测量误差分析和实验数据处理

《力学实验原理与技术》复习提纲（参考）
第二章测量误差分析和实验数据处理
本章內容：
1.测量误差基本概念
2.随机误差
3.系统误差
4.间接误差
5.测量结果的表示和不确定度
6.实验数据处理
2.1 测量误差基本概念
1. 测量——比较
∙测量的方式：
（1）直接测量：米尺量桌子可直接知道桌子长度。

（2）间接测量：由直接测量的数据，通过一定的函数关系，计算求得结果的测量方法∙静态测量与动态测量：按照被测量在测量过程中的状态是否随时间变化判断静态/动态，常规、稳态/过程、瞬态
2. 误差——测量的质量
∙真值：在一定时空条件下，某物理量的理想值，表达为A。

真值仅为理想概念。

真值可以用修正过的测量值的算术平均值代替。

∙误差的表达方法：
绝对误差: 测量值与被测量物理量的真值的差
示值相对误差: 绝对误差与真值的百分比
测量值相对误差：绝对误差与测量值x的百分比
[例1] 仪表的精度用额定相对误差（满度误差）表示。

额定相对误差：绝对误差与仪器满度值A0的百分比。

A0——表盘上的最大值（满度值）。

仪器工作在满度值2/3以上区域。

思考题2：用万用表测电池电压1.5V，选2V档？200V档？允许误差更小？
3. 误差分类
∙系统误差——多次测量同一被测量量过程中，误差的数值在一定条件下保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。

来源于测量仪器本身精度、操作流程、操作方式、环境条件。

∙随机误差——多次测量同一被测量量过程中，绝对值和符号以不可预知方式变化着的测量误差的分量。

具有随机变量特点，一定条件下服从统计规率的误差。

来源于测量中的随机因素：实验装置操作上的变动性、观测者本人的判断和估计读数上的变动性等。

2.2 随机误差
1．随机误差的特点
随机变量——依赖随机因素，以一定概率取值的变量，如：交通事故
随机误差——随机变量的一种具体形式，
2. 随机误差的正态分布
（1）随机误差分布特点：
等精度条件下，对一物理现象测量N 次，得x1……xN 个值（i=1, N ）。

把xi 按大小顺序分q 组，每组宽度 。

N 个测量值落在xi + 区间的次数（频率）为p*1……p*q
增加组数，缩小了 ，直方图的顶点趋于一光滑曲线。

纵坐标趋于概率
密度
，表示随机变量x （测量值）的分布曲线； 如果用ξ = x - A 代替x 值（ξ 绝对误差），则上述方法得到p (ξ)，即随机误
差ξ的分布曲线。

此时原点挪至A 。

随机误差正态误差分布规律的四条公理：
（ⅰ）绝对误差小出现机会多，绝对误差大出现机会少； （ⅱ）对称性。

N 足够大， ξ 相等；
（ⅲ）有界性。

绝对值极大的误差出现机会极少；
（ⅳ）抵偿性， N 趋于无穷，随机误差的平均值的极限趋于0
(2) 高斯正态分布
等精度条件下测量N 次，x1….xN ，误差ξ1….ξN 测量值的算术平均值：
测量误差的均方值：
标准误差——测量误差的均方根值
随机误差分布规律f(ξ)若符合高斯分布为：
称精密度，s 越小则h 越大，曲线越尖，ξ的离散性越小 。

落到ξ和ξ + ∆ ξ之间的随机误差的概率
（3）正态分布的应用
对服从正态分布的误差，误差介于s 的概率为：
1lim ()0N
i N i 1N ξ→∞==∑
, 0N ξ→∞→11N
i
i x x N ==∑2
21
1N i i N σξ==∑σ2
22
2
2()h f ξ
ξ
σξ--=h =()()p f d ξξξ={}()0.6827
p f d σσ
ξσξξ-〈==⎰
()
*j p x p x ∆→x ∆x
∆x ∆±
误差介于2 s 和3 s 的概率为
极限误差。

3 算术平均值
最小二乘法指出：对等精度的多个测量值，最佳值（可信赖值）是使各测量
值的误差的平方和为最小时所求的值。

推导： 绝对误差：
概率：
误差同时出现的概率是各个概率的乘积：
p 最大则 最小
结论：足够次数的等精度测量的算术平均值是测量最佳值 4 标准误差σ
定义：误差的均方根值 (1) 贝塞尔公式法求
推导： 方差的基本预算法则
用残差 vi 代替绝对误差ξ 时，标准误差 σ与 σv 在N 趋于无穷时才相等。

(2) 最大残差法求
残差：真值A 用算术平均值代替时的误差 由正态分布，获得不同N 次测量下的最大残差ni 的平均值，则任一次测量
可查表（已知），由正态分布理论给出。

(3) 标准误差σ与平均误差δ的关系
{
}{}
p 20.954530.9973
p ξσξσ〈=〈=A x i i -=ξ)~1(N i
=2
2
1...i h N
N p p p e
ξ-∑==2i 1
N
i Q ξ==∑22
11
()N N i i i i Q x A ξ====-∑∑1d 2()0d N i i Q x A A ==-=∑11N
i i A x x N ===
∑v σ==i i x x ν-=i i x A
ξ-111111=N N N i i i i i i i N x x x x N N N νξξξ--=-=-=∑∑∑
2
211
1N
N i i
N v N ξ-=∑
∑
σ=
v σ==i i x x
ν-11max , N N
i i i i i k v v x x N σ='==-∑N k '1
1N
i
i N
δξ
==
∑
▪ 平均误差δ——误差绝对值的算术平均值
▪ 平均误差δ与标准误差σ的关系：
本节小结
• 随机误差特点
• A 怎么求？最小二乘法 • 标准误差σ及表示方法
2.3 系统误差
不易发现但有一定规律，与随机误差同时存在。

仪器误差、装置误差、操作误差、方法误差 1. 发现和检验
观察残差：发现测量中含有有规律累进性系差的同号（累进性）、交替（同
时性）
对实验原理、方法、步骤、仪器一一分析。

2. 消除或减弱系统误差的方法
改进仪表的精度；
改进测量方式：实验进行的步骤、测量点的顺序
2.4 间接误差
直接测量不方便或不可能用间接方法。

带入误差的机会：测尺寸，密度参数，体积计算等
1.线性函数误差传递的一般法则
直接测量量： z1, …, zm 直接测量量的误差： 间接测量量y 为z 的线性函数： y 的绝对误差：
相对误差：
标准误差
2. 非线性函数误差传递
将y 在∆y 附近做Taylor 展开，且取一次近似
则绝对误差 或
σ
δ5
4~,,1m z z ∆∆0
i i z z z ∆=-1y m i i i a z ==∑1
y m
i i
i a z =∆=∆
∑y ∆
y
y ∆
y σ1(,,)m y f z z =1N
i
i i f
y y y z z =∂+∆=+∆∂∑
1m i
i
f y z z =∂∆=∆∂∑
y ∆=y
y
∆=
相对误差
标准误差 其中
本节小结
系统误差及来源， 消除方法 ； 间接误差的推导
2.5 测量结果的表示和不确定度
1. 直接测量结果的表示和总不确定度
不确定度——由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度。

表征被测量量的真值所处的量值范围的评定。

∆A ——统计方法算出的误差分量
∆B ——非统计方法算出的误差分量，与系统误差有关。

2. 间接测量结果的表示和不确定度的合成
误差表达式仍为： 统计方法算出的误差分量∆A 表达方式相同； 非统计方法的误差分量∆B ＝
∆ϕ, ∆ϕ是间接误差。

2.6 实验数据的处理
1.
有效数字
定义：仪器可读准的数字+1 位欠准数字（可疑数字）=有效数字
∙ 记录测量数值，只保留一位欠准数字
∙ 当测量误差已知时，测量结果的有效数字位数应与该误差位数一致。

若仪器误差±
0.1Pa ，测量结果表达57.5±0.1Pa ，5是估计值。

有效数字表示
▪ 普通记数法：6371±10km
▪ 科学计数法 ×10±n, 6.371×103 ±10km
2. 实验结果的数据处理
按实验先后顺序排列数据
求算术平均值
计算残差：
理论上
计算标准误差（用贝塞尔公式） 实验不确定度∆=σ +∆B , 实验结果的最后表达式
y σi
z f
∂∂x x =±∆
A B ∆=∆+∆∆=∆A +∆B
1
1N
i i x x
N ==∑i i v x x =-10N
i i v ==∑σ=x x =
±∆
3. 实验曲线绘制
实验结果的表达：表格、曲线
绘制曲线，坐标选择，误差带，曲线拟合
坐标系
▪ 直角坐标/对数坐标
▪ 自变量：x 轴，因变量：y 轴
▪ 坐标分度与实验数据有效数字位数 ▪ 多参数◊三维（x ,y ,t ）
实验点
▪ 所有各组次的实验点直接给
▪ 平均值+误差带 （判断随机误差和系统误差？）
拟合曲线
▪ 选择函数
▪ 最小二乘法计算拟合度
▪ 软件选择（Excel 、Origin 、Matlab 、SAS 、SPSS 等）
4. 图像处理的精度
SEM ，TEM ，光学显微镜…… x ±D
本节小结
• 实验数据表达
• 实验曲线：误差带、拟合曲线选择 • 实验结果分析
本章小结
1. 误差： 随机误差∆A （算术平均值、标准偏差）， 系统误差∆B(仪表精度、间接误
差)
2. 实验结果的表达： 曲线
A B A x x ϕ=+∆∆=∆+∆∆=∆+∆x x =±∆
∆=∆A +∆B。