广东省广州市普通高中18学年高二数学上学期期末模拟试题08

上学期高二数学期末模拟试题08
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．数列0，-1，0，1，0，-1，0，1，…的一个通项公式是( )
A.2
1
)1(+-n B.cos 2
πn
C.cos
2)1(π+n D.cos 2
)2(π
+n
3. 设a R ∈，则1a >是
1
1a
< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A ．
1203622=+y x （x ≠0） B ．136202
2=+y x （x ≠0） C ．120622=+y x （x ≠0） D ．16202
2=+y x （x ≠0） 5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为（ ） A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段
6．在ABC ∆中,8,60,75a B C ︒︒
===,则b =( )
A
．
．
．．
323
7．在等比数列11
29
119753,243,}{a a a a a a a a n 则
若中=的值为 （ ） A ．9 B ．1 C ．2 D ．3
8．给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是A ．
32
B ． 1
C ． 4
D ． 2
3 9． 在ABC ∆中,若
cos 4
cos 3
A b
B a ==,则AB
C ∆是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰或直角三角形
D ．钝角三角形
10．等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和是( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260
12．四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2，13AA =，
1160A AB A AD ∠=∠=︒，则1AC 的长为( )
A ． ． 23 C ． D ．32
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。

)
13．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2
-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________.
14．数列{}n a 的通项公式为249n a n =-，n s 达到最小时，n 等于_______________. 15．若点P 到点)0,4(F 的距离比它到直线05=+x 的距离少1，则动点P 的轨迹方程是 -_____________。

三、解答题：(本大题共6个小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.（本小题满分12分）
给定两个命题, P ：对任意实数x 都有012
>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程
02=+-a x x 有实数根.如果P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，求实数a 的取值范围．
19．(本小题满分12分)
如图，直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1
，1AC AA =ABC =600
. (Ⅰ)证明：1
AB AC ⊥； （Ⅱ）求二面角A —1AC —B 的余弦值。

20. （本小题满分12分）
某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？（年平均费用最低时为最佳使用年限），并求出年平均费用的最小值
（Ⅱ）设n
n n
b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .
22．（本小题满分14分）
已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2
2
=
e ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为.2
（I ）求椭圆的标准方程；
（II ）已知直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ 。

试探究点O 到直线l
的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。

答案
一、BBABB CDAAC DC 二、13、6
14、24
15 216y x =
16 ①、⑤
三、解答题：(本大题共6个小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 解：对任意实数x 都有012
>++ax ax 恒成立
⎩⎨
⎧<∆>=⇔0
0a a 或40<≤⇔a ；…………………………………………………………2分 关于x 的方程02
=+-a x x 有实数根4
1
041≤
⇔≥-⇔a a ；………………………4分 P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，即P 真Q 假，或P 假Q 真，……………………6分
所
以实数a 的取值范围为()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞-4,410, ． ……………………………………………12分 18．
sin 2)0sin 22sin cos cos 0sin (32)
C C C C C C C C C π+==∴===解：由已知得即所以或分
00
134,90,60
...................6c a C C C =<=∴≠=是锐角
从而分
222202
2cos ,131624cos604301 3...........................9c a b ab C b b b b b b =+-=+-⨯
-+=∴=
=由得或分
11
1sin 412211
3sin 4322
b S ab C b S ab C ==
=⨯⨯====⨯⨯=当时，当时，分
19．
解：方法一
（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱所以1AB A A ⊥ 在ABC 中1AB
=0,60AC ABC =∠=………………2分 由正弦定理得0
30ACB ∠=所以0
90BAC ∠=………………4分
（Ⅱ）如图所示，作1AD AC ⊥交1AC
于D ，连BD ，由三垂线定理可得1BD AC ⊥
所以ABD ∠为所求二面角的平面角，在1
Rt AAC ∆中
，11
A A A C AD AC =
==
g ，………………8分 在Rt BAD ∆中，
2
BD ===
，…………10分
所以cos 5AD ABD BD ===………………11分
即 二面角A —1AC —B
的余弦值是
5。

………………………12分
21．解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，
两式相减得
()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥.
又21213a S =+= ,所以213a a =.
故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以13n n a -=.…………4分 由点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=
.
（Ⅱ）因为121
3
n n n n b n c a --=
=，所以012113521
3333n n n T --=+++
+
.…………7分 则122
111352321
3
33333
n n n n n T ---=++++
+,…………8分 两式相减得：
2111222221
133333
11[1()]
2112133122()133313n n n n n n n
n T n n ----=++++----=+⨯-=---…………10分 所以2112132323n n n n T ---=--⋅⋅1
1
33
n n -+=-. …………………………………12分 22．解：（I ）设椭圆方程为).0(122
22>>=+b a b
y a x ………………1分
因为,)2
2
,(,.22,22在椭圆上点据题意所以c a c e ==
则,1212
22
=+b
a c
于是.1,121212
==+b b
解得 ………………4分 因为.2,1,1,2222====-=
a c
b
c a c a 则 ………………5分
故椭圆的方程为.12
22
=+y x ………………6分 （II ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
11222
2222222222121222221212121222
,(,),(,).
1,(21)4220.72(4)4(21)(22)8(21)0(*)422
,.
2121
()()()2y kx m P x y Q x y x y k x kmx m y kx m km k m k m km m x x x x k k y y kx m kx m k x x km x x m m k =+⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩
∆=-+-=-+>-+=-=++=++=+++=⋅点由得分所以于是2
22222
2222212122222421212.921
,
222322
0,
212121
km km m k k m k k OP OQ OP OQ m m k m k x x y y k k k --+⋅+++-=+⊥⇔⊥----+=+==+++分因为所以
22
2
2
22
3220,.
*103
,
12k m k m O l d d +--=====即所以代入（）验证成立。

分
设原点到直线的距离为则分
当直线l 的斜率不存在时，因为⊥，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP 、
OQ 的方程分别
为,,),))y x y x
P ==-可得或
、(33
Q -
,3
O l 此时原点到直线 …………13分 综上分析，点O 到直线l 的距离为定值
.3
6
…………14分。