浙江省金丽衢十二校2015届高三数学第一次联考试题 理

数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的. 1．已知集合{}a x x A <=，{}
21<≤=x x B ，且()R B C A R =⋃，则实数a 的取值范围是 A ．1≤a B ．1<a C ．2≥a D ．2>a 2．已知,R a b ∈，下列命题正确的是 A ．若a b >， 则
b
a 1
1>
B ．若a b >，则11a b
< C ．若a b >，则2
2
a b >
D ．若a b >，则2
2
a b >
3. 已知{}n a 为等比数列，则“321a a a >>”是“{}n a 为递减数列”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．设n m ,为空间两条不同的直线，βα,为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若βα//,//m m ，则βα//； ②若βα//,m m ⊥，则βα⊥； ③若n m m //,//α则α//n ； ④若βαα//,⊥m ，则β⊥m ． 其中的正确命题序号是
A ．③④
B ．②④
C ．①②
D ． ①③
5． 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，32=a ，n n a a 32=+，则2014S =
A ．1007
23
2⨯- B ．1007
23
⨯ C ．201431
2-
D ．2014312
+
6
．函数()sin(2))f x x x θθ=++（2
π
θ<）的图像关于点(
,0)6
π
对称，则()
f x 的增区间
A ．5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦ B ．,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
C ．5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦ D ．7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
7. 已知()m x x x f x x ----+-=2
3
4234有两个不同的零点,则m 的取值范围是
A.()3,∞-
B. [)+∞,3
C. ()3,0
D.()+∞,3
俯视图
正视图
侧视图
5
第14题图
4
3
A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
D
E
(第8题图)
8. 长方体1111D C B A ABCD -的底面是边长为a 的正方形，若在侧棱1AA 上至少存在一点E ,使得︒=∠901EB C ,则侧棱1AA 的长的最小值为 A. a B. a 2 C. a 3 D. a 4
9.已知21,F F 分别为双曲线122
22=-b
y a x ()0,0>>b a 的左右焦点，如
果双曲线右支上存在一点P ,使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 A. 3321<
<e B. 3
3
2>e C. 3>e D. 31<<e 10.设实数c b a ,,满足,0
)
(252
⎪⎩
⎪⎨⎧>=+≥a ac b c a b 若b a c b a +++485的最大值和最小值分别为m M ,，则
m M +的值为
A. 9
B.
332 C. 3
49 D. 19 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置.
11．设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+3311y x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最小值为 .
12．已知,41
)6sin(=+
π
x 则=-)3
(sin 2x π . 13. 设直线062=++y ax 与圆0422
2
=+-+y x y x 相交于点P ,Q 两点，O 为坐标原点，且OQ OP ⊥，则实数a 的值为 .
14.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积为 3
cm . 15.已知()()(),log ,log ,log 936241x x f x x f x x f === 若()()()n m f m f n f +==321，则
=n
m
. 16.已知ABC ∆是边长为32的正三角形，EF 为
ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的
边上的动点，则FM ME ⋅的最大值为 .
17. 点P 为椭圆()0,0122
22>>=+b a b
y a x 在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴，y 轴的
平行线，分别交直线x a
b
y -
=于R Q ,，交y 轴，x 轴于N M ,两点，记OMQ ∆与ONR ∆的面积分别为21,S S ，当2=ab 时，2
22
1S S +的最小值为 .
三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）
在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c , 已知△ABC 的面积()2
2
c b a S --=.
（Ⅰ）求A sin 与A cos 的值； （Ⅱ）设a b λ=,若5
4
cos =C ,求λ的值.
19.（本题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 是等差数列，已知,11
=a 12432432=++S S S . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）当2≥n 时，1401-≥+
+λλ
n
n a a 恒成立，求λ的取值范围.
20. （本题满分14分） 如图，四边形ABCD 为菱形，ACFE 为平行四边形，且面ACFE ⊥面ABCD ，3,2=
==AE BD AB ,设BD 与AC 相交于点G ,H 为FG 的中点.
（Ⅰ）证明⊥CH 面BFD ;
（Ⅱ）若AE 与面ABCD 所成的角为︒60,求二面角D EF B --的平面角余弦值的大小.
21.（本题满分15分）已知抛物线)0(2:2
>=Γp px y 的焦点到准线的距离为2. （Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）如图所示，直线1l 与抛物线Γ相交于A ,B 两点，C 为抛物线Γ上异于A ,B 的一点，且⊥AC x 轴，过B 作AC 的垂线，垂足为M ,过C 作直线2l 交直线BM 于点N ,设21,l l 的斜率分别为21,k k ，且121=k k .
（ⅰ）线段MN 的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; （ⅱ）求证N C B A ,,,四点共圆.
22. （本题满分15
分）已知二次函数
()b ax x x f ++=22为偶函
数,()m x x g +-=)13(，()()()212
≠+=c x c x h .关于x 的方程()()x h x f =有且
仅有一根
2
1. (Ⅰ)求c b a ,,的值;
(Ⅱ)若对任意的[]1,1-∈x ,()()x g x f ≤恒成立, 求实数m 的取值范围;
(Ⅲ)令()()()x f x f x -+
=
1ϕ,若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数
m 的取值范围.
金丽衢十二校2014-2015学年第一次联合考试
数学试卷(理科)参考答案
一、选择题(5×10=50分)
二、填空题(4×7=28分) 11. 1 12.
1615 13. 2- 14. 20 15. 251+ 16. 3 17. 2
1
三.解答题(72分)
18解 （Ⅰ）由题意可得
bc A bc bc c b a A bc 2cos 22sin 2
1
222+-=+--= 所以4cos 4sin =+A A 又因为1cos sin 2
2=+A A 解方程组可得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==1715cos 178sin A A
-----------------------------7分 （Ⅱ）易得53sin =
C ()85
77
sin cos cos sin sin sin =+=+=C A C A C A B
所以40
77
sin sin =
==A B a b λ.-----------------------------7分
19. 解 （Ⅰ）由题意可得1233
3=S ,∴433=S ,∴2123-=n n S n ∴=n S n n 2
1232- 231
-=-=∴-n S S a n n n ()2≥n 当1=n 时也成立, 23-=∴n a n
-----------------------------
6分 （Ⅱ）1401-≥++λλ
n
n a a ⇒λλ
≥-+
+2
31413n n ⇒
()()1
2347--+n n n λ≥
-----------------------------
10分 解法一： 设=
n b ()()1
2347--+n n n
=-+n n b b 1()()-
++n n n 1348()()1
2347--+n n n ()11632---⨯=n n n n 当5≥n 时，n n n n b b b b >⇒>-++110
当4≤n 时，n n n n b b b b <⇒<-++110
∴n b 的最小值为1695=b ,169≤∴λ.
-----------------------------14分 解法二： 设t n =-1 则
()()1
2347--+n n n =169145483≥++t
t （当4=t ，即5=n 时取最小值）
20.（Ⅰ）
证明： 四边形ABCD 为菱形 AC BD ⊥∴
又 面ACFE ⊥面ABCD ACFE BD 面⊥∴
CH BD ⊥∴ 即BD CH ⊥
又 H 为FG 的中点,3==CF CG
FG CH ⊥∴
又 G BD FG =⋂ ∴⊥CH 面BFD ——————————5分
（Ⅱ）
过G 作EF 的垂线，垂足为M ，连接MD MG MB ,, 易证得EAC ∠为AE 与面ABCD 所成的角，EAC ∠=︒60 DMB ∠为二面角D EF B --的平面角
2
13,1,2,23=====
DM BM BG BD MG 所以由余弦定理可得：135
cos =∠DMB .
A B
C
D
E
G H
第20题图 F
M
21.解 （Ⅰ）2=p ——————————4分
（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A ,则()()2111,,,y x M y x C -,直线1l 的方程为：b x k y +=1
由⎩⎨⎧=+=x
y b x k y 421消元整理可得：(221221+bk x k 所以 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+212
2
121
12124k b x x k bk x x 可求得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+211
y y y y ——————6分
直线2l 的方程为：)(121x x k y y -=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++21221,y x k y y N 所以MN =221k y y +=214
k k =4.——————9分 AB 的中点⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-121
12,2k k bk E
则AB 的中垂线方程为：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
---=-
21111212k bk x k k y 与BC 的中垂线x 轴交点为：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-'0,2221121k bk k o 所以ABC ∆的外接圆的方程为： 2
2222112122
21121)22(22y x k bk k y k bk k x +-+-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--——————12分 由上可知()21,4y x N +
022********
112121************=⨯+--++=+--++--+k bk k x x k bk k x k bk k x
2
2121222
21121122(224bk k y k bk k x +-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--+∴所以N C B A ,,,四点共圆.解法二：易知ABC ∆的外接圆圆心o '在x 作B 关于o '的对称点B ',则B B '为直径，
易知B '横坐标为22
11212
22x k bk k -+-⨯ 022
242
112121=⨯+--++k bk k x x 所以42
22122
1121+=-+-⨯x x k bk k
所以︒='∠90NB B 所以N C B A ,,,四点共圆. 22. 解 (Ⅰ) 由()()x f x f -=⇒0=a
由()()x h x f =可得：()0222
=-++-b c cx x c 代入21=
x 得：2
1
49-=c b ① ()()b c c c --=⇒=∆202 ②
联立方程①②解得：32,1==c b ∴0=a ，3
2
,1==c b .—————3分
(Ⅱ)m x x +-≤+)13(122
当0=x 时，1≥m ————————4分
当1=m 时，[]
(
)()
=---=+--+x x x x 132132
1)13()12(22
2
2
()
()01132≤--x x
∴1)13(122+-≤+x x ∴1≥m ——————————7分
(Ⅲ)由题意可知()()m x x 3max 21≥-ϕϕ——————————9分
由0=a ，32,1=
=c b 易证明()()2
13
2+≥x x f 在[]1,0∈x 上恒成立， ∴()13
6
122+≥
+x x 在[]1,0∈x 上恒成立； 由(Ⅱ)知1)13(122+-≤+x x 在[]1,0∈x 上恒成立
∴
()()1)13(13
6
+-≤≤+x x f x 在[]1,0∈x 上恒成立.
又因为当[]1,0∈x 时, []1,01∈-x ∴
()()1)1)(13(1113
6
+--≤-≤+-x x f x
∴
()()()()11)13(1)13(113
6136
+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ 即()136+≤
≤x ϕ 621min
=⎪⎭⎫
⎝⎛ϕ, ()()1310max max +==ϕϕ
∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥
∴23
3
1-+
≤m .————————15分 另解：
]2
1)1(21[21)1(212)(2222+-++
=+-++=x x x x x ϕ， 设)2
2
,1(),22,
0(),0,(-B A x P ，显然()PB PA x +=2)(ϕ，由下图易知： ()
,3min
==+AB PB PA
()
2
6
22max
+=
+=+OB OA PB PA ， ∴31)(,6)(max min +==x x ϕϕ，
∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥
∴23
3
1-+
≤m .。