专题2-5 等比数列前n项和测-2016-2017学年高二数学同

建议用时：（45分钟）分值：80分
一、选择题（35分）
1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1
(4n －3)，则S 15＝
( )
A ．－29
B ．29
C ．30
D ．－30
解析：选B.S 15＝1－5＋9－13＋…＋57＝－4×7＋57＝29. 2．数列{a n }的通项公式是a n ＝1
n ＋n ＋1
，若前n 项和为10，则项数为( )
A ．11
B ．99
C ．120
D ．121
3.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1
a n
}的前5项
和为( ) A.15
8或5 B.31
16或5 C.3116
D.
158
解析：选C.由题意可知9
1－q
3
1－q
＝1－q 6
1－q ，解得q ＝2，所以数列{1a n }是以1为首项，以12
为公比的等比数列，
由求和公式可得S 5＝31
16
.
4.已知数列{a n }＝{12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…}，那么数列{b n }＝{1
a n a n ＋1}前n 项的
和为( )
A ．4(1－1
n ＋1) B ．4(12－1n ＋1)
C ．1－
1
n ＋1
D.12－1n ＋1
解析：选A.∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n
n ＋1＝
n n ＋1
2n ＋1
＝n
2
， ∴b n ＝
1
a n a n ＋1＝
4n
n ＋1＝4(1n －1
n ＋1
)． ∴S n ＝4(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝4(1－1
n ＋1
)．
5.在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ∈N *
)，则a 10等于( ) A ．34 B ．36 C ．38
D ．40
解析：选C.由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2，得(n －1)a n ＝na n －1＋2. 则有a n n －a n －1n －1＝2n n －1＝2(1n －1－1n
)，
∴
a n －1n －1－a n －2n －2＝2(1n －2－1n －1
)，…， a 22－a 1
1＝2(11－12)，累加，得a n n －a 1＝2(1－1n
)． ∴a n ＝2n ＋2n (1－1
n
)＝4n －2.∴a 10＝38.
6.数列1，x ，x 2
，…，x n －1
(x ≠0)的前n 项和为( )
A.1－x n
1－x B.1－x n －1
1－x
C.1－x n ＋11－x
D ．以上均不正确
解析：选D.在不能确定公比q 是否为1时，要分类讨论．当x ≠1时，S n ＝1－x
n
1－x ；当x ＝1
时，S n ＝n .
7. 数列1，11＋2，11＋2＋3，…，1
1＋2＋…＋n 的前n 项和为( )
A.2n
2n ＋1
B.2n n ＋1
C.n ＋2
n ＋1 D.n 2n ＋1
二、填空题（10分）
8.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1，若a 1＝1，且对任意的n ∈N ＋都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________. 答案：11
解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝a 1·q
n ＋1
＋a 1·q n －2a 1·q
n －1
＝0，
即q 2
＋q －2＝0，解得q ＝－2，q ＝1(舍去)，所以S 5＝
1－－2
5
1－－2
＝11.
9.已知数列{a n }中，a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2n －1
n 为正奇数，2n －1 n 为正偶数，
则a 9＝________(用数字作答)，设
数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________(用数字作答)． 答案：256 377
三、解答题
10.（10分）设数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，已知a 2＝2，S 5＝15， (1)求{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n
2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
解析：(1)由⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 2＝2S 5＝15
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＋d ＝25a 1＋10d ＝15
⇒a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝n .
(2)b n ＝a n 2n ＝n
2
n ，
T n ＝12＋22
2＋32
3＋…＋n
2
n ，①
12T n ＝122＋223＋324＋…＋n
2
n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2
n ＋1，
12T n ＝12[1－12n
]
1－1
2
－n 2n ＋1＝1－12n －n 2
n ＋1， T n ＝2－
1
2
n －1
－n
2
n .
11.（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1＝2,3S n ＝5a n －a n －1＋3S n －1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解析：(1)∵3S n －3S n －1＝5a n －a n －1，即3a n ＝5a n －a n －1. ∴2a n ＝a n －1，∴
a n a n －1＝12
. ∴{a n }为等比数列，且a 1＝2，q ＝12；∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －2
.
(2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2
＝2×⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝4－12n －2.
12.（15分）等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1
S n
.
∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n
＝12＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋3
2
n ＋1n ＋2
.。