湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）
期末数学试卷
一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）
1.设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）
A. 3，1，2，4，
B.
C. 2，3，4，
D. 3，4，
2.已知tan，＜＜，则sinα的值为（）
A. B. C. D.
3.已知||=4，||=3，且与不共线，若向量与互相垂直，则k的值为
（）
A. B. C. D.
4.如果奇函数f（x）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f（x）在区间[-8，-2]
上是（）
A. 增函数且最小值为
B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为
D. 减函数且最大值为
5.函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是（）
A. B. C. D.
6.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则C=（）
A. B. C. D. 或
7.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是
（）
A. 等腰三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
8.已知集合＜，＜，若A∩B=∅，则实数a的
取值范围是（）
A. B. C. D.
9.设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）
A. B. C. D.
10.化简的结果是（）
A. 1
B.
C.
D.
11.先把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象．当x∈[，]时，函数g（x）的值域为（）
A. B. C. D. 00
12.设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[-2，
0]时，f（x）的解析式为f（x）=（）
A. B. C. D.
13.若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|
的最小值为，则ω的值为（）
A. B. C. D. 2
14.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动
点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋
转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向
的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）
的图象是（）
A.
B.
C.
D.
15.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=，＜
，＞
则关
于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的实数根个数为（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
16.lg2+lg5+π0=______．
17.已知tanα=3，则=______．
18.已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是______．
19.若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是______．
20.在△ABC中，已知，，△ ，P为线段AB上的一
点，且，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．
（1）求A∩B；
（2）求（∁R A）∪B．
22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，sin C=2sin A，求a，c的值．
23.已知函数f（x）=sin xcox-cos2x+．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．
24.已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα．
25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．
（1）求集合C；
（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}， ∴集合A ∪B={1，2，3，4，5}． 故选C ．
集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A ∪B ，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A ∪B ．
本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B
【解析】
解：∵tan ，
∴
，解得
或
．
∵，∴sinα=．
故选：B ．
由已知结合同角三角函数基本关系式求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3.【答案】A
【解析】
解：∵||=4，|
|=3，且与不共线，
向量与互相垂直，
∴（
）（
）=
=16-9k 2=0，
解得k=±． 故选：A ．
由向量
与
互相垂直，得（
）（
）=
=16-9k 2=0，由此能求出k ．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4.【答案】D
【解析】
解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，
又由f（x）为奇函数，
则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，
故选：D．
由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】
解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，
所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．
f（-1）=＜0．
f（0）=1-7＜0．
f（1）=2+3-7＜0．
f（2）=4+6-7＞0．
函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．
故选：C．
判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．
本题考查零点判定定理的应用，是基础题．
6.【答案】C
【解析】
解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，
可得cosC=，
∵0°＜C＜180°，
∴C=120°．
故选：C．
直接由已知结合余弦定理求解．
本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．
7.【答案】D
【解析】
解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，
可得，
可得sin2A=sin2B．
可得2A=2B或2A+2B=π，
即：A=B或A+B=；
故选：D．
利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．
本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．
8.【答案】B
【解析】
解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．
由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．
若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，
故选：B．
解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．
本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．
9.【答案】D
【解析】
解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．
再由可得x=-3，∴tanα==-，
故选：D．
根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基
础题．
10.【答案】C
【解析】
解：=
=-tanα．
故选：C．
利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】
解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，
得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．
x∈[]时，，
所以：sin（2x-）．
故选：B．
首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函
数的性质的应用．
12.【答案】C
【解析】
解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，
∴x∈[-2，-1]时，
2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，
此时f（x）=f（4+x）=4+x，
x∈[-1，0]时，
-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，
此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，
综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|
故选：C．
根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．
本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．
13.【答案】A
【解析】
解：=，
∵函数f（x）的最大值为2，
∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，
∴函数f（x）的周期T=4×=6π，
由周期公式可得T==6π，解得ω=，
故选：A．
利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．
本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．
14.【答案】C
【解析】
解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为
连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可
得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；
又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；
故选：C．
由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B 时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．
由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．
15.【答案】B
【解析】
解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，
解得t=或t=，
当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．
若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）
==（2|x-3|-1），
若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）
==（2|x-5|-1），
作出当x＞0时，f（x）=
的图象如图：
当t=时，f（x）=对应3个交点．
∵函数f（x）是奇函数，
∴当x＜0时，由f（x）=，
可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，
综上共有7个交点，即方程有7个根．
故选：B．
先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
16.【答案】2
【解析】
解：lg2+lg5+π0
=lg10+1
=2．
故答案为：2．
利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．
本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
17.【答案】
【解析】
解：∵tanα=3，
∴=．
故答案为：．
直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
18.【答案】1
【解析】
解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1 故答案为：1
根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．
本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．
19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）
【解析】
解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，
则
解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）
故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）
若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
20.【答案】
【解析】
解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵，S △ABC=6
∴bccosA=9，bcsinA=6
∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）
设，则||=||=1，，
由=（x，0）+（0，y）=（x，y），
∴x=3λ，y=4-4λ，
则4x+3y=12．
（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）
==（7+）≥
故所求的最小值为．
故答案为：．
设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得
=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量
，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．
本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．
21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，
B={x|1≤x≤4}．
∴A∩B={x|1≤x≤2}．
（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，
∴（∁R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．
【解析】
（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．
（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（∁R A）∪B．
本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．
22.【答案】解：（1）∵．
又∵由正弦定理，可得：sin B=，
∴可得：=tan B=，
∵B∈（0，π），
∴B=．
（2）由sin C=2sin A及正弦定理，得c=2a，①．
又b=2，B=，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得12=a2+c2-ac，②
由①②得a=2，c=4．
【解析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．
（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，
本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
23.【答案】解：（1）函数f（x）=sin xcox-cos2x+．
=，
=，
令（k∈Z），
解得：（k∈Z），
故函数的单调递增区间为：，（k∈Z）．
（2）由于f（x）=，
所以f（α）=，f（β）=，
角α，β的终边不共线，
所以，
整理得，
所以tan（α+β）=-．
【解析】
（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．
（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应
用．
24.【答案】解：（1）=1，同理=1．
∵|-|=，
∴=，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，
∴cos（α-β）=．
（2）∵0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，
∴0＜α-β＜π，=．
∴sin（α-β）==．
∴sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
==．
【解析】
（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出；
（2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，可得0＜α-β＜π，，
sin（α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．
本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．
25.【答案】解：（1）f（x）+f（-x）=2x2
当x≥0时，2x2≤2x⇒0≤x≤1，
当x＜0时，2x2≤-2x⇒-1≤x＜0，
∴集合C=[-1，1]．
（2）f（a x）-a x+1-11=0⇒（a x）2-（a-1）a x-11=0，令a x=u
则方程为h（u）=u2-（a-1）u-11=0 h（0）=-11，u=a x，∈，对称轴x=
当a＞2时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴
函数在区间内先单调递减，再单调递增
此时
则即可
解得：
当时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴
函数在区间内单调递增
则⇒a≥11，又
此时无解
当 0＜a＜1时，u∈[a，]，h（u）=0 在[a，]上有解，对称轴
函数在区间内单调递增
则⇒0＜a≤，
∴当 0＜a≤或a≥11时，方程在C上有解，且有唯一解．
【解析】
（1）直接把函数f（x）=x2+x代入不等式，化简解答即可．
（2）先把函数f（x）=x2+x代入方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1），方程f（a x）
-a x+1=11（a＞0且a≠1）在C上有解，转化为a x在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。