内蒙古呼和浩特市2021届高三数学上学期质量普查调研考试试题 文(含解析).doc

内蒙古呼和浩特市2021届高三数学上学期质量普查调研考试试题
文（含解析）
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷(选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题时，考生各必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，答题时间120分钟.
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干浄后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本武卷无效. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.复数z 满足(1i)2i Z +=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限 【答案】A 【解析】
试题分析：由(1)2i Z i +=得()()
22(1)1111i i i Z i i i i -===+++-，所以复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故选A.
考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.
2.已知集合{}
2
|60A x x x =--<，集合{}|10B x x =->，则A
B =（ ）
A. ()1,3
B. ()2,3-
C. ()1,+∞
D.
()2,-+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
化简集合A,B ，根据并集的定义运算即可.
【详解】由条件得{}|23A x x =-<<，{}|1B x x =>， 所以{}|2A B x x =>-，即：A B =()2,-+∞.
故选：D
【点睛】本题主要考査了集合之间的基本运算，不等式的解法，解题关键在于正确求解不等式，并用数轴表示集合之间的关系，属于容易题. 3.已知2sin 3α=
，则3sin 22πα⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
（ ） A. 5-
B. 19
-
C.
5 D.
19
【答案】B 【解析】 【分析】
利用诱导公式及余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】()2
2
321sin 2cos 212sin 12239πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=--=--⨯=-⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式，三角恒等变换求值，选择合理的
二倍角公式是求解的关键，属于中档题. 4.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛
⎫=
=+> ⎪⎝
⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 【分析】
本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当01a <<时，函数x
y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1
x y a
=
过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+
⎪
⎝⎭过定点1
(,0)2
且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1
x
y a =
过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.
5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4724a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 8 B. 4
C. 2
D. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列的前n 项和与等差数列的性质，等差数列的通项公式，化简即可求解. 【详解】由等差中项得475624a a a a +=+=， 因为()
()1663463482
a a S a a +=
=+= 所以3416a a +=，所以()()563448a a a a d +-+== 所以d =2. 故选：C .
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，等差中项，等差数列的性质，属于中档题.
6.已知a 是函数3
()12f x x x =-的极小值点，则a =（ ）
A. -4
B. -16
C. -2
D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
求导并化简可得2
()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，列表即可求出极小值点，得解.
【详解】因为2
()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-
所以可得x ，()f x '
和()f x 如下表
由表知函数的极小值点为2. 故选：D
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于容易题.
7.若函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()x
f x e m =+，则1ln 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（ ）
A. -2
B. -3
C. -4
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇函数的性质可知0
(0)0f e m =+=解得1m =-，利用奇函数可知
()()1ln ln 3ln 33f f f ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
即可求解. 【详解】∵()f x 为R 上的奇函数， ∴0
(0)0f e m =+=，解得1m =-，
∴0x ≥时，()1x
f x e =-；
∴()()(
)ln3
1ln ln 3ln 31(31)23f f f e ⎛⎫=-=-=--=--=- ⎪⎝⎭
.
故选：A
【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，对数的运算，属于中档题. 8.函数sin 2y x =的图像向左平移
2
π
个单位以后，得到的图像对应的函数解析式为（ ） A. sin 2y x =
B. cos 22y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C. cos 24y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D.
cos2x y =-
【答案】B 【解析】 【分析】
函数sin 2y x =的图像向左平移
2
π个单位以后得sin 2()2y x π
=+，化简即可求解.
【详解】sin 2y x =左移
2π个单位，得到()sin 2sin 2sin 22y x x x ππ⎛
⎫=+=+=- ⎪⎝
⎭，
四个选项中，首先排除A 和D ， 选项B 中，cos 2sin 22y x x π⎛
⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
， 故选：B
【点睛】本题主要考查了三角函数图象的变换，诱导公式，属于中档题.
9.若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充
分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，设命题甲为集合A ，命题乙为集合B ，命题丙为集合C ，命题丁为集合D ，转化为
集合之间的包含关系，可探求命题之间的关系，判断命题丁能否推出命题甲，及命题甲能否推出命题丁，即可得出结论.
【详解】设命题甲为集合A ，命题乙为集合B ，命题丙为集合C ，命题丁为集合D ；
命题甲是命题乙的充分非必要条件A B ≠⇔⊂；命题丙是命题乙的必要非充分条件⇔命题乙是命题丙的充分非必要条件B C ≠⇔⊂，命题丁是命题丙的充要条件C D ⇔=，综上得到A B C D ≠≠⇔⊂⊂=，可知A D ≠
⊂，及命题甲是命题丁的充分非必要条件⇔命题丁是命题甲的必要非充分条件， 故选：B
【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，真子集，属于中档题.
10.已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则3523n a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ） A. (
)1
62
1n +-
B. (
)262
1n
-
C. 6
3n
- D.
()621n -
【答案】A 【解析】 【分析】
根据数列为等比数列可得22q =，可证明3523,,,n a a a +⋅⋅⋅是以36a =为首项，2
2q =为公比
的新等比数列{}n b ，根据等比数列前n 项和计算即可.
【详解】∵22313a a q q =⋅=，44513a a q q =⋅=，∴24
13533321a a a q q ++=++=，
整理得4260q q +-=及(
)(
)
2
2
230q q -+=解得2
2q =或-3（舍）,
对于3523n a a a +++⋅⋅⋅+， 设21n n b a +=，
则13b a =，25b a =，123n n b a ++=
其本质是以36a =为首项，2
2q =为公比的新等比数列{}n b 的前1n +项和,
∴()()11352361262112
n n n a a a +++-++⋅⋅⋅+=
=--
故选：A
【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式与前n 项和公式，考查了等比数列基本量的运算，属于中档题.
11.已知ABC 的三边a ，b ，c 满足：333a b c +=，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直
角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意∠C 为三角形ABC 中的最大角，只需分析∠C 即可，由333a b c +=可得01a
c
＜＜，
01b
c
＜＜，从而由余弦定理得变形可知∠C 为锐角，即可求解.
【详解】333a b c +=可知，∠C 为三角形ABC 中的最大角，
且33
1a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以01a c ＜＜，01b c
＜＜
亦即3
2
a a c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，3
2
b b
c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＜ 将两式相加得：2
2
3
3
1a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
+＞ 所以∠C 为锐角，三角形ABC 为锐角三角形， 故选：A
【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，不等式的性质，放缩法，属于中档题 .
12.已知函数()f x 满足()()1
'x
f x f x e +=
，且()01f =，则函数
()()()21
32g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦零点的个数为（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 0个
【答案】B 【解析】 【分析】
根据()()1'x f x f x e +=
，可得()'1x e f x ⎡⎤=⎣⎦，即有()x
e f x x c =+，可推出()1x x f x e
+=，解方程()0g x =，得()0f x =或()1
6
f x =
，判断零点个数即可. 【详解】
()()()()1''1x x
x f x f x e f x e f x e
+=
⇔+=()'1x
e f x ⎡⎤⇔=⎣⎦，
∴()x
e f x x c =+，()x x c f x e +=
，∵()01f =代入，得1c =，∴()1
x
x f x e +=. ()()()()213002g x f x f x f x =-=⇒=⎡⎤⎣⎦或()1
6
f x =， ()1001x x f x x e +=⇒
=⇒=-；()()1116166
x
x x f x e x e +=⇒=⇒=+， 如图所示，
函数x
y e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个，所以()1
6
f x =
的解得个数为2个；综上，零点个数为3个， 故选：B
【点睛】本题主要考查了导数公式的逆用，以及函数与方程问题，函数的零点个数，数形结
合，属于难题.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包含必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在题中横线上.) 13.已知()1,4a =，()2,b k =-，且(
)2a b +∥()
2a b -，则实数k =___________. 【答案】8- 【解析】 【分析】
根据向量坐标的运算可得()23,42a b k +=-+，()24,8a b k -=-，根据向量平行即可求出k .
【详解】由己知得，()23,42a b k +=-+，()24,8a b k -=-， 由于(
)2a b +∥()
2a b -, 所以3(8)4(42)k k --=⨯+ 得8k =-. 故答案为：8-
【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量平行的充要条件，属于中档题.
14.已知实数,x y 满足约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
，则3z x y =+的最大值为________.
【答案】5 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域，如图，
由1010x y y +-=⎧⎪⎨⎪+=⎩可得21x y =⎧⎪⎨⎪=-⎩
， 将3z x y =+变形为3y x z =-+， 平移直线3y x z =-+，
由图可知当直3y x z =-+经过点()2,1C -时， 直线在y 轴上的截距最大，
所以z 的最大值为()3215⨯+-=. 故答案为5.
【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的1
7
是较小的两份之和，则最小一份的量为___. 【答案】
【解析】
【详解】设此等差数列为{a n }，公差为d ，则145
5100,2
a d ⨯+
=
（a 3+a 4+a 5）×17=a 1+a 2，即111(39)27a d a d +⨯=+，解得a 1=53，d=556
．最小一份为a 1， 故答案为．
16.下列命题：①若等差数列{}n a 的公差d 不为0，则给n ，对于一切()k N k n *∈<，都
有2n k n k n a a a -++=；②若等差数列{}n a 的公差d <0.且38S S =，则5S 和6S 都是{}n S 中的最大项；③命题P ：(),0,1x y ∀∈，2x y +<，的否定为：()00,0,1x y ∃∉，002+≥x y ；④若函数()3x f x =，则()3ln x f x x '=.其中真命题的序号为____________.
【答案】①②.
【解析】
【分析】
由等差中项的概念可判断①的正误；根据数列项的符号变化及60a =可判断②；由命题的否定的定义可确定③的正误；根据求导公式可知④的正误.
【详解】①根据等差中项可知，是正确的；②对于d <0，38S S =，可得60a =，所以5S 和6S 都是数列中的最大项；③命题P 的否定为：()00,0,1x y ∃∉，002+≥x y ，所以③错；对于④因为()3ln 3x f x '=所以④错误. 故答案为：①②
【点睛】本题主要考查了等差中项，等差数列的前n 项和，命题的否定，求导公式，属于中档题.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程)
17.己知函数()ln f x x =.
(1)若()f x 在x t =处的切线l 过原点，求切线l 的方程；
(2)令()()f x g x x =，求()g x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. 【答案】（1）1y x e =
（2）最大值1e ，最小值e - 【解析】
【分析】
（1）求函数()f x 的导数，()k f t '=，点斜式写出切线方程即可（2）利用导数判断函数的单调性，确定极值，即可求出函数的最大值,最小值.
【详解】(1)设切线的方程为y kx =
1()f x x '=，则1()k f t t
'== x t =，则()ln f t t = 切线方程为1ln ()y t x t t
-=- 1ln 1y x t t
=+- ln 10t -=则t e =
∴切线l 的方程为1y x e =
. (2)21ln ()x g x x
-'=， 当1x e e
<<时，()0g x '>；2e x e <<时，()0g x '<， 所以最大值1(e)g e
= ∵1g e e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，221()g e e =，且2
2e e -< 所以最小值1g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 【点睛】本题主要考查了导数几何意义，切线方程，利用导数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.
18.已知函数()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝
=⎪⎭，()22sin 2x g x =.
（1）若α是第二象限角，且()f α=，求()g α的值； （2）求()()f x g x +的最大值，及最大值对应的x 的取值.
【答案】（1）()95g α=（2）()()f x g x +的最大值为3，此时()223
x k k Z ππ=+∈
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数恒等变换化简()f x =x =，()22sin 1cos 2
x g x x ==-，由
()5
f α=求sin α，根据同角三角函数关系求解即可（2）由（1）知()()f x
g x +=2sin 16x π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数性质求解即可.
【详解】（1）()sin cos 63x x f x ππ
⎛⎫⎛⎫
-+- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭
sin cos cos sin cos cos sin sin 6633x x x x ππ
π
π
=-++
11cos cos 2222x x x x =-++
x =，
()22sin 1cos 2x
g x x ==-，
则()5f αα==，则3
sin 5α=，
∵α是第二象限角，∴4
cos 5α=-，
∴()49
155g α⎛
⎫
=--= ⎪⎝⎭.
（2）()()cos 1f x g x x x +=-+
2sin 16x π⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭. 当sin 16x π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭时，()()f x g x +取得最大值3，
此时()262x k k Z π
ππ-=+∈，即()223
x k k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数图像求最值,属于中档题.
19.已知n S 为数列n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+，且1n n a b =.
(1)求数列{}n b 的通项公式n b ；
(2)求满足122311 (7)
n n b b b b b b ++++<的n 的最大值. 【答案】（1）121
n b n =
+（2）n 的最大值为9. 【解析】
【分析】 （1）根据n a 与n S 的关系可推出12n n a a --=，写出等差数列的通项公式即可（2）利用裂项相消法求和，解不等式即可.
【详解】(1)当1n =时，13a =；
当2n ≥时，2243n n n a a S +=+①
2111243n n n a a S ---+=+②
①-②整理得12n n a a --=
21n a n =+，所以121
n b n =+. (2)设111(21)(21)
n n n c b b n n --==-+ 所以122311111111......235572121n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 1112321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
令1111
0 232
17
n
⎛⎫
--<
⎪
+
⎝⎭
，解得10
n<
所以n的最大值为9.
【点睛】本题主要考查了n a与n S的递推关系，裂项相消法，等差数列的定义，属于中档题.
20.（1）当()
k k z
απ
≠∈时，求证：
1cos
tan
2sin
αα
α
-
=；
（2）如图，圆内接四边形ABCD的四个内角分别为A、B、C、D.若6
AB=，3
BC=，4
CD=，5
AD=.求tan tan tan tan
2222
A B C D
+++的值.
【答案】（1）证明见解析（2）
410
3
【解析】
【分析】
（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）ABCD为圆的内接四边形可知sin sin
A C
=，sin sin
B D
=，cos cos
A C
=-，cos cos
B D
=-，由（1）结论原式可化为
22
sin sin
A B
+，连接AC、BD，设AC x
=，BD y
=由余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明
2
1cos22sin
1cos22
sin sin22sin cos
222
αα
α
ααα
α
-⋅
-
==
⋅⋅
tan
2
α
=.
（2）因为ABCD为圆的内接四边形，所以sin sin
A C
=，sin sin
B D
=，cos cos
A C
=-，cos cos
B D
=-，由此可知：
tan tan tan tan
2222
A B C D
+++
1cos1cos1cos1cos
sin sin sin sin
A B C D
A B C D
----
=+++
22sin sin A B
=+ 连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理可得：
22536cos 256y A +-=⨯⨯，2
916cos 234
y C +-=⨯⨯， 2369cos 263x B +-=⨯⨯，2
2516cos 254
x D +-=⨯⨯， 解得281919x =，22477
y =， 那么3cos 7A =，1cos 19B =，
sin A =
sin B =
所以原式=
. 【点睛】本题主要考查了倍角公式的应用，四点共圆对角互补以及正余弦定理的运用，属于难题.
21.己知函数21()(1)ln 2
f x x ax a x =-+- (1)设2a >时，判断函数()f x 在21,1e ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上的零点的个数； (2)当()()(1)ln g x f x a x x =++-，是否存在实数a ，对()12,0,x x ∀∈+∞且12x x ≠，有1212
()()0g x g x a x x -+>-恒成立，若存在，求出a 的范围：若不存在，请说明理由. 【答案】（1）()f x 在21,1e ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上无零点（2）存在，a 的取值范围是[2，+∞) 【解析】
【分析】
（1）利用导数可知函数()f x 在(0，1)，(1，+∞)单调递增，在(1，1a -)上递减，可得()f x
在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增且1(1)02
f a =-<可知无零点（2）化简得21()(2)ln 2
g x x a x x =+-+，由1212
()()0g x g x a x x -+>-可得1122()()g x ax g x ax +>+（120x x >>）恒成立，构造函数()()h x g x ax =+，需有()()0h x g x a ''=+≥恒成立，分离参数求解即可.
【详解】(1)()f x 的定义域是(0，+∞)
2a >，211(1)(1)
()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-'=-+==
令()0f x '=得到：11x =，21x a =-，且21x x >
所以函数()f x 在(0，1)，(1，+∞)单调递增，在(1，1a -)上递减 因为()21
,10,1e ⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦
所以()f x 在21
,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 因为1
(1)02f a =-<，
所以()f x 在21
,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点.
(2)因为()()(1)ln g x f x a x x =++-， 所以21
()(1)ln 2g x x ax a x x =-++- 化简得21
()(2)ln 2g x x a x x =+-+
不妨设120x x >>可化为1122()()g x ax g x ax +>+；
考查函数()()h x g x ax =+则()()0h x g x a ''=+≥ 即210a x a x -+++≥，整理可得222
1x x
a x +-≥+
令222()1
x x G x x +-=+，则2223()(1)x x G x x ++'=-+， 因此()G x 单调递減，所以()()2G x G x <-
所以2a ≥
综上：a 的取值范围是[2，+∞)
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，极值，零点，利用导数证明不等式恒成立，属于难题.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时清写清题号.
22.在极坐标系中，直线l 过点2,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与直线()3R πθρ=∈垂直. （1）设直线l 上的动点M 的极坐标为(),ρα，用ρ表示cos 3πα⎛
⎫- ⎪⎝⎭
； （2）在以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴的直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y φφ
=⎧⎨=+⎩（φ为参数），若曲线C 与直线()3R πθρ=∈交于点Q ，求点Q 的极坐标及线段PQ 的长度.
【答案】（1）cos 3παρ
⎛⎫-
= ⎪⎝⎭（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】
【分析】 （1）点M 的极坐标为(),ρα代入直线的极坐标方程即可求解（2）联立曲线与直线即可求解点Q 的极坐标，利用两点间距离公式求PQ 的长度即可.
【详解】（1）由已知条件可得：
直线l sin cos 0θρθ+-=，
∵动点(),M ρα在直线l 上，
∴cos 3πρα⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，
∴3cos 3πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭.
（2）曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=，
联立曲线C 与直线()3R π
θρ=∈解得：3,3Q π⎫⎪⎭或()0,0Q ， ∴①当3,3Q π⎫⎪⎭时：()2223223cos 16PQ π=+-⨯⨯⨯=，
②当()0,0Q 时：2PQ =.
∴1PQ =或2PQ =.
【点睛】本题主要考查了极坐标方程的应用，以及极径的几何意义，属于中档题.
23.已知函数()f x x x 1=++.
（1）若()f x m 1≥-恒成立，求实数m 的最大值M ；
（2）在（1）成立的条件下，正数a,b 满足22a b M +=，证明：a b 2ab +≥.
【答案】(1)2；(2)证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）由题意可得()1min f x =，则原问题等价于11m -≤，据此可得实数m 的最大值2M =.
（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知1ab ≤，结合均值不等式的结论有
ab ab a b ≤+，据此由综合法即可证得2a b ab +≥.
法二：利用分析法，原问题等价于()2224a b a b +≥，进一步，只需证明()2210ab ab --≤，分解因式后只需证1ab ≤，据此即可证得题中的结论.
【详解】（1）由已知可得()12,01,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩
，
所以()1min f x =， 所以只需11m -≤，解得111m -≤-≤，
∴02m ≤≤，所以实数m 的最大值2M =.
（2）证明：法一：综合法
∵222a b ab +≥，
∴1ab ≤，
1≤，当且仅当a b =时取等号，①
2a b +≤
12
≤，
∴2
ab a b ≤+，当且仅当a b =时取等号，② 由①②得，∴12
ab a b ≤+，所以2a b ab +≥. 法二：分析法
因为0a >，0b >，
所以要证2a b ab +≥，只需证()2224a b a b +≥，
即证222224a b ab a b ++≥，
∵22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，
即证()2210ab ab --≤，
即证()()2110ab ab +-≤，因210ab +>，所以只需证1ab ≤，
因为2222a b ab =+≥，所以1ab ≤成立，
所以2a b ab +≥.
【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。