考研数学一(行列式、矩阵)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学一（行列式、矩阵）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解
析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2014年]行列式=( )．
A．(ad-bc)2
B．一(ad-bc)2
C．a2d2一b2c2
D．一a2d2+b2c2
正确答案：B
解析：令，则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，即得｜A｜=一(ad-bc)(ad-bc)=一(ad-bc)2．仅B入选．知识模块：行列式
2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．
A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0
B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0
C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0
D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0
正确答案：B
解析：利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于法则确定正确选项．因AB为m 阶矩阵，行列式｜AB｜是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到m＞n时，有秩(A)≤min{m，n}=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m．再利用乘积矩阵秩的两不大于法则得到秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故｜AB｜=0．仅B入选．知识模块：行列式
3．[2012年]设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=．若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α2]，故因而Q-1AQ 知
识模块：矩阵
4．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆
B．E—A不可逆，E+A可逆
C．E—A可逆，E+A可逆
D．E—A可逆，E+A不可逆
正确答案：C
解析：由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E —A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值．可知，它们均可逆．知识模块：矩阵
填空题
5．设n阶矩阵，则｜A｜=______．
正确答案：(一1)n-1(n一1)
解析：｜A｜是行和与列和都相等的行列式．将各列加到第1列，提取公因式n一1，去掉与第1列成比例的分列，化为下三角形行列式，得=(一1)n-1(n 一1)．知识模块：行列式
6．[2015年] n阶行列式=______.
正确答案：2n+1-2
解析：按第1行展开得到递推关系式：=2Dn-1+2(一1)n+1(一1)n-1=2Dn-1+2．依此递推，得到Dn=2Dn-1+2=2(2Dn-2+2)+2=22Dn-2+22+2=22(2Dn-3+2)+22+2=23Dn-3+23+22+2 =…=2n-1D1+2n-1+2n-2+…+22+2=2n-1·2+2n-1+2n-2+…+22+2=2n+2n-1+2n-2+…+22+2=2(1+2+22+…+2n-1)．由等比级数求和的公式a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=，令a1=2，q=2，得到Dn=2(1+2+22+…+2n-1)==(一1)(2—2n+1)=2n+1-2．知识模块：行列式
7．[2016年]行列式=______．
正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4
解析：=λ[λ·λ·(λ+1)+0·2·0+3(-1)(一1)一0·λ·3一(一1)·2·λ—(λ+1)(一1)·0]+4=λ4+λ3+2λ2+3λ+4．知识模块：行列式
8．设A，B为n阶矩阵，｜A｜=2，｜B｜=一3，则｜2A*B-1｜=______．
正确答案：一22n-1／3
解析：由｜kA｜=kn｜A｜．A*=｜A｜A-1，｜A*｜=｜A｜n-1，｜B-1｜=1／｜B｜，有｜2A*B-1｜=｜2A*｜｜B-1｜=2n｜A*｜(1／｜B｜)=2n｜A｜n-1
一／｜B｜=2n2n-1／(一3)=一22n-1／3．知识模块：行列式
9．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如｜A｜=1，那么｜B｜=______·
正确答案：2
解析：B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=A
C．其中为三阶范德蒙行列式，则｜C｜=(2—1)×(3—1)×(3—2)=2，故｜B｜=｜A｜｜C｜=2×1=2．知识模块：行列式
10．[2006年]设矩阵，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=______．
正确答案：2
解析：由BA=B+2E得｜B(A—E)｜=｜2E｜=22=4，故｜B｜｜A—E｜=4，｜B｜=4／｜A—E｜=4／2=2．知识模块：行列式
11．[2004年]设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=______．
正确答案：1/9
解析：在所给方程的两边同时右乘A，利用A*A=｜A｜E，得到ABA*A=2BA*A+A，即｜A｜AB=2｜A｜B+A，移项即得｜A｜(A一2E)B=A．两边取行列式，得到｜A｜(A-2E)B｜=｜A｜，即｜A｜3｜(A-2E)B｜=｜A｜，｜A｜2｜A一2E｜｜B｜=1，再由｜A｜=3，｜A一2E｜=1得到所求行列式｜B｜=1／｜A｜2=1／9．知识模块：行列式12．设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则｜4A-1一E｜=______．
正确答案：3
解析：所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=diag(1，2，2)=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1一E)P-1．两端取行列式有｜4A-1一E｜=｜P｜｜4Λ-1一E｜｜P-1｜=｜4Λ-1一E｜=｜4diag(1，1／2，1／2)一E｜=3．知识模块：行列式
13．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=______．
正确答案：-1
解析：由aij=一Aij，则(aij)T=一(Aij)T=一(Aji)，即AT=一A*，从而｜A｜=｜
AT｜=｜—A*｜=(一1)3｜A｜3-1=一｜A｜2．即｜A｜2+｜A｜=｜A｜(｜A｜+1)=0，故｜A｜=0或｜A｜=一1．若｜A｜=0，则由｜A｜=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0 (i=1，2，3)得到aij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵．这与假设矛盾，故｜A｜=一1. 知识模块：行列式
14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是______．
正确答案：λ≠1
解析：因方程个数与未知数的个数相同，又该方程组只有零解，可知，｜A｜≠0．而于是当λ≠1时，｜A ｜≠0，即该方程组只有零解．知识模块：行列式
15．设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=，则αTα=______．
正确答案：3
解析：由ααT= 知，于是αTα=3．知识模块：矩阵
16．设，而n≥2为整数，则An一2An-1=______．
正确答案：O
解析：先求出n=2和n=3时A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A．当n=3时，A2=A2·A=2A·A=2A2=2·2A=22A．设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak·A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1·2A=2kA．因而对任何自然数n，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1A一2·2n-2A=O．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．[2012年] 设计算行列式.
正确答案：由题得｜A｜=1·1·1·1+(一1)4+12a·a·a·a=1一a4．涉及知识点：行列式
18．[2008年] 设n元线性方程组AX=b，其中证明行列式｜A｜=(n+1)an.
正确答案：利用三对称行列式的结论证之．知｜AT｜==(n+1)an，故｜A｜=｜AT｜=(n+1)an．涉及知识点：行列式
19．设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵．当A*=AT时，证明｜A｜≠0．
正确答案：用反证法证之．若｜A｜=0，则AAT=AA*=｜A｜E=O．设A=[aij]n ×n的行向量为ai(i=1，2，…，n)，则由AAT=O得αiαiT=ai12+ai22+…+ain2=0(i=1，2，…，n)，于是αi=0(ai1，ai2，…ain)(i=1，2，…，n)，进而有
A=O．这与A≠O矛盾，故｜A｜=0．涉及知识点：行列式
20．设A是n阶矩阵，满足AAT=E(E是n阶单位矩阵，AT是A的转置矩阵)，｜A｜＜0，求｜A+E｜．
正确答案：｜A+E｜=｜A+AAT｜=｜A(E+AT)｜=｜A｜｜E+AT｜=｜A｜｜ET+AT｜=｜A｜(E+A)T｜=｜A｜E+A｜，故(1一｜A｜)｜A+E｜=0．因｜A｜＜0，有1一｜A｜＞0，可得｜A+E｜=0．涉及知识点：行列式
21．[2008年]设n元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1．
正确答案：当｜A｜≠0即a≠0时，由克拉默法则知，该方程组AX=b有唯一解，且唯一解的第1个分量x1=D1／｜A｜，其中将A的第1列换成[1，0，…，0]T，得到=｜A｜n-1=nan-1 ．故x1=D1／｜A｜=nan-1／[(n+1)an]=n／[(n+1)a]．涉及知识点：行列式
22．设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1.
正确答案：A2=(E一ξξT)(E一ξξT)=E一2ξξT+ξξTξξT=E一2ξξT+(ξξT)ξξT．①如果A2=A，则E一2ξξT+(ξξT)ξξT=E一ξξT，即ξξT(1一ξξT)=O．因ξ≠0，故ξξT≠O．因而1一ξTξ=0，即ξTξ=1．反之，如果ξTξ=1，则由式①有A2=E一2ξξT+ξξT=E一ξξT=A．涉及知识点：矩阵
[2018年] 已知a是常数，且矩阵可经初等变换化为矩阵
23．求a；
正确答案：由题设条件可知矩阵A与B等价，则，r(A)=r(B)．因为所以因此a=2．涉及知识点：矩阵
24．求满足AP=B的可逆矩阵P．
正确答案：设矩阵，对增广矩阵作初等变换可得解得所以又因P可逆，因此即k2≠k3．故，其中k1，k2，k3为任意常数，且k2≠k3．涉及知识点：矩阵
[2016年] 已知矩阵
25．求A99；
正确答案：由｜λE—A｜==λ(λ+1)(λ+2)=0知A有3个不相等的特征值．下面求可逆矩阵P使P-1AP=Λ．为此求出A的3个线性无关的特征向量．当λ1=0时，有(0E-A)X=0即AX=0．由及基础解系的简便求法得特征向量a=[3／2，1，1]，取特征向量a1=(3，2，2)T．当λ2=一1时，有(一E—A)X=0．由及基础解系的简便求法即得特征向量为b2=(1，1，0)T．当λ2=一2时，有(一2E-A)X=0，由一2E-A=及基础解系的简便求法得对应于λ3=一2的特征向量c=(1／2，1，0)，取c3=[1，2，0]T．令P=[a1，b2，c3]，因它们属于不同特征值的特征向量，故a1，b2，c3线性无关，故P为可逆矩阵，且有P-1AP=Λ=diag(0，一1，一2)，即A=PAP-1，则A**=(PΛP-1)99=PΛ99P-1 涉及知识点：矩阵
26．设三阶矩阵B=[α1，α2，α3]满足B2=BA，记B100=[β1，β2，β3]，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
正确答案：先证BA99=B100．事实上，BA2=BA·A=B2·A=B·BA=B·B2=B3，BA3=BA2·A=B3·A=B2·BA=B2·B2=B4，…．设BA98=B99，则BA99=BA98·A=B99·A=B98·BA=B98·B2=B100，由B100=[β1，β2，β3]，B=[α1，α2，α3]，B100=BA99，得到[β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]故β1=(一2+299)α1+(一2+2100)α2，β2=(1—299)α1+(1—2100)α2，β3=(2—298)α1+(2-299)α2．涉及知识点：矩阵
27．设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．
正确答案：当ξξT=1时，因为有A2=A．如果A可逆，则A-1A2=A-1A，即A=E．这与A≠E矛盾，故A不可逆．涉及知识点：矩阵。