课件6：1.2.4 诱导公式

思考
1．三角函数的诱导公式的公式一和公式二各有什么作用？ 诱导公式的公式一的作用是将任意角的三角函数求值问 题转化为 0～2π 之间角的三角函数求值问题．诱导公式 的公式二的作用是将任意负角的三角函数求值问题转化 为正角的三角函数求值问题．
(3)角 α 与 α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系
解:(1)cosπ5＋cos25π＋cos35π＋cos45π ＝cosπ5＋cos25π＋cos(π－25π)＋cos(π－π5) ＝cosπ5＋cos25π－cos25π－cosπ5 ＝0.
(2)cos(56π＋α)·sin(23π－α) ＝cos[π－(π6－α)]·sin[π－(π3＋α)] ＝－cos(π6－α)·sin(π3＋α) ＝－13sin[π2－(π6－α)] ＝－13cos(π6－α)＝－19.
cosα＋k·2π＝_c_o_s_α__ sinα＋k·2π＝__si_n_α__ (公式一) tanα＋k·2π＝_t_a_n_α_
(2)角 α 与－α 的三角函数间的关系
cos－α＝__c_o_s_α__ sin－α＝_－__s_in_α__ (公式二) tan－α＝_－__ta_n_α__
知识回顾
sinα
1．sin2α＋cos2α＝__1__，tanα＝__co_s_α___. 2．同 α 终边相同的角 β 的集合为 _{_β|_β_＝__α_＋__k·_3_6_0_°__，__k∈__Z__}_____．
3．角 α 与－α 的终边关于__x_轴____对称．
知识梳理
1．诱导公式 (1)角 α 与 α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系
课堂检测 1.(1)求 sin(－130π)＋cos269π 的值； (2)已知 cos(π＋α)＝－12，求 cos(2π＋α)的值．
解：(1)sin(－130π)＋cos269π＝－sin103π＋cos(4π＋56π) ＝－sin(2π＋43π)＋cos56π＝－sin43π＋cos(π－π6) ＝－sin(π＋π3)－cosπ6＝sinπ3－cosπ6 ＝ 23－ 23＝0.
思考 2．若α是第三象限角时，sin(π－α)＝sinα还成立吗？ 成立．公式 sin(π－α)＝sinα 中的 α 是任意角，无论 α 是第几 象限角，都有 sin(π－α)＝sinα.如果想进一步求出 sinα 的值或 对 sinα 进行化简时，那么再用诱导公式化为[0，π2)之间的三角 函数值问题．
例 2.化简：sinπt－anα3sπi－n32απ－α＋ssiinn223ππ－ ＋ααccoossα2π－＋72απ.
解:∵tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα， sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π＋α)＝cosα， sin(32π－α)＝－cosα，cos(α－72π)＝cos(72π－α) ＝cos(4π－π2－α)＝cos(π2＋α)＝－sinα， sin(32π＋α)＝－os440° sin260°＋cos800° .
解：原式＝
1＋2sin360°－80°·cos360°＋80° sin180°＋80°＋cos720°＋80°
＝
1－2sin80°·cos80° －sin80°＋cos80°
＝
sin280°＋cos280°－2sin80°·cos80° －sin80°＋cos80°
证明：左边＝cosθ－－ccoossθθ－1＋－cosθccoossθθ＋cosθ ＝1＋1cosθ＋1－1cosθ＝11－＋ccoossθθ＋11－＋ccoossθθ ＝1－c2os2θ＝sin22θ＝右边．

3．你有比较简便的记忆诱导公式的方法吗？ 诱导公式都是角 α 的正弦、余弦函数与 k·π2±α(k∈Z)的正弦、 余弦函数之间的转化，记忆的口诀是：奇变偶不变，符号看 象限．
例 1.(1)求 cosπ5＋cos25π＋cos35π＋cos45π的值． (2)已知 cos(π6－α)＝13，求 cos(56π＋α)·sin(23π－α)的值．
规律方法
(1)利用诱导公式一～四求任意角三角函数的步骤是：
任意负 角的三 角函数
公―式―一→或
公式三
任意正角 的三角 函数
―公―式→一
0～2π的角的 三角函数
公―式―二→或
公式四
锐角三 角函数
(2)是一个利用互余关系解题的问题，解决这类问题关键 是要能发现这种互余关系，常见的互余关系有π3－α 与6π＋ α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4－α 等，记住这些结论有时会 给我们带来意想不到的方便．
(2)∵cos(π＋α)＝－cosα＝－12，
∴cosα＝12，∴α 为第一或第四象限角． ①若 α 为第一象限角， 则 cos(π2＋α)＝－sinα＝－ 1－cos2α
＝－
1－212＝－
3 2.
②若 α 为第四象限角，
则 cos(π2＋α)＝－sinα＝ 1－cos2α＝
1－212＝
3 2.
以－α 替代 α 可得另一组 cos(－α＋π2)＝__s_i_n_α___,sin(－α＋π2)＝__c_o_s_α__. 2．角 α＋nπ 的三角函数值 sin(α＋nπ)＝__－____ss__iinn__αα_____nn为为偶奇数数 cos(α＋nπ)＝－____c__coo__s__sαα____nn为为奇偶数数 tan(α＋nπ)＝__t_a_n_α__，n∈Z
∴原式＝sinα－－tancαosα＋－－sicnoαsα－·csoisnαα ＝co1s2α－csoins22αα＝1－cossi2nα2α＝ccooss22αα＝1.
例 3.已知 sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0. 证明:∵sin(α＋β)＝1， ∴α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)．∴α＝2kπ＋π2－β(k∈Z)， ∴tan(2α＋β)＋tanβ＝tan[2(2kπ＋π2－β)＋β]＋tanβ ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0， ∴tan(2α＋β)＋tanβ＝0.
规律方法 证明条件不等式一般有两种方法：一是从被证等式一边推 向另一边，将条件代入，推出被证式的另一边，这种证法 称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证等式， 这种方法称作推出法，证明条件等式不论使用哪种方法都 要抓住目标，由果变形．
课堂小结 1．应用诱导公式的重点是“函数名称”与正负号的正确 判断，要牢记“奇变偶不变，符号看象限”． 2．求任意角的三角函数问题一般步骤是“负化正，正化 锐”，再求值或化简或证明，要体会其中的化归思想， 以得到正确的解题思路． 3．题目中出现形如 kπ＋α(k∈Z)形式时，要注意分类讨 论，以确定化简后的正负号问题．
＝ －ssinin8800°°－＋ccooss8800°°2＝|ccooss8800°°－－ssiinn8800°°| ＝scions8800°°－－csoins8800°°＝－1.
3.求证：cosθ[csions32ππ－－θθ－1]＋ cosπ＋θscinosπ22＋π－θ－θsin32π＋θ＝sin22θ.
cos[α＋2k＋1π]＝－__c_o_s_α_ sin[α＋2k＋1π]＝_－__si_n_α___ (公式三) tan[α＋2k＋1π]＝___ta_n_α____
(4)角 α 与 α＋π2的三角函数间的关系
cosα＋π2＝_－__s_in_α___ (公式四)
sinα＋π2＝__c_o_sα___
1.2.4 诱导公式
学习目标 1.会借助单位圆的直观性探索正弦、余弦和正切的诱导公式． 2.掌握角 α 与 α＋k·2π(k∈Z)，α 与 α＋(2k＋1)π(k∈Z)， α 与－α，α 与π2＋α，α 与π2－α 的三角函数间的关系，并能用 公式解决简单的三角函数的化简、求值和有关三角命题的证 明等问题．