高一数学第一单元知识点归纳

高一数学第一单元知识点归纳
一、集合的概念。

1. 集合的定义。

- 集合是由确定的元素组成的总体。

例如，所有小于10的正整数组成的集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}。

这些元素具有确定性，即给定一个对象，能明确判断它是否属于这个集合。

2. 元素与集合的关系。

- 属于（∈）：如果a是集合A中的元素，就说a∈ A。

例如，3∈{1,2,3}。

- 不属于（∉）：如果a不是集合A中的元素，就说a∉ A。

比如5∉{2,4,6}。

3. 集合中元素的特性。

- 确定性：集合中的元素必须是确定的，不能模棱两可。

- 互异性：集合中的元素互不相同。

例如，集合{1,1,2}不符合互异性，应写成{1,2}。

- 无序性：集合中的元素没有顺序之分，{1,2,3}和{3,1,2}表示同一个集合。

二、集合的表示方法。

1. 列举法。

- 把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

例如，A = {xx是小于5的正整数}={1,2,3,4}。

2. 描述法。

- 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。

一般形式为{xp(x)}，其中x 是集合中的代表元素，p(x)是元素x所满足的条件。

例如，B={xx^2 - 1 = 0}，解x^2 -
1 = 0得x = 1或x=- 1，所以B = {1,-1}。

三、集合间的基本关系。

1. 子集。

- 定义：对于两个集合A，B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作A⊆ B（或B⊇ A）。

例如，A={1,2}，B = {1,2,3}，则A⊆ B。

- 性质：
- 任何一个集合是它本身的子集，即A⊆ A。

- 空集是任何集合的子集，即varnothing⊆ A。

2. 真子集。

- 定义：如果集合A⊆ B，但存在元素x∈ B，且x∉ A，就称集合A是集合B 的真子集，记作A⊂neqq B。

例如，A={1,2}，B={1,2,3}，则A⊂neqq B。

- 性质：空集是任何非空集合的真子集。

3. 集合相等。

- 如果A⊆ B且B⊆ A，那么A = B。

例如，A={xx^2 - 4 = 0}，B={2,- 2}，因为A中的元素满足x^2 - 4 = 0解得x = 2或x=-2，所以A = B。

四、集合的基本运算。

1. 交集。

- 定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A 与B的交集，记作A∩ B，即A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。

例如，A={1,2,3}，
B={2,3,4}，则A∩ B = {2,3}。

- 性质：
- A∩ A = A。

- A∩varnothing=varnothing。

2. 并集。

- 定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A 与B的并集，记作A∪ B，即A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。

例如，A={1,2,3}，
B={3,4,5}，则A∪ B={1,2,3,4,5}。

- 性质：
- A∪ A = A。

- A∪varnothing = A。

3. 补集。

- 定义：设U是一个全集，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集U中的补集，记作∁_UA，即∁_UA={xx∈ U且x∉A}。

例如，U = {1,2,3,4,5}，A={1,2}，则∁_UA={3,4,5}。

- 性质：
- A∪∁_UA = U。

- A∩∁_UA=varnothing。