条件概率的独立性1

条件概率的独⽴性1
第三章条件概率的独⽴性
习题3 ⼀．填空题
1.设A.B 为两个互相独⽴事件，若P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，则(P B A ?)=
2.在⼀次实验中A 发⽣的概率为p ，现在进⾏n 次独⽴重复试验，那么事件A ⾄少发⽣1次的概率为
3.设A.B.C 构成⼀完备事件组，且P(A)=0.4，P(B )=0.7，则P （C ）= ,p(AB)=
4.若P(A)=
21,P(B)=31，P(A B )=3
2
,则P(B A )= 5.某⼈向同⼀⽬标重复独⽴射击，每次命中⽬标的概率为P(0
2次命中⽬标的概率为⼆．选择题
1. 同⼀⽬标进⾏5次射击，每次命中的概率为0.8，则恰好命中两次的概率为（） (A) 0.00512 (B) 0.64 (C) 0.256 (D) 0.0512
2. 5⼈以摸彩的⽅式决定谁从五张彩票中摸的⼀张电影票，设Ai 表⽰“第i 次个⼈摸到电影票”(i=1,2,3,4,5),则下列结果不正确的是（） (A) P(1A 2A )=
41 (B) P(2A )= 54 (C) P(2A )=51 (D) 5
3)(21=A A P 3 袋中有5个球（3个新球，2个旧球），现每次取⼀个，⽆放回的抽取两次，则第⼆次取
到新球的概率为（ )
53)
(A 43)(B 42)(c 10
3)(D 4,对于任意两个事件A 与B ，下⾯结论正确的是（） (A)若P(A)=0，则A 是不可能事件
(B)若P(A)=0，P(B)≥0，则事件B 包含事件A
(C)若P(A)=0，则P(B)=1，则事件A 与事件B 对⽴ (D)若P(A)=0，则事件A 与B 独⽴三，计算题
1.设A 与B 是两个随机事件，且P(A)=
41,31)(=A B P ,2
1
)(=B A P ,试求P(B A ?). 2.设A 与B 是两个随机事件，P(A)=0.7，P(B)=0.6，，4.0)(=A B P 试求P(B A ?).
3.如果每次试验成功的概率都是P ，并且已知在三次独⽴重复试验中⾄少成功⼀次的概率为
27
19
，试求P 的值. 4.设随机事件A 与B 互相独⽴，P(A)=P(B)=a-1，P()B A ?=9
7
,求a 的值. 四．应⽤题
1.三⼈独⽴的同时解答⼀道题，他们每⼈能够解出的概率为
21，4
1
31，，求此题能破解出的概率.
2.设在全部产品中有2％是废品，⽽合格产品中有85％是⼀级品，求随机抽出⼀个产品是⼀
级品的概率.
3.汽车保险公司得到投保⼈资料如表3-1所⽰：
5.设10个考签中4个难签，今有3⼈按甲先，⼄次，丙最后的次序参加抽签(不放回），求：（1）甲没有抽到难签⽽⼄抽到难签的概率；（2）甲，⼄，丙都抽到难签的概率.
6.设有4个独⽴⼯作的原件1,2,3,4 他们的可靠性都是p,将他们按图3.2的⽅式联接，求整个系统的可靠性.
7.甲，⼄两⼈独⽴的对同⼀⽬标射击⼀次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知⽬标被击中，求他是甲击中的概率。

8.假设⼀个年级甲⼄丙三个班学⽣参加⼀项技能测试，三个班级学⽣依次占全年级总⼈数的20％，45％，35％，测试后各个班级的不及格率分别为5％，4％，2％. （1）求该年级学⽣技能测试的不及格率；
（2）若在全年级学⽣中随机抽查发现⼀个学⽣不及格，试判断他是甲班学⽣的概率。

9.已知男⼦有5％是⾊盲患者，⼥⼦有
0.25％是⾊盲患者，今从男⼥⼈数相等的⼈群中随机的挑选⼀⼈，恰好是⾊盲患者，求此⼈是男性的概率. 五．证明题
1、设随机事件A 与B 互斥，且0
)
(1)
()(B P A P B A P -=
2.若),()(A B P A B P =证明；A 与B 互相独⽴。

六．综合题
1.甲盒中有3只正品，⼄盒中有3只正品，3只次品，从⼄盒中任取3只放⼊甲盒，再从甲盒中任取⼀只，求该只只为次品的概率.
2.为消防的需要，某商场内同时安装甲⼄两套报警系统，每套系统单独使⽤时其有效的概率，系统甲为0.92，系统⼄为0.93，在甲系统失灵的条件下，⼄系统仍有效的概率为0.85，求（1）发⽣⽕警时，这两个系统⾄少有⼀个有效的概率；（2）在⼄系统失灵的条件下，甲系统仍有效的概率.
(B)
⼀．填空题
1.设随机事件A 与B 互相独⽴，若P(A)=0.3，P(A B ?)=0.7，则P(B)=
2.A 与B 是两个随机事件，P(A)=0.8，P(B)=0.4，若B A ?,则P(A B )=
3.设Ａ．Ｂ为两个事件，若概率Ｐ（Ｂ）＝０．９，Ｐ（ＡＢ）＝０．６，则=)(B A P
4.设两个相互独⽴事件Ａ和Ｂ发⽣的概率分别为Ｐ１，Ｐ２，则其中之⼀发⽣的概率为⼆．选择题
１，若⼀批产品为⼀，⼆等品及不及格品，其⽐例为４：３:１，从中任取⼀件，检验合格，则该产品为⼀等品的概率为
9
4
.74.32.21.
D C B A ２．设Ａ与Ｂ是两个随机事件，已知为则，)(,9.0)(7.0)(A P B A P B A P =?=? Ａ０.２Ｂ０．３Ｃ０．４Ｄ０．６
３．设Ａ，Ｂ，Ｃ是两个两两相互独⽴且三件事不能同时发⽣的事件，Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ｃ）＝Ｘ，则使为取最⼤值的X C B A P )(??
4
1
.31.1.21D C B A
４．设随机事件Ａ与Ｂ互不相容，且Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，则下列结论中⼀定成⽴
的有
ＡＡ，Ｂ为对⽴事件Ｂ互不相容B A , ＣＡ，Ｂ不对⽴ＤＡ，Ｂ互相独⽴
三．计算题
１设Ａ，Ｂ，Ｃ是随机事件，Ａ，Ｃ互不相容，Ｐ（ＡＢ）＝
21，的值试求)(,3
1
)(C AB P C P = ２已知事件Ａ与Ｂ相互独⽴，Ａ与Ｃ互不相容，且Ｐ（Ａ）＝０．４，Ｐ（Ｂ）＝０．３，Ｐ（Ｃ）＝０．４，)()].([2.0)(C AB P B A C P B C P ?=，求
四．应⽤题
１，独⽴的连接进⾏Ｎ次射击，已知第Ｉ次命中⽬标的概率为Ｐｉ（Ｉ＝１，２，．．．，Ｎ），
求⾄少两次命中的⽬标的概率。

２.桥式电路系统由五个元件组成（如图３．３所⽰），每个元件的可靠性为Ｐ，且每个元件是否正常⼯作是相互独⽴的，求系统的可靠性。

３.在１－１００这⼀百个整数中任取⼀个数，求所取的数能被２或３或５整除的概率。

４.甲⼄两射⼿轮流对同⼀⽬标进⾏射击，甲每枪命中的概率为Ｐ，⼄每枪命中的概率为Ｒ，彼此独⽴，甲先射，试求甲先命中的概率。

５.某批产品优等品率为８０％有３个检验员对其检验，每个检验员对优等品的判对率为０．９７，对⾮优等品的判对率为０．９８，并以３个检验员的多数⼈的判断为最后的判断。

求：（１）⼀个产品最后被判断为优等品的概率；（２）在⼀个产品最后被判断为优等品的条件下，的却是优等品的概率。

习题4
⼀、填空题
1.若函数∫(x)=Kx，0 ,0≤X≤2是⼀随机变量的密度函数，则K=
2.设随机变量X的分布规律为P（X=K)=c/k+1,k=o,1,2,3,则常数c
3.设连续型随机变量X的分布函数为F（x)=0,x＜0或AX2，0≤x＜1或1，x＞1则A= P（-1＜x＜1/2)=
4.设随机变量X的分布函数为F(X)=1/2,0≤x≤1则p（x)=
⼆．选择题
1.函数∫（x）=sinx，x∈1或0 其他可作随机变量X的密度函数，下列区间中只有（）可取为I
A.［0，π/2］
B.［0，π］
C.［0，3π/2］
D.［0，2π］
2.设服从正态分布N（0,1）的随机变量X，其密度函数为?（x），则?（0）=（）
A.O C. 1 D. 1 2
3.设f1(X)为标准正态分布规律的概率密度函数，f2(X)为（-1,3）上均匀分布的概率密度函数，若f(x)=af1(x),x≤0或bf2（x），x ＞0，（a＞0，b＞0）为概率密度函数，则a，b 应满⾜（）
A.2a+3b=4
B.3a+2b=4
C.a+b=1
D.a+b=2
4.当随机变量X 的分布函数为F(X),在下列概率中可表⽰为F （a ）-F(a-0）的是（ ) A.P(x ≤a) B. P(X ＞a ） C. P （x ＝a ）
D.P(X ≥a) 三．计算题
1.设随机变量X~N （10，20.02），已知?(
2.5)=0.9938,其中?（x ）为标准正态分布的分布函数，试求P(9.95＜X ＜10.05)的值。

2.设随机变量X 的分布函数为FX=0，X 《0 FX=1-x e X -+)1(，x>0 求X 得密度函数，并计算P （X ≤1）和P(X>2)
3
设随机变量X~N(1,20.2)求：（1）P(X ＞1);(2)！P(∣X ∣＜1);(3)P(X ＜2) 4.已知随机变量X-N （2,θµ），且关于未知数Y 的⼀元⼆次⽅程X y y ++42=0⽆实根的概率为1/2，试求µ的值。

5.试确定常数c ，使P(X=i)=i c
2
（i=0,1,2,3,4）成为某个随机变量X 的分布律，并求P （X ≤2）和P （1/2
四．应⽤题
1.设某运动员投篮命中率是0.8，试求在⼀次投篮时投中次数的分布规律及分布函数。

2.⼀袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从袋中同时任取3只，以X 表⽰取出的三⽀球的最⼩号码，试求随机变量X 的分布律。

3.⼀箱中装有6个产品，其中有2个是⼆等品，现从中随机的取出3个，试求取出的⼆等品个数X 的分布律。

4.某⼈从家到⼯⼚去上班，路上所需时间X （单位，min)的密度函数为FX=
32
)50(2
221--x e π
,X>50 FX=0, X ≤0
他每天早晨⼋点上班，七点离家，求此⼈每天迟到的概率φ（2,5）=0.9
938
5.在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情况下，某种电⼦元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2假设电源电压服从正态分布N （220，225）。

试求1 该
电⼦元件损坏的概率 2 该电⼦元件损坏时，电压在200-240V 的概率。

五，证明题
设随机变量X,Y 均服从正态分布X-N(µ，16)，Y-N(µ，25)，记：P1=P(X 《µ-4)，P2=P(Y ≥µ=5)，试证明对任何实数µ，都有P1=P2. 六，综合题
1.设随机变量X 在（1,4）上服从均匀分布，现在对X 进⾏3次独⽴试验，试求⾄少有两次观察值⼤于2的概率。

2.若随机变量X 在区间（1.6）上服从均匀分布，试求⽅程2t +Xt+1=0有实数根的概率。

3.设顾客在某银⾏的窗⼝等待服务的时间X 服从指数分布，其密度函数为FX=5
5
1x
e -，x>0
FX=0,其他
某顾客在窗⼝等待服务，若超过10min 他就离开。

1 设某顾客某天去银⾏，求他未等到服务就离开的概率；
2 设某顾客⼀个⽉去银⾏5次，求他五次中⾄多有⼀次未等到服务就离开的概率。

4某企业招聘330⼈，按考试成绩从⾼分到低分依次录取，共有1000⼈报名，⽽报名者考试成绩服从正态分布X-N(µ，2σ)，已知90分以上有36⼈，60分以下有115⼈，问被录取者最低分数是多少？ B ⼀，填空题
1，设随机变量X 的密度函数为FX=
0,)1(2
>+X X Ax
FX=0， X 《0 ，则常数A=
2，设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且⼤于0，则P （Y ≤a+1\Y>a ）= ⼆，选择题1，随机变量
X-N(21,1σµ),Y-N(22,2σµ),其中1σ>0，2σ>0
且
),12()11(<-><-µµY p x p ）
，则 A 21σσ< B 21σσ> C 21µµ< D >1µµ2
2，设随机变量X 服从正态分布N （0.1），对给定的a(0µa ）=a ，若a x X p =<)(，则x 等于 A 2
a µ B 2
1a
-µ
C 2
1a -µ D a -1µ
3,设X1，X2，X3是随机变量，且X1-N(0，1),X2-N(0，4),X3-N(5，9),Pj=P （-2≤Xj ≤2）（j=1,2,3,）,则
A P1>P2>P3
B P2>P1>P3
C P3>P1>P2
D P1>P3>P2
4,设F1X 与F2X 是两个分布函数，其相应的概率密度函数f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度函数的是
A f1(x)f2(x)
B 2f2(x)F1(x)
C f1(x)F2(x)
D f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)
三，计算题
1.设X 是连续型随机变量，其分布函数为F(X)=0， X
，a 《x 《b F(X)=1,x>b ⼜知P （X 《1/2）=1/4，试确定常数a,b,c 的值。

2.设连续性随机变量X 的分布函数为FX=0，X 《-a FX=A+Barcsin a
x
,-a
σ),且P(2
e
λ-，x>0 F(X)=0, x ≤0 其中0>λ，求：1 常
数A,B 的值；2 P （-1
四，应⽤题
1，公共汽车车门的⾼度是按男⼦与车门顶碰头的机会在0.01以下设计的，设男⼦⾝⾼服从正态分布N （170，36），问车门⾼度应为多少？
2，⼀盒中有4只球，球上分别标有号码0,1,1,2，有放回的取两次，每次取⼀球，以G 表⽰两次取出球的号码的乘积，求G 得分布律。

3，⼀汽车沿⼀条街道⾏驶，需要通过3个均没有红绿信号灯的路⼝，每个路⼝信号灯为红或绿与其他路⼝信号灯为红或绿相互独⽴，且红，绿两种信号显⽰的时间相等，以X 表⽰该汽车⾸次遇到红灯前以通过的路⼝的个数，求X 得分布律。

4，假设新⽣⼊学外语考试的成绩服从正态分布N （72，,2
σ），⽽且96分以上的考⽣占2.3%，求随意臭鱼⼀份外语试卷的成绩介于60分到84分之间的概率。

五，综合题 1，从数1,2,3,4，中任取⼀数，记为X,再从1,2，....X 中任取⼀个数，记为Y ,求P （Y=2）的值。

2，设随机变量X-N(1，2
σ)(0>σ),当σ取何值时，P （2。