《精编》安徽省六校教育研究会高二数学素质测试试题 理 新人教A版.doc

安徽省六校教育研究会年高二素质测试
数学〔理科〕
本试卷分第一卷和第II 卷〔非选择题〕两局部，第一卷第1至第2页，第II 卷第3至第5页。

全卷总分值150分，考试时间为120分钟。

考生本卷须知：
1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中的姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡反面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第I 卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上所对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡的规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

第一卷〔选择题 共50分〕
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. 集合A={1,3，zi }，i 为虚数单位,B={4}，A ∪B=A 那么复数z =〔 〕
A ．-2i
B ． 2i i i 2.
“x =
(2,1)a x =+与向量(2,2)b x =-共线〞的〔 〕
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 3. 函数)42sin()(π
-
=x x f 在]2
,0[π
上的单增区间是〔 〕 A ．]8,
0[π B ．]2,8[π
π
C ．]83,0[π
D ．]2
,83[ππ 4.在正项等比数列{n a }中，1n a +＜n a ,28466,5a a a a •=+=,那么
5
7
a a =〔 〕
A ．
56 B ．65 C ．23 D ．32
5. 某流程图如以以下图，现输入如下四个函数， 那么可以输出的函数是〔 〕
A ．||
()x f x x
=
B ．(
)
2()lg 1f x x x =+-
C ．()x x x x
e e
f x e e --+=- D ．2
2
1()1x f x x -=+
6. 正方形ABCD 的边长为2， H 是边DA 的中点.在正方形ABCD 内部随机取一点P ，那么满足|PH|<2的概率为〔 〕
A ．
8π B ．184π+ C ．4
π D ．1
44π+
7. ,e π分别是自然对数的底和圆周率，那么以下不等式不成立的是〔 〕
A. ()2
log log 2e e ππ+> B. log log 1e e π
π+>
C. e e e e π
π->- D. ()3
334()e e ππ+<+
)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F(2,0),设A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M,BF 的中点为N,假设原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB 的斜率为37
7
，
那么双曲线的离心率为〔 〕 A ．3
B ．5
C ．2
D ．4
9. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动〔含,x y 正半轴上的整点〕，其运动规律为(,)(1,1)m n m n →++或(,)(1,1)m n m n →+-。

假设该动点从原点出发，经过6步运动到〔6,2〕点，那么有〔 〕种不同的运动轨迹。

A ．15 B ．14 C ． 9
D ．10
10. 定义：符合f(x)=x 的x 称为f(x)的一阶不动点，符合f(f(x))=x 的x 称为f(x)的二阶不动点。

设函数f(x)=+bx+c,假设函数f(x)没有一阶不动点，那么函数f(x)二阶不动点的个数为〔 〕 A ．四个 B ．两个 C ．一个
D ．零个
第II 卷〔非选择题 共100分〕
是
是
否
否
开始
()
f x 输入()()0?
f x f x +-=()f x 有零点？
()
f x 输出结束
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.
11． ()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，那么二项式1()n
x x
-展开式中2
x 项的系数
为 .
12. 设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=)
0(,log )
0(,2)(2x x x x f x ，那么方程1()2f x =的解集为 。

13.假设实数x,y 满足不等式组22
124x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
，那么31x y -+的最大值
是 。

14. 设直线l 与曲线31y x x =++有三个不同的交点,,A B C ,
且AB BC ==,那么直线l 的方程为_________________。

15. 如以以下图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：
①平面MENF ⊥平面BDD B ''；
②当且仅当x =1
2
时，四边形MENF 的面积最小；
③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中真．命题．．的序号为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.(本小题总分值12分)凸四边形PABQ 中，其中A 、B 为定点，
P 、Q 为动点，满足AP=PQ=QB=1.
〔1〕写出cos cos A Q 与的关系式；
〔2〕设APB PQB ∆∆和的面积分别为Ｓ和Ｔ，求22S T +的最大值，以及此时凸四边形PABQ 的面积。

17.〔本小题总分值12分〕小明参加完高考后，某日路过一家电子游戏室，注意到一台电子游戏机的规那么是：
你可在1,2,3,4,5,6点中选一个，押上赌注a 元。

掷3枚骰子，如果所押的点数出现1
次、2次、3次，那么原来的赌注仍还给你，并且你还分别可以收到赌注的1倍、2倍、3倍的奖励。

如果所押的点数不出现，那么赌注就被庄家没收。

〔1〕求掷3枚骰子，至少出现1枚为1点的概率；
〔2〕如果小明准备尝试一次，请你计算一下他获利的期望值，并给小明一个正确的建议。

18．〔本小题总分值12分〕如图，几何体111ABCD B C D -中，四边形ABCD 为菱形，
60BAD ∠=，AB a =，面111B C D ∥面ABCD ,1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,
且1BB ，
E 为1CC 的中点，
F 为AB 的中点.
〔1〕求几何体111ABCD B C D -的体积；
〔2〕求证：1DB E ∆为等腰直角三角形；
〔3〕求二面角1B DE F --的大小.
19.〔本小题总分值13分〕设数列{}n a 的前n 项和为S n ,且1S 22,n n n a n N +*=-∈.
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n a n b n a +=
-+,记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为T n .求证：T n <4
3，N n *∈。

20.〔本小题总分值13分〕点P 是椭圆22
143
x y +=外的任意一点，过点P 的直线PA 、PB 分别与椭圆相切于A 、B 两点。

〔1〕假设点P 的坐标为〔1,2〕，求直线AB 的方程。

〔2〕设椭圆的左焦点为F ，请问：当点P 运动时，PFA PFB ∠∠与是否总是相等？假设是，请给出证明。

21.〔本小题总分值13分〕设函数()()2
1x
f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(1) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间和极值；
(2) 当[)0+k ∈∞，时,证明函数()f x 在R 上有且只有一个零点。

安徽省六校教育研究会年
高二素质测试
数学〔理科〕参考答案及评分细那么
1
一、选择题 DACDB BCCCD 二、填空题
11．15 12
．1,
2⎧⎪-⎨⎪⎩ 13．4 14．21y x =+ 15．①②④ 三、解答题
16．〔1〕由余弦定理，在ΔPAB 中，2222cos PB PA AB PA AB A =+-•••
=4A -，在ΔPQB 中，2222cos PB PQ QB PQ QB Q =+-•••=22cos Q -。

所
以
4A -=22cos Q -，
即
cos 1.Q A ---------------------------------4分
〔2
〕111sin sin sin .222S PA AB A T PQ QB Q Q =••==•= 2222223131
sin sin (1cos )(1cos )4444S T A Q A Q +=+=-+-所以
=223cos 337
(cos ,2428A A A -
+=--+
当cos A =227
.8
S T +有最大值
此时，PABQ S ------------------------12分
17．〔1〕55591
P=1.666216
-⨯⨯
=------------------------ 4分
〔2〕()2
2
3
31575
,
662161515
(2)3,
66216
113,
62165125
().
6216a a a a a P a P a P a ξξξξξξ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫
=== ⎪⎝⎭⎛⎫=-== ⎪⎝⎭
设小明获利元，则的可能取值为,2,3,-.P(=)=3
所以751511251723().216216216216216
E a a a a a ξ=⨯+⨯+⨯+⨯-=-----------------------12分
18．〔1
〕111223
1.23412
ABCD B C D V a a -=
-⨯=---------3分 〔2〕连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=，所以BD a = 因为1BB 、1CC 都垂直于面ABCD ,∴11//BB CC ，又面111B C D ∥面ABCD ,
所以四边形11BCC B 为平行四边形 ,那么11B C BC a ==因为1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,
那么
1DB ===
DE ===
12
B E == 所以22
2
2
22116634
a a DE B E a DB ++=
== 所以1DB E ∆为等腰直角三角形 -----------------7分
〔3〕取1DB 的中点H ，因为,O H 分别为1,DB DB 的中点，所以OH ∥1BB 以,,OA OB OH 分别为,,x y z 轴建立坐标系，那么
1(0,,0),(),(0,),,,0)224
a a a D E B F -
所以1333
(
,),(,,0)224
a EB a a DF a == 1111111,,
,,.,,.
CC ABCD CC DF F AB DF DC DF D DCC DF DE DE DF DE DF ⊥∴⊥∴⊥∴⊥∴⊥
⊥⊥>平面为的中点，平面由 EB 知二面角B -DE-F 的大小为<EB 因为 22
11330
8cos ,452622
a a EB DF B DE F ++<>==--所以二面角的大小为。

-------------------------------------------------------------12分
E
1
19.〔1〕
由1111S 22a +=-得1 4.a =
由11111111
1S 22,S 22(2)22222,1,1222=2=2+1)1,(1)2,.22
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a n a a a a a a a a a a n n a n n N +------*=-=-≥=--⎧⎫-=∴
-=∴⎨⎬⎩⎭
∴-=+∴=+∈相减得即
是以为公差的等差数列。

，（ -------------------------------------------6分 〔2〕
12111111
1211211111112,........211111122(2)2(2),2.(2).222211*********.......(.......),
2224
.3
n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n b T b b b b b n b b n T T b b b b b b b b T b ---+---=-=+++-
=->-∴>∴<•≥≥=+++<++++<+∴<
=当时，
当n=1时，T 1=
1124.33
b =< 综上，T n <4
.3
--------------------------------------------13分 20．〔1〕设点A 的坐标为〔x 1,y 1〕,那么过点A 的切线方程为
11143
x x y y +=。

1122221. 1.4343x y x y
P ∴
+=+=点在切线上，同理， 2 1.43
x y
AB +=故直线方程为---------------------5分
〔2当点P 运动时，PFA PFB ∠∠与总是相等的。

F(-1，0)。

设点P 的坐标为〔m,n 〕,那么由〔1〕知，11m 143x ny +=。

113(1).4
mx
ny ∴=-
1,11111111
2(1)(1,)
2
(1)(1)=(1)(1)+31)4
(4)(4),
4AF x FA FP x y m n mx
m x ny m x m x =+•=+•+=+++++-++=，（
111
(4)(44
4cos ,
12(224
cos .cos cos .2=m x m PFA FP x FP m PFB PFA PFB FP PFA PFB +++∴∠==+•+∠=∠=∠∠∠）
）同理，所以，所以，。

--------------------13分
21． 〔1〕
当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()
1222x x x x
f x e x e x xe x x e '=+--=-=-
令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时
,()(
),f x
f x '的变化如下表:
x
(),0-∞
0 ()0,ln 2
ln 2
()ln 2,+∞
()f x ' +
-
+
()f x
极大值
极小值
右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.极大值为-1，极小值为2(ln 2)2ln 22-+-。

-----------------------6分
〔2〕()()()
1222x x x x
f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,
当x<1时，f(x)<0,所以f(x)在(),1-∞上无零点。

故只需证明函数()f x 在[)1+∞，上有且只有一个零点。

① 假设0,2e k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，那么[)11()0,()1+x f x f x ≥≥∞当时，在，上单增。

[)22(1)0,(2)420.()1+f k f e k e e f x =-≤=-≥->∴∞在，上有且只有一个零点。

②假设(,)2
e
k ∈+∞，那么[)()1,ln2ln2,)f x k k +∞在上单减，（上单增。

[)[)[)121221111111
1
2
2
(1)0,(1)(1)((1)),(),12,()2,() 2.2,()0,()2,()(2)40,()2,40.
(1)0.()1+k k t t t f k f k ke k k k e k g t e t t k g t e t g t e t g t g t g t g e g t e f k f x ++=-<+=-+=-+=-=+>=-=->∴>+∞∴≥=->∴+∞≥->∴+>∴∞令则在上单增。

在上单增，g(t)g(2)=在，上有且只有一个零点()f x 。

综上，在R 上有且只有一个零点。

-------------------------------------------------------13分。