人教A高中数学必修4第二章 向量数乘运算及其几何意义

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1→ → 解析：因为AB＝－ CD， 2 1 所以 AB∥CD，且 AB＝ CD， 2 所以四边形 ABCD 为梯形．
答案：C
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11 3. 22a＋8b－4a－2b＝________. 3
1 11 1 1 4 4 2 解析： 22a＋8b－4a－2b＝ (2a＋8b)－ (4a－2b)＝ a＋ b－ a＋ b＝2b－a. 3 3 3 3 3 3 6
→ → → → → → (2)(AB＋CD)＋(BC＋DE)－(EF－EA) → → → → → → ＝(AB＋BC)＋(CD＋DE)－(EF－EA) → → → → → → → → ＝AC＋CE＋EA－EF＝AE＋EA－EF＝－EF.
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探究二 [典例 2]
向量的线性运算
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01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
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[自主梳理] 一、相反向量 与 a 长度相等，方向相反 的向量，叫作 a 的相反向量，记作－a . 1．规定：零向量的相反向量仍是 零向量 ． 2．－(－a)＝a. 3．a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝0. 4．若 a 与 b 互为相反向量，则 a＝ －b ，b＝ －a ，a＋b＝0.
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解法二
→ → → → → → → → (AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD
→ → → → → → ＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0. 解法三 设 O 为平面内任意一点，则有
→ －CD → )－(AC → －BD → )＝AB → －CD → －AC → ＋BD → (AB → －OA → )－(OD → －OC → )－(OC → －OA → )＋(OD → －OB →) ＝(OB → → → → → → → → ＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.
λμ2b . 实数 λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a± μ2b)＝ λμ1a±
四、共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa .
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[双基自测] 1．下列等式中，正确的个数是( )
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①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；③0－a＝－a； ④－(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0. A．1 C．3 B．2 D．4
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2.2.2 2.2.3
向量减法运算及其几何意义 向量数乘运算及其几何意义
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考
纲
定
位
重
难
突
破
1.了解向量减法的概念，掌握向量减法 的几何意义及有关运算． 重点：向量减法及数乘运算．
2.掌握向量数乘运算的概念，能应用向 难点： 向量减法及数乘运算的 量数乘运算的运算律化简数乘运算． 3.掌握向量的共线定理及应用. 几何意义.
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三、向量的数乘运算 1．向量的数乘运算的概念
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实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ，这种运算叫作 向量的数乘 ，记作 λa ，其长 度与方向规定如下： (1)|λa|＝ |λ||a| .
当 (2)λa(a≠0)的方向 当
λ＞0 时，与a方向相同 ； λ＜0 时，与a方向相反
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注意满足下列两种形式可以化简： (1)首尾相接且为和． (2)起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用、统一向量起点方法 的应用．
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1．化简下列各式： → → → → → → (1)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)； → ＋CD → )＋(BC → ＋DE → )－(EF → －EA → )． (2)(AB → → → → → → → → → → → → 解析：(1)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)＝(AC＋BA)－(OC－OB)＝BC－BC＝0.
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二、向量的减法 1．定义：a－b＝a＋ (－b) ，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 → ＝a.AD → ＝b，则 → ＝a－b， 2.几何意义：以 A 为起点，作向量AB DB 如图所示， 即 a－b 可表示从 向量 b 的终点 指向 向量 a 的终点 的 向量． ．
→ ＝a，OB →＝ 如图所示，四边形 OADB 是以向量OA
1 1 b 为边的平行四边形，又 BM＝ BC，CN＝ CD，试用 a，b 3 3 → ，ON → ，MN →. 表示OM
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答案：2b－a
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探究一 [典例 1]
[解析]
向量的加、减运算
→ －CD → )－(AC → －BD → )． 化简(AB
解法一 → → → → (AB－CD)－(AC－BD)
→ → → → → → → → ＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD → ＋BD → )＋(DC → ＋CA → )＝AD → ＋DA → ＝0. ＝(AB
解析：由向量的加法及几何意义，可得：①a＋b＝b＋a，正确；由向量减法及 其几何意义，得 a－b＝－(b－a)，即②错误；0－a＝－a，③正确；根据相反 向量的定义及性质得－(－a)＝a，④正确；而 a＋(－a)＝0≠0. 答案：C
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1→ → 2．在四边形 ABCD 中，若AB＝－ CD，则此四边形是( 2 A．平行四边形 C．梯形 B．菱形 D．矩形
特别地，当 λ＝0 或 a＝0 时，0a＝0 或 λ0＝0.
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2．向量数乘的运算律 (1)λ(μ a)＝ (λμ)a ； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa ； (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb . 3．向量的线性运算、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量 a，b，以及任意