高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第2节 基本不等式教师用书 文 北师大版

第二节 基本不等式
[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 其中
a ＋b
2
称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．
2．几个重要的不等式 (1)a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；
(4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2
＋b 2
2(a ，b ∈R )． 3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．
(2)如果和x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2
4
(简记：和定积最大)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1
x
的最小值是2.( )
(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )
(3)x >0，y >0是x y ＋y
x
≥2的充要条件．( )
(4)若a >0，则a 3
＋1a
2的最小值为2a .( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2
＋b 2
>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b
>2ab
D.b a ＋a b
≥2
D [∵a 2
＋b 2
－2ab ＝(a －b )2
≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2
b a ·a
b
＝2.] 3．(2016·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝
⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋4a b
的最小值为( )
【导学号：66482277】
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋4a b
＝5＋b a ＋4a b
≥5＋2
b a ·4a
b
＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．]
4．若函数f (x )＝x ＋
1
x －2
(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) 【导学号：66482278】
A ．1＋ 2
B ．1＋ 3
C ．3
D ．4
C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1
x －2
＋2≥2x －
1
x －2
＋2＝4，当且仅当x －2＝1
x －2
(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]
5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2
.
25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为1
2
×(20－2x )＝(10－x )m ，
则y ＝x (10－x )≤⎣
⎢
⎡⎦
⎥⎤x ＋－x 2
2
＝25，
当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.]
(1)(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2
b
＝ab ，则ab 的最小值为( )
A. 2 B ．2 C ．2 2
D ．4
(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2
＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．
(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2
b ≥2
2
ab
，即ab ≥22，
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
1a ＝2
b ，
1a ＋2
b ＝ab ，
即a ＝42，b ＝24
2时取“＝”，所以ab 的最小值为
2 2.
(2)由x 2
＋2xy －3＝0得y ＝3－x 2
2x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋
3
2x
≥2
3x 2·3
2x
＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最
大，积定和最小”．
2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．
[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1
b
≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )
【导学号：66482279】
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1
n
的最大
值为__________．
(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1
b
＝
a ＋
b a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2
b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1
b
≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9，故选B.
(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n
＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m ＋1n
＝－⎝
⎛⎭
⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2
n m ·m
n
＝－4， 当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1
n
取得最大值－4.]
已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1
ab
≥8；
(2)⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ，
∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，
∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a
≥2＋2＝4，3分
∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝1
2时等号成立). 5分 (2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，
∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b
，
∴⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝
⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝
⎛⎭
⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，10分
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立). 12分 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab
，
由(1)知，1a ＋1b ＋1
ab ≥8，10分
故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab
≥9. 12分
[规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．
2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1
b
2＋ab ≥2 2.
[证明] 由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥2
1
a
2
·1b 2＝2
ab
，3分
当且仅当1a 2＝1
b
2，即a ＝b 时等号成立，
又因为2
ab ＋ab ≥2
2
ab
·ab ＝22，
当且仅当2
ab
＝ab 时等号成立，
所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2
ab
＋ab ≥22，8分
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
1a 2
＝1b 2
，
2
ab ＝ab ，
即a ＝b ＝4
2时取等号. 12分
50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋x 2
360升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；
(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
【导学号：66482280】
[解] (1)设所用时间为t ＝
130
x
(h)，
y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋x 2
360＋14×130x ，x ∈[50,100]. 2分
所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是
y ＝
130×18x ＋2×130
360
x ，x ∈[]50，100. (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100). 5分
(2)y ＝130×18x ＋2×130
360x ≥26 10，
当且仅当130×18x ＝2×130
360x ，
即x ＝1810，等号成立. 8分
故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 12分 [规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． 3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
[变式训练3] 某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．
(1)用x 表示y ；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.
【导学号：66482281】
[解] (1)由题意得，
y ＝
100＋0.5x ＋＋4＋6＋…＋2x
x
，
即y ＝x ＋100x
＋1.5(x ∈N *
). 5分 (2)由基本不等式得：
y ＝x ＋
100
x
＋1.5≥2
x ·
100
x
＋1.5＝21.5，8分
当且仅当x ＝100
x
，即x ＝10时取等号．
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备. 12分
[思想与方法]
1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
2．基本不等式的两个变形： (1)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．
(2)
a 2＋
b 22
≥
a ＋b
2
≥ab ≥
21a ＋
1
b
(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．
[易错与防范]
1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．。