小学数学几何精讲精析专题六 立体图形-类型二 长方体 附详细解析

专题六立体图形
类型二长方体
【知识讲解】
1. 长方体的特征：
长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊的有一组对面是正方形），相对的面完全相同，有12条棱，相对的棱平行且相等，有8个顶点。

2. 长，宽，高：
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

3. 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4
用字母表示:(a+b+h) ×4
4. 长方体的表面积：
长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2
用字母表示：S=（ab+ac+bc）×2
5.长方体的体积：
长方体的体积=长×宽×高或底面积×高
用字母表示：V=abc或Sh
【典例精讲】
用27米长的钢材焊成一个长方体框架，它的长、宽、高的比是4：3：2，在这个框架外覆盖一层塑料膜，至少要多少平方米的塑料膜？
【答案】29.25平方米
【解析】本题考查的是有关比例和长方体表面积的问题。

要求长方体的表面积就得根据题中的比例关系先求出它的长、宽、高，然后再根据长方体表面积的计算
方法求出最后结果。

长方体的棱长和=4×长+4×宽+4×高，长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2。

解：设每份为x，那么长、宽、高分别为4x、3x、2x，则
16x+12x+8x=27
36x=27
x=27÷36
x=0.75
则长=3米，宽=2.25米，高=1.5米
需要的塑料膜为：(3×2.25+3×1.5+2.25×1.5)×2=29.25(平方米）
答：至少需要29.25平方米的塑料膜。

【巩固练习】
一、选择题。

1．一个长方体长是8厘米，宽和高都是5厘米，这个长方体有（）个面是长方形。

A．2 B．4 C．6
2．下列图形中，不能表示长方体平面展开图的是（）。

3．一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大（）倍。

A.2
B.4
C.6
D.8
4．一个长方体，它的长、宽、高分别是9厘米、3厘米、2.5厘米，它上面的长
是（）厘米．
A．9 B．3 C．4
5．用一根长48厘米的铁丝做一个长方体的教具，已知长是6厘米，高是4厘米，宽是（）厘米。

A．2 B．3 C．4 D．5
6．加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的（）
A．表面积 B．体积 C．容积
7．用一根长（）厘米的铁丝正好围成长6厘米、宽5厘米、高2厘米的长方体框架．
A．26 B．117 C．52 D．60
8．两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，表面积的总和（）。

A. 增加了
B. 减少了
C. 不变
9．用棱长1厘米的正方体木块，摆成底面积是12平方厘米，高是2厘米的长方体，可摆成（）种不同的形状。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10．3个棱长是1厘米的正方体小方块粘合成一个长方体，它的表面积是（）平方厘米．
A．18 B．14 C．12 D．16
11．一个长方体鱼缸，长30厘米，宽20厘米，水深8厘米，将一块石头放入水中后水面上升4厘米，这块石头的体积是（）厘米3。

A．4800 B．2400 C．6000
二、填空题。

1．长方体的6个面是，特殊情况有两个相对的面是；长方体最多有条棱相等．
2．如果长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是4厘米，那么，这个长方体有个面是长方形，有个面是正方形．
3．一个长方体盒子，长是8厘米，宽和高都是5厘米，它的表面积是平方厘米．
4．一个长方体游泳池，长50米，宽40米，放满之后可以盛水6000立方米，这个游泳池的深是，它的占地面积是，要在离游泳池口的1.2米处画一条安全线，这条安全线长．
5．把4个棱长是6分米的正方体木块拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是（）平方分米。

6．把两个棱长都是3厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。

7．—个长方体，如果高增加2厘米变成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是（）立方厘米。

三、解答题。

1．王阿姨要做一个长4.5m，宽0.6m，高75cm的玻璃柜台，现在要在柜台的各边都安装上角铁，至少需要角铁多少米？
2．学校把21立方米黄沙铺在一个长6米，宽3.5米的长方体沙坑里，可以铺多
厚？
3．一个长方体玻璃鱼缸（鱼缸的上面没有玻璃），长5分米，宽3分米，高3.5分米．制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？
4．一个长方体容器，长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面水深6厘米，如果把这个容器里的水倒入另一个长40厘米、宽30厘米的长方体容器中，水深应为多少？
5．一根长方体木料，长3米，截面是一个边长0.4米的正方形，从这根木料上截下2.5米长的一段，剩下的体积是多少立方米？
6．教室的长是8米，宽是6米，高是3.5米，现在要粉刷教室四周的墙壁，扣除门窗的面积16平方米，要粉刷的面积是多少平方米？如果每2平方米用涂料1千克，粉刷这个教室共需涂料多少千克？
7．用72厘米的铁丝焊接成一个长方体框架，长方体长、宽、高的长度比是3：2：1，这个长方体的长是多少厘米？
一、1. 【答案】B
【解析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由此解答．
解：一个长方体的长是8厘米，宽和高都是5厘米，也就是这个长方体有两个相对的面是正方形，其它4个面是完全相同的长方形．
故选：B．
【点评】此题考查的目的是使学生理解掌握长方体的特征.
2. 【答案】D。

【解析】选项A，B，C经过折叠均能围成长方体，D两个底面在侧面的同一侧，缺少一个底面，所以不能表示长方体平面展开图。

3. 【答案】D
【解析】一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大2×2×2=8倍。

4. 【答案】A
【解析】根据长方体的长、宽、高与各面的长和宽的关系，长方体的长就是它的上面的长，据此解答即可。

解：一个长方体，它的长、宽、高分别是9厘米、3厘米2.5厘米，它上面的长是9厘米。

故选：A．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体的长、宽、高与各面的长和宽的关系。

【解析】用一根长48厘米的铁丝做一个长方体的教具，也就是这个长方体的棱长总和是48厘米，因为长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，所以用棱长总和除以4减去长和高即可求出宽．据此解答．
解：48÷4﹣（6+4）
=12﹣10
=2（厘米），
答：宽是2厘米。

故选：A．
【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。

6. 【答案】A
【解析】根据油箱的特点，加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个长方体的表面积。

解：根据题干可得，要求油箱要用多少铁皮，是求这个长方体的表面积．
故选：A．
【点评】此题考查了长方体表面积的实际应用。

7. 【答案】C
【解析】根据题意可知，需要多长的铁丝围成一个长方体框架，也就是求长方体的棱长总和．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答即可。

解：（6+5+2）×4，
=13×4，
=52（厘米），
答：需要一根长52厘米的铁丝。

故选：C．
【点评】此题主要考查长方体棱长总和的计算，直接把数据代入棱长总和公式进行解答．
8. 【答案】B
【解析】本题主要考查了长方体和正方体表面积的求法。

把两个完全一样的正方体拼成一个长方体后少了2个面。

一个正方体有6个面，两个正方体有12个面，把两个完全一样的正方体拼成一个长方体后少了2个面，还剩下10个面，所以表面积总和减少了2个面的面积。

9. 【答案】C
【解析】本题考查的是学生对长方体、正方体的认识。

可以这样考虑，底面积是12平方厘米，也就是12个小正方体，它们有几种摆法，就决定了大长方体有几种摆法。

高是2厘米，说明这个长方体肯定有两层构成，底面积是12平方厘米，那么底面有三种可能的摆法1×12、2×6、3×4。

也就是说长方体可摆成三种不同的形状：长12厘米、宽1厘米、高2厘米；长6厘米、宽2厘米、高2厘米；长3厘米、宽4厘米、高2厘米。

10. 【答案】B
【解析】3个棱长是1厘米的正方体小方块粘合成一个长方体，只有一种粘合方法：一字排列；所以粘合后的表面积比原来三个小正方体的表面积减少了4个小正方体的面的面积，由此即可解决问题．
解：（6×3﹣4）×1×1，
=14×1，
=14（平方厘米），
答：它的表面积是14平方厘米．
故选：B．
【点评】抓住3个小正方体拼组长方体的方法，得出表面积减少了4个小正方体的面是解决此类问题的关键。

11. 【答案】B
【解析】往鱼缸里放入一个石头后，水面升高了，升高了的水的体积就是这石头的体积，升高的部分是一个底面积是30×20平方厘米，高4厘米的长方体，根据长方体的体积计算公式列式解答即可．
解：30×20×4=2400（立方厘米）
答：这块石头的体积是2400立方厘米．
故选：B．
【点评】此题主要考查特殊物体体积的计算方法，将物体放入或取出水中，水面上升或下降的体积就是物体的体积；也考查了长方体的体积=底面积×高．二、1. 【答案】长方形，正方形，8．
【解析】根据长方体的特征可知：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其它四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．解答即可．
解：长方体的6个面是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形；长方体最多有8条棱相等．
故答案为：长方形，正方形，8．
【点评】此题主要考查长方体的特征，掌握长方体的特征是解题的关键．
2. 【答案】4，2．
【解析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由此解答．
解：一个长方体的长是6厘米，宽和高都是4厘米，也就是这个长方体有两个相对的面是正方形，其它4个面是完全相同的长方形．
故答案为：4，2．
【点评】此题考查的目的是使学生理解掌握长方体的特征．
3. 【答案】210
【解析】根据长方体的表面积公式：s=（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答即可．
解：（8×5×2+5×5）×2，
=（40×2+25）×2，
=105×2，
=210（平方厘米），
答：这个长方体的表面积是210平方厘米．
故答案为：210．
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用．
4. 【答案】3米，2000平方米，180米．
【解析】根据长方体的体积（容积）公式：v=sh，那么h=v÷s，据此可以求出游泳池的深，根据长方形的面积公式：s=ab，把数据代入公式即可求出游泳池的占地面积，这条安全线的长度等于游泳池底面的周长，根据长方形的周长公式：
c=（a+b）×2，把数据代入公式单价即可．
解：6000÷（50×40）
=6000÷2000
=3（米），
50×40=2000（平方米），
（50+40）×2
=90×2
=180（米），
答：这个游泳池的深是3米，占地面积是2000平方米，这条安全线长180米．故答案为：3米，2000平方米，180米．
【点评】此题主要考查长方体的体积公式、长方形的面积公式、长方形周长公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式．
5. 【答案】576
【解析】把4个正方体木块拼成一个长方体，实际上只能拼成两种形状的长方体，一种是摆一排，一排4个正方体；一种是摆两排，每排2个正方体。

分别计算它们的表面积，再作比较，选出表面积较小的那个即可。

第一种长方体的长、宽、高分别是24分米、6分米、6分米，所以它的表面积是：2×（24×6＋24×6＋6×6）＝648（平方分米）；第二种长方体的长、宽、高分别是12分米、12分米、6分米，所以它的表面积是：2×（12×12＋12×6＋12×6）＝576（平方分米）。

576﹤648，所以表面积最小的长方体的表面积是576平方分米。

6. 【答案】90 54
【解析】本题考查长方体表面积和体积计算方面的知识。

解题关键是先找出正方体拼成的长方体的长、宽、高各是多少，再根据公式计算长方体的表面积和体积。

把两个棱长都是3厘米的正方体拼成一个长方体，则这个长方体的长是3×2=6厘米，宽是3厘米，高是3厘米。

长方体的表面积=6×3×4+3×3×2=90（平方厘米）（这个长方体有4个6×3的面和2个3×3的面）；长方体的体积=长×宽×高=6×3×3=54（立方厘米）。

7. 【答案】245
【解析】本题考查的是有关长方体的侧面积、表面积和体积的有关知识。

由于底面是正方形，因此长方体的长和宽相等，原长方体的长（宽）=56÷4÷2=7厘米，原长方体的高=7-2=5厘米，所以长方体的体积=7×7×5=245平方厘米。

三、1. 【答案】11.7米
【解析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，长4.5m，宽0.6m，高75cm．由此列式解答。

解：75厘米=0.75米
（4.5+0.6+0.75）×4
=5.85×4
=23.4（米）
答：至少需要角铁23.4米．
【点评】此题主要考查长方体的特征，以及长方体的棱长总和与长、宽、高的关系。

2. 【答案】1米厚
【解析】
根据长方体的体积公式：v=sh，那么h=v÷s，把数据代入公式解答即可。

解：21÷（6×3.5）
=21÷21
=1（米），
答：可以铺1米厚。

【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
3. 【答案】71平方分米
【解析】要求制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，也就是求长方体五个面的面积（缺少上面），由此即可列式解答。

解：5×3+（5×3.5+3×3.5）×2；
=15+（17.5+10.5）×2；
=15+56；
=71（平方分米）；
答：制作这个鱼缸至少需要71平方分米的玻璃。

【点评】此题是长方体表面积的实际应用，关键要弄清是求哪几个面的面积，缺少哪个面，然后列式解答即可。

4. 【答案】3厘米
【解析】先利用长方体的体积公式：V=abh，求出水的体积，又因这些水的体积是不变，用这些水的体积除以另一个容器的底面积，就是水的深度，列式解答即可。

解：30×20×6÷（40×30）
=3600÷1200
=3（厘米）
答：水深应为3厘米。

【点评】此题主要考查长方体的体积的灵活运用。

5. 【答案】0.08立方米
【解析】先求出剩下部分的长，根据长方体的体积公式：v=sh，把数据代入公式解答即可．
解：0.4×0.4×（3﹣2.5）
=0.16×0.5
=0.08（立方米），
答：剩下的体积是0.08立方米．
【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
6. 【答案】要粉刷的面积是82平方米，粉刷这个教室共需涂料41千克。

【解析】本题考查长方体表面积相关知识点。

教室是长方体，但是要粉刷的教室四周的墙壁，所以只有2个长×高和2个宽×高的面需要计算，再减去门窗的面积就得到了粉刷面积。

每2平方米用涂料1千克，用粉刷面积除以2看有几个2就需要涂料多少千克。

需要粉刷的面积是：(8×3.5+6×3.5)×2-16
=（28+21）×2-16
=49×2-16
=98-16
=82(平方米)
需要涂料：82÷2×1=41(千克）
答：要粉刷的面积是82平方米，粉刷这个教室共需涂料41千克。

7. 【答案】9厘米
【解析】本题考查是有关长方体的棱长和的问题。

长方体有12条棱，其中包括4条相等的长、4条相等的宽和4条相等的高，则长方体的棱长和=（长+宽+高）×4，用72厘米的铁丝焊接成一个长方体框架，即长方体的棱长和是72厘米。

根据长方体的棱长和公式列出出方程，然后求解即可。

解:设每份为x厘米，则长为3x厘米，宽为2x厘米，高x厘米。

由题意可知：（3x+2x+x）×4=72
6x×4=72
24x=72
x=3
长：3×3=9(厘米）
答:这个长方体的长为9厘米。