 【点睛】
本题考查理解题中给的新定义、向量的坐标运算、平面向量的基本定理．
23．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公
解析：13
【解析】 【分析】
本题首先可根据cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭计算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后通过cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及
sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭计算出tan 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果．
【详解】
因为cos 4πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
所以sin 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭()()44sin tan 24cos π
π
απαα+⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， 所以()()44
44tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππ
ππ
αππααα+-⎛⎫=+-== ⎪++⎝⎭
． 【点睛】
本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式
有2
2
sin cos 1αα+=、sin tan cos α
αα
=以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能
力，是中档题．
24．【解析】由 解析：2
【解析】
由max ()3sin cos 2sin()()26
f x x x x f x π
=+=+
⇒=.
25．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题 解析：6-
【解析】 【分析】
由2DC BD =可得1
3
BD BC =
,利用向量的线性运算可得()
21133AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫
⋅=+⋅=+⋅=⋅+ ⎪⎝⎭
,再求出AB BC ⋅和
2
BC 即可.
【详解】
由题意,2DC BD =,则1
3
BD BC =
, 66cos6018AB BC BA BC ︒⋅=-⋅=-⨯=-,2
6636BC =⨯=,
()
211118366333AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫
⋅=+⋅=+⋅=⋅+=-+⨯=- ⎪⎝⎭
.
故答案为:6-.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算,考查了向量数量积的计算,考查学生的计算能力,属于基础题.
三、解答题
26．
（1）3
cos ,4
θ=（2）AC =【解析】
试题分析: (1)以O 为原点, OA 为x 轴建立平面直角坐标系,设AOC θ∠=,分别求出各点的坐标，由3AC AB ⋅= 求出cos AOC ∠的值；(2)由A,B,C 三点共线,得出3
cos 4
θ= ,再利用余弦定理求出AC .
试题解析:（1）以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设AOC θ∠=，
()2,0A ,()cos ,sin C θθ，()cos2,sin2B θθ， ()cos 2,sin AC θθ=-， ()cos22,sin2AB θθ=- ()()cos 2cos22sin sin2AC AB θθθθ⋅=--+
cos cos22cos22cos sin sin24θθθθθθ=--++
22cos2cos 44cos cos 6θθθθ=--+=--+ 24cos cos 63θθ∴--+=
3
cos ,cos 14
θθ==-（舍去）
（2）,,A B C 三点共线，
所以
cos22sin2cos 2sin θθ
θθ
-=-
3
cos 4
θ∴=
214212cos 2AC θ∴=+-⨯⨯⨯= AC ∴=
（1）方法二、设AOC θ∠=，
AC AO OC =+，AB AO OB =+
()()
2
AC AB AO OC AO OB AO AO OB OC AO OC OB ∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅
()()412212422cos cos cos cos cos πθπθθ
θθ
=+⨯⨯-+⨯⨯-+=--
24cos cos 63θθ∴--+=
3
cos ,cos 14
θθ==-（舍去）
27．
（1）19k =（2）13
k =- 【解析】
（1）由向量垂直的坐标公式得k 的方程，求解即可； （2）由向量平行的坐标公式得k 的方程，求解即可； 【详解】
（1）()13221a b ⋅=⋅-+⋅=，()()
3ka b a b +⋅-()22
133238=0ka k a b b k =+-⋅-=-, 故19k =
（2）因为()=3,22ka b k k +-+，()3=104a b --，
若ka b +与3a b -平行，则
()()1
4310222483
k k k k --=+⇒=-∴=-
【点睛】
本题考查向量垂直与平行的坐标运算，是基础题
28．
（Ⅰ）C ＝60°；（Ⅱ）－1－√3 【解析】
（Ⅰ）由已知，方程x 2＋√3px －p ＋1＝0的判别式 △＝（√3p ）2－4（－p ＋1）＝3p 2＋4p －4≥0 所以p≤－2或p≥2
3
由韦达定理，有tanA ＋tanB ＝－√3p ，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－（1－p ）＝p≠0 从而tan （A ＋B ）＝
tanA+tanB 1−tanAtanB
=
−√3p p
=−√3
所以tanC ＝－tan （A ＋B ）＝√3 所以C ＝60°
（Ⅱ）由正弦定理，得 sinB ＝
ACsinC AB
=
√6sin600
3
=
√2
2
解得B ＝45°或B ＝135°（舍去） 于是A ＝180°－B －C ＝75° 则tanA ＝tan75°＝tan （45°＋30°）＝
tan450+tan300
1−tan450
tan30
=
1+√3
31−
√33
=2+√3
所以p ＝－√3
（tanA ＋tanB ）＝－√3
（2＋√3＋1）＝－1－√3
考点：本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.
29．
(1)()max 2f x =，T π=；(2)5.
试题分析：（1）由向量点积的坐标运算得到()2
4cos sin 4sin f x a b x x x =⋅=+，再由二
倍角和化一公式得到224x π⎛⎫
-+ ⎪⎝
⎭
；由周期的定义求周期即可（2）根据左加右减
得到()224g x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
，再根据正弦函数的单调性得到2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，进而求得单调区间．
()24cos sin 4sin f x a b x x x =⋅=+ ()2sin221cos2x x =+-
224x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭.
（1）函数()f x 的最大值()max 2f x =，最小正周期22
T π
π==.
（2）依题意得：()244g x x ππ⎡⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
2224x π⎛
⎫+=++ ⎪⎝⎭， 由()222Z 2
4
2
k x k k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，
解得()3Z 88
k x k k ππ
ππ-
≤≤+∈， 故()y g x =的单调增区间为()3,Z 88k k k ππππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
. 30．
（1）函数()f x 的单调增区间为5[8k ππ-+，]8
k π
π-+，k Z ∈；（2）函数()f x 的值域
为[2]. 【解析】 【分析】
（1）由函数的图象，可求得函数的解析式为3
()2sin(2)4
f x x π=+，进而利用三角函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间；
（2）由3[8x π∈-
，]4π，则32[04x π+∈，
5]4
π
，利用三角函数的性质，即可求解函数的最大值与最小值，得到函数的值域. 【详解】
（1）求得()32sin 24f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
3222242
k x k π
π
πππ-+≤+≤+，k Z ∈ 588
k x k ππ
ππ-
+≤≤-+，k Z ∈ ∴函数()f x 的单调增区间为5[8k ππ-+，]8
k π
π-+，k Z ∈ （2）∵3[8x π∈-，]4
π
∴32[04x π+
∈，5]4
π
∴当4
x π
=
时，()min f x =8
x π
=-
时，()max 2f x =
∴函数()f x 的值域为[2] 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用问题，其中解答中根据函数的图象得出函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重靠考查了推理与运算能力，属于基础题.。